Ondes à la surface de l'eau

undlub · 07/11/2009 - 17h25

Bonjour à tous,

J'aurais besoin de votre aide pour un problème qui devrait sembler simple à certain.
Imaginons un plan d'eau infini. Générons en son centre un train d'ondes sinusoïdales de fréquence "F", sur une durée "D", d'amplitude "+A/2" et "-A/2". Si je me souviens bien, la profondeur de l'eau à une importance dans ce modèle donc considérons "H" comme la profondeur de l'eau.
Ce train d'ondes va se déplacer en "cercles" sur la surface de l'eau puis s'atténuer et disparaitre.

A quelle vitesse se déplace ce train d'ondes ? Quel est son atténuation en fonction de la distance ? Quel est l'équation de ce modèle ?

Si quelqu'un peut me renseigner, ça serait parfait.
A savoir que ça serait pour créer une simulation 3D du phénomène d'une goutte qui tombe sur l'eau.

Merci par avance.

ketchupi · 08/11/2009 - 19h56

Bonsoir,

je pense qu'il faudrait regarder du côté de l'équation de Burgers non visqueuse.

http://en.wikipedia.org/wiki/Burgers'_equation

Cordialement.

undlub · 08/11/2009 - 20h39

Bonsoir,

Merci pour cette réponse, mais je ne pensais pas cette problématique si complexe !
Y aurait-il d'autres avis ?

**LPFR** · 09/11/2009 - 09h46

Bonjour.
Le problème est, effectivement, très complexe.
Peut-être que vous trouverez plus simple cette autre page de wikipedia. Et il faut bien la page en anglais. Elle n'a pas d'équivalent français.
Au revoir.

chwebij · 09/11/2009 - 13h35

bonjour
pour que l'onde soit capillaire, il faut que le nombre d'onde soit très grand pour que les forces capillaires rentrent en jeu.
sinon ce sont des ondes de gravité.
La vitesse de phase est du type $c=\sqrt{( g l)}$ avec l une grandeur caractéristique.

Lorsque la profondeur h est petite, alors $c=\sqrt{( g h)}$
Lorsque la profondeur est infini , alors $c=\sqrt{\frac{g}{k}}$

Entre les deux, la vitesse s'exprime comme $c^2=\frac{g}{k}tanh( hk)$

Si on veut y rajouter les effets capillaires, on a alors: $c^2=\left( \frac{g}{k}+\frac{\sigma k}{\rho} \right) tanh( hk)$

pour l'équation, il vaut mieux partir de l'équation d'Euler car celle de Burger complique bien l'affaire avec le terme diffusif et ne permet pas de retrouver les forces capillaires sans le terme de pression.

undlub · 09/11/2009 - 23h09

Merci à vous pour ces réponses.

Cependant, si je considère la profondeur infinie, j'obtiens bien une vitesse de phase constante ?
Jusque là, si la réponse est positive, je crois que j'ai compris.
Mais ce qui me surprend, c'est que je ne trouve pas de paramètres permettant une variation de l'amplitude du signal en fonction du temps et/ou de la distance (les deux sont liés si la vitesse est constante !).
Est-il bien vrai qu'avec le temps et la distance le train d'onde s'atténue jusqu'à disparaitre ?
Est-ce avec la relation a_(x)=a₀*10^-(B/20)x avec B = 1dB/m ? (Veuillez m'excuser mais je ne sais plus trop où j'ai trouvé cette relation, sûr sur le net !)

Merci par avance.

chwebij · 09/11/2009 - 23h19

bnjour
sans en être parfaitement sûr, les équations d'ondes en cylindrique admettent généralement des solutions décomposées en fonction de Bessel
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Bessel
ca donne une idée de la décroissance

**LPFR** · 10/11/2009 - 08h27

Envoyé par undlub

Merci à vous pour ces réponses.

Cependant, si je considère la profondeur infinie, j'obtiens bien une vitesse de phase constante ?
Jusque là, si la réponse est positive, je crois que j'ai compris.
Mais ce qui me surprend, c'est que je ne trouve pas de paramètres permettant une variation de l'amplitude du signal en fonction du temps et/ou de la distance (les deux sont liés si la vitesse est constante !).
Est-il bien vrai qu'avec le temps et la distance le train d'onde s'atténue jusqu'à disparaitre ?
Est-ce avec la relation a_(x)=a₀*10^-(B/20)x avec B = 1dB/m ? (Veuillez m'excuser mais je ne sais plus trop où j'ai trouvé cette relation, sûr sur le net !)

