Ondes à la surface de l'eau
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Ondes à la surface de l'eau



  1. #1
    undlub

    Ondes à la surface de l'eau


    ------

    Bonjour à tous,

    J'aurais besoin de votre aide pour un problème qui devrait sembler simple à certain.
    Imaginons un plan d'eau infini. Générons en son centre un train d'ondes sinusoïdales de fréquence "F", sur une durée "D", d'amplitude "+A/2" et "-A/2". Si je me souviens bien, la profondeur de l'eau à une importance dans ce modèle donc considérons "H" comme la profondeur de l'eau.
    Ce train d'ondes va se déplacer en "cercles" sur la surface de l'eau puis s'atténuer et disparaitre.

    A quelle vitesse se déplace ce train d'ondes ? Quel est son atténuation en fonction de la distance ? Quel est l'équation de ce modèle ?

    Si quelqu'un peut me renseigner, ça serait parfait.
    A savoir que ça serait pour créer une simulation 3D du phénomène d'une goutte qui tombe sur l'eau.

    Merci par avance.

    -----

  2. #2
    ketchupi

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Bonsoir,

    je pense qu'il faudrait regarder du côté de l'équation de Burgers non visqueuse.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Burgers'_equation

    Cordialement.
    On ne force pas une curiosité, on l'éveille. Daniel Pennac

  3. #3
    undlub

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Bonsoir,

    Merci pour cette réponse, mais je ne pensais pas cette problématique si complexe !
    Y aurait-il d'autres avis ?

  4. #4
    LPFR

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Bonjour.
    Le problème est, effectivement, très complexe.
    Peut-être que vous trouverez plus simple cette autre page de wikipedia. Et il faut bien la page en anglais. Elle n'a pas d'équivalent français.
    Au revoir.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    chwebij

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    bonjour
    pour que l'onde soit capillaire, il faut que le nombre d'onde soit très grand pour que les forces capillaires rentrent en jeu.
    sinon ce sont des ondes de gravité.
    La vitesse de phase est du type avec l une grandeur caractéristique.

    Lorsque la profondeur h est petite, alors
    Lorsque la profondeur est infini , alors

    Entre les deux, la vitesse s'exprime comme

    Si on veut y rajouter les effets capillaires, on a alors:


    pour l'équation, il vaut mieux partir de l'équation d'Euler car celle de Burger complique bien l'affaire avec le terme diffusif et ne permet pas de retrouver les forces capillaires sans le terme de pression.
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  7. #6
    undlub

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Merci à vous pour ces réponses.

    Cependant, si je considère la profondeur infinie, j'obtiens bien une vitesse de phase constante ?
    Jusque là, si la réponse est positive, je crois que j'ai compris.
    Mais ce qui me surprend, c'est que je ne trouve pas de paramètres permettant une variation de l'amplitude du signal en fonction du temps et/ou de la distance (les deux sont liés si la vitesse est constante !).
    Est-il bien vrai qu'avec le temps et la distance le train d'onde s'atténue jusqu'à disparaitre ?
    Est-ce avec la relation a(x)=a0*10-(B/20)x avec B = 1dB/m ? (Veuillez m'excuser mais je ne sais plus trop où j'ai trouvé cette relation, sûr sur le net !)

    Merci par avance.

  8. #7
    chwebij

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    bnjour
    sans en être parfaitement sûr, les équations d'ondes en cylindrique admettent généralement des solutions décomposées en fonction de Bessel
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Bessel
    ca donne une idée de la décroissance
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  9. #8
    LPFR

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Citation Envoyé par undlub Voir le message
    Merci à vous pour ces réponses.

    Cependant, si je considère la profondeur infinie, j'obtiens bien une vitesse de phase constante ?
    Jusque là, si la réponse est positive, je crois que j'ai compris.
    Mais ce qui me surprend, c'est que je ne trouve pas de paramètres permettant une variation de l'amplitude du signal en fonction du temps et/ou de la distance (les deux sont liés si la vitesse est constante !).
    Est-il bien vrai qu'avec le temps et la distance le train d'onde s'atténue jusqu'à disparaitre ?
    Est-ce avec la relation a(x)=a0*10-(B/20)x avec B = 1dB/m ? (Veuillez m'excuser mais je ne sais plus trop où j'ai trouvé cette relation, sûr sur le net !)

    Merci par avance.
    Bonjour.
    La puissance par unité de longueur transportée par une vague est proportionnelle au carré de l'amplitude.
    Si on imagine que l'énergie se conserve, l'amplitude d'une onde circulaire diminue comme 1/r (où r est la distance au centre).

    La diminution exponentielle est une diminution due aux pertes d'énergie (la viscosité, par exemple). Avec les temps et la distance, l'amplitude diminue indéfiniment. Si vous pouvez la négliger, tant mieux pour vous.
    Au revoir.

  10. #9
    undlub

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Bonjour,

    Justement, je souhaiterais avoir cette diminution exponentielle donc je me retrouverais dans cette configuration : a(x)=a0*e-coef*x. Sachant que la distance et le temps sont liés, il ne me manque que ce coefficient de diminution exponentielle.
    Qu'elle est la valeur de ce coefficient ?