Merci par avance.

Bonjour.
La puissance par unité de longueur transportée par une vague est proportionnelle au carré de l'amplitude.
Si on imagine que l'énergie se conserve, l'amplitude d'une onde circulaire diminue comme 1/r (où r est la distance au centre).

La diminution exponentielle est une diminution due aux pertes d'énergie (la viscosité, par exemple). Avec les temps et la distance, l'amplitude diminue indéfiniment. Si vous pouvez la négliger, tant mieux pour vous.
Au revoir.

undlub · 11/11/2009 - 10h50

Bonjour,

Justement, je souhaiterais avoir cette diminution exponentielle donc je me retrouverais dans cette configuration : a_(x)=a₀*e^-coef*x. Sachant que la distance et le temps sont liés, il ne me manque que ce coefficient de diminution exponentielle.
Qu'elle est la valeur de ce coefficient ?

**LPFR** · 11/11/2009 - 12h10

Envoyé par undlub

Bonjour,

Justement, je souhaiterais avoir cette diminution exponentielle donc je me retrouverais dans cette configuration : a_(x)=a₀*e^-coef*x. Sachant que la distance et le temps sont liés, il ne me manque que ce coefficient de diminution exponentielle.
Qu'elle est la valeur de ce coefficient ?

Bonjour.
Je ne connais pas ce coefficient.
Cette formule n'est pas celle des ondes circulaires mais celle des ondes linéaires (front d'onde droit).
Pour une onde circulaire, comme je vous ai déjà dit, l'amplitude est de la forme:
a_(x)=(a₀/r)*e^-coef*r
Au revoir

undlub · 13/11/2009 - 18h37

Bonjour,

Je ne comprends pas une chose : si a=a₀/r etc... et que r<1 alors a>a₀ ?? Est-ce possible ?

J'ai recherché dans le domaine des ondes capillaires et d'autres types d'ondes mais je n'ai rien trouvé qui puisse m'aider. Je suis sûr que d'une chose : y_(x,t)= a * sin((2*pi/lambda)*(x-v*t)) avec v=f*lambda. Et la célérité c=1,56*T=lambda/t ce qui lie le déplacement de l'onde au temps.

Le problème est maintenant de trouver a en fonction du temps et de la distance entre la source et le point "x", autrement dit l'atténuation de l'amplitude.

Si quelqu'un peut me venir en aide, ça serait vraiment génial !!

**obi76** · 13/11/2009 - 18h39

Ce que j'avais fait coder à mes étudiants, mais ça reste une équation hyperbolique très instable, c'est l'équation de Saint-Venant (1D, facilement généralisable en 2D).

Cordialement,

undlub · 13/11/2009 - 18h47

la suite...
NB : la réponse est peut-être donnée à la fin de la page 2 de ce document mais je n'identifie pas tout les termes !?

Pour l'équation de Saint-Venant, je vais regarder ce qu'il en est mais je cherche un modèle équivalent relativement simple et naturel.

**obi76** · 13/11/2009 - 18h49

Si tu veux, il y aurai une démonstration très belle à faire :

Tu prend l'équation de Saint-Venant (ou de burger, selon le cas), et tu la converti en 1D axi-symétrique (tu transforme les dérivées en coordonnées cylindriques), et tu résous sur r uniquement.
Tu verra que pour un train d'onde sinusoïdal placé en son centre, elle se propagera en s'amenuisant (à cause du terme en 1/r qui apparaîtra dans la divergence).

Cordialement,

**LPFR** · 13/11/2009 - 19h01

Envoyé par undlub

Je ne comprends pas une chose : si a=a₀/r etc... et que r<1 alors a>a₀ ?? Est-ce possible ?

Bonjour.
Oui, bien sûr.
Le seul problème qui se pressente est si on essaie de faire r trop petit et on a une amplitude qui diverge. Heureusement, que cette représentation n'est valable que pour r > lambda.
Au revoir.