  11. #10
    LPFR

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Citation Envoyé par undlub Voir le message
    Bonjour,

    Justement, je souhaiterais avoir cette diminution exponentielle donc je me retrouverais dans cette configuration : a(x)=a0*e-coef*x. Sachant que la distance et le temps sont liés, il ne me manque que ce coefficient de diminution exponentielle.
    Qu'elle est la valeur de ce coefficient ?
    Bonjour.
    Je ne connais pas ce coefficient.
    Cette formule n'est pas celle des ondes circulaires mais celle des ondes linéaires (front d'onde droit).
    Pour une onde circulaire, comme je vous ai déjà dit, l'amplitude est de la forme:
    a (x)=(a0/r)*e-coef*r
    Au revoir

  12. #11
    undlub

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Bonjour,

    Je ne comprends pas une chose : si a=a0/r etc... et que r<1 alors a>a0 ?? Est-ce possible ?

    J'ai recherché dans le domaine des ondes capillaires et d'autres types d'ondes mais je n'ai rien trouvé qui puisse m'aider. Je suis sûr que d'une chose : y(x,t)= a * sin((2*pi/lambda)*(x-v*t)) avec v=f*lambda. Et la célérité c=1,56*T=lambda/t ce qui lie le déplacement de l'onde au temps.

    Le problème est maintenant de trouver a en fonction du temps et de la distance entre la source et le point "x", autrement dit l'atténuation de l'amplitude.

    Si quelqu'un peut me venir en aide, ça serait vraiment génial !!

  13. #12
    obi76

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Ce que j'avais fait coder à mes étudiants, mais ça reste une équation hyperbolique très instable, c'est l'équation de Saint-Venant (1D, facilement généralisable en 2D).

    Cordialement,
    \o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/

  14. #13
    undlub

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    la suite...
    NB : la réponse est peut-être donnée à la fin de la page 2 de ce document mais je n'identifie pas tout les termes !?

    Pour l'équation de Saint-Venant, je vais regarder ce qu'il en est mais je cherche un modèle équivalent relativement simple et naturel.

  15. #14
    obi76

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Si tu veux, il y aurai une démonstration très belle à faire :

    Tu prend l'équation de Saint-Venant (ou de burger, selon le cas), et tu la converti en 1D axi-symétrique (tu transforme les dérivées en coordonnées cylindriques), et tu résous sur r uniquement.
    Tu verra que pour un train d'onde sinusoïdal placé en son centre, elle se propagera en s'amenuisant (à cause du terme en 1/r qui apparaîtra dans la divergence).

    Cordialement,
    \o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/

  16. #15
    LPFR

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Citation Envoyé par undlub Voir le message
    Je ne comprends pas une chose : si a=a0/r etc... et que r<1 alors a>a0 ?? Est-ce possible ?
    Bonjour.
    Oui, bien sûr.
    Le seul problème qui se pressente est si on essaie de faire r trop petit et on a une amplitude qui diverge. Heureusement, que cette représentation n'est valable que pour r > lambda.
    Au revoir.

  17. #16
    undlub

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Bonjour,

    Merci pour toutes ces infos. Mais ça fait une bonne dizaine d'année que je ne me suis pas amusé avec des équations de ce type alors que pour vous ça semble tellement naturel et évident !
    Vous semblez bien calé les mecs.
    Pour ma part, je crois que je vais simplement m'en tenir à ma petite fonction sinusoïdale couplée avec un exponentiel aux paramètres abstraits.

    Et dire que c'est si simple de laisser tomber un caillou dans l'eau et d'en regarder les ondes !

  18. #17
    LPFR

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Citation Envoyé par undlub Voir le message
    Et dire que c'est si simple de laisser tomber un caillou dans l'eau et d'en regarder les ondes !
    Bonjour.
    Même ça, est plus compliqué qu'on ne le pense.
    La prochaine fois que vous le ferez et que vous aurez des bonnes conditions: grande surface, eau plate et vous le seul à jeter de cailloux, faites la manip suivante:
    Les ronds sont formés par 5 ou 6 vaguelettes.
    Essayez de suivre du regard la deuxième crête (la deuxième vaguelette) en comptant de l'extérieur. Essayez de la suivre pendant plusieurs secondes. Vous verrez que vous n'arriverez pas. Au bout d'un moment vous serez en train de regarder la première crête.
    Recommencez: ça se répétera à chaque fois.

    L'explication se trouve du côté "vitesse de groupe" et "vitesse de phase".
    Au revoir.

  19. #18
    undlub

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Bonjour,

    Autrement dit le groupe a une vitesse différente du signal. J'avais lu quelque chose de ce type effectivement.
    Mais comme je l'ai dit, plus je cherche et plus c'est compliqué, alors je vais peut-être arrêter de chercher. Les manipulations d'équations sont devenues trop complexes pour moi avec le temps : ça fait un moment que je n'ai plus fait ça !
    M'enfin, si quelqu'un est prêt à m'aider, je suis preneur.

    Merci encore à tous.

  20. #19
    undlub

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Bonsoir,

    Pour ce qui est de l'atténuation en relation avec 1/r ça n'est valable, semble-t-il, que pour de grande distance r.

    Si je redéfini toutes les données de base avec des données numériques :
    Je génère au centre d'un plan d'eau illimité de profondeur infinie un train d'onde avec les caractéristiques suivantes :

    F = 2 Hertz donc T = 0.5 s

    = 2F = 12.57 rad/s

    Sachant que

    avec 0.07564 N/m et = 1000 kg/

    on obtient k = 80.38




    la vitesse de phase
    et la vitesse de groupe (profondeur très grande)

    le signal a pour équation :
    n(r,t)=A(r,t)*cos(kr-ωt)

    avec A(0,0)=1 cm

    - Dans un premier temps, est-ce que cela est juste ?
    - Comment s'intègre dans l'équation la vitesse de phase et la vitesse de groupe ?
    - Ensuite quelle valeur pour n(2 cm, 10 s) par exemple ? Autrement dit, quelle est l'atténuation ? ?

    Merci par avance pour vos corrections et votre aide.

  21. #20
    LPFR

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Bonjour.
    La diminution d'amplitude en 1/r est valable pour des distances grandes devant λ. Mais pour des distances plus courtes il y a une atténuation aussi. Je ne connais pas la formule, mais probablement elle ressemble à quelque chose comme 1/(r + aλ).

    Vos calculs ne sont pas valables. À la longueur d'onde que vous avez choisie, les ondes sont capillaires et gravitationnelles (les deux effets sont comparables). Vous ne pouvez pas utiliser des formules qui ne sont valables que pour des ondes capillaires.
    En particulier, quand vous calculez ω² en fonction de k^3, vous ne pouvez pas ignorer le terme en 'g'.
    Regardez le lien de wikipedia que je vous ai donné au début de la discussion. Regardez aussi la courbe et essayez de situer votre longueur d'onde dans le graphique.
    Au revoir.

  22. #21
    undlub

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Merci pour la correction.

    Donc si je m'en tiens aux éléments relatifs au lien que vous m'avez donné, j'obtiens k=16.10
    Par contre pour , est-il fixé de façon arbitraire ou est-ce qu'il dépend de k ?
    S'il dépend de k, j'ai

    Est-ce correct ?

    Par contre, je ne comprends pas comment trouver la vitesse de phase et la vitesse de groupe sans utiliser le graphique (qui est moins précis qu'une formule).

  23. #22
    LPFR

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Re.
    λ et k sont reliés.
    Dans le Feynman on trouve cette formule pour la vitesse de phase dans l'eau:

    Avec
    et

    On peut déduire la vitesse de groupe en égalant la formule à ω/k, Puis on sort ω, et on calcule dω/dk.
    Pour chaque nombre d'onde k, vous avez λ et la vitesse de phase. Vous pouvez déduire la fréquence.
    A+

  24. #23
    undlub

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Ce qui donnerais donc une vitesse de phase
    donc si alors

    et la vitesse de groupe alors ?

    NB : j'ai le même si
    idem pour si

  25. #24
    LPFR

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Re.
    Citation Envoyé par undlub Voir le message
    et la vitesse de groupe alors ?
    Citation Envoyé par LPFR Voir le message
    On peut déduire la vitesse de groupe en égalant la formule à ω/k, Puis on sort ω, et on calcule dω/dk.
    Nota: la vitesse de phase est définie comme ω/k et la vitesse de groupe comme ∂ω/∂k
    A+

  26. #25
    undlub

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Désolé de ne pas l'avoir vu.
    En fait, pour ∂ω/∂k, je bloque, je ne sais plus faire donc je l'ai lu très rapidement.

  27. #26
    LPFR

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Citation Envoyé par undlub Voir le message
    Désolé de ne pas l'avoir vu.
    En fait, pour ∂ω/∂k, je bloque, je ne sais plus faire donc je l'ai lu très rapidement.
    Re.
    Si je ne suis pas trompé dans le calcul,

    A+

  28. #27
    undlub

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Ce qui me surprend dans , c'est que A est très petit donc sera lui aussi très faible. Non ?

  29. #28
    LPFR

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Citation Envoyé par undlub Voir le message
    Ce qui me surprend dans , c'est que A est très petit donc sera lui aussi très faible. Non ?
    Re.
    Oui, bien vu. Je me suis planté dans mon calcul. J'ai oublié un terme.
    Voici le résultat correct (du moins je l'espère):

    A+

  30. #29
    undlub

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Dans ce cas, j'obtiens
    Mais il me reste l'inconnue de la variation d'amplitude dans l'espace et le temps.
    Aucun physicien n'a vulgarisé les ondes formées sur l'eau quand on y jette un caillou ?

    Merci LPFR pour ce soutien

  31. #30
    undlub

    Re : Ondes à la surface de l'eau

    Au début de la conversation a été abordé le fait que l'énergie était conservée le temps du parcours des ondes. C'est l'énergie de la chute d'un corps dans l'eau. Comment est-elle quantifiable ?

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