loi de fourier

[invite11f2a3ff]

Bonjour j'ai une petite question

En spé physique, quand on étudie les sons, on a l'énoncé suivant de la loi de fourier : "Toute fonction périodique de période T peut être décomposée en une somme de fonction sinusoïdales de fréquences f, 2f, 3f etc..."
Alors ma question concerne la modulation d'amplitude. Si on regarde, pour un son pur et constant de période T, la représentation de la fonction envoyée dans l'antenne, on voit que le motif se répète au bout d'un temps T₁ , même si au milieu il y a la haute fréquence. Donc moi j'appelle cette fonction une fonction périodique de période T₁ . Mais si on décompose cette fonction en somme de fonction, on a un spectre de fréquences complètement différent de celui prévu par la loi de fourier, avec trois barres, une pour la haute fréquence F, et deux autres de fréquence F-1/T₁ et F+1/T₁.
Donc est-ce que c'est l'énoncé de la loi qui n'est pas assez précis, ma fonction qui n'a pas réellement pour période T₁ ou encore est-ce moi qui comprends rien ?

Merci
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[Floris]

Bonjour Latouffe. Tu veux dire que la modulation d'amplitude conduirait à l'aparition de deux harmoniques. C'est sa? Ou je suis à coté de la plaque.
Précise le moi car j'ai aussi réfléchi à ce problème.
Merci bien.
Flo

[Meumeul]

SAlut

en fait, c'est tout a fait normal, car le cos(wt) est la somme de deux 'frequences' : w et -w. En fait, on le voit surtout dans la decomposition complexe.
Ensuite, les proprietes des TF montrent que : TF(f.g) = TF(f) * TF(g), ou * denote le produit de convolution (pour une def : mathworld.wolfram.com devrait faire l'affire, j'ai la flemme de faire du TeX ). En gros, ca veut dire qu'en chauqe point de g, tu reportes ta fonction f...ca doit

Bon allez :


ou


or
car

J'suis a la bourre, je crois que t'as tout pour finir

[360no2]

Alors dans le cas que tu considères tu veux moduler un signal sinusoïdal de fréquence fm=1/Tm (avec Tm=ton T1) avec une porteuse elle aussi sinusoïdale de fréquence fp=1/Tp (avec Tp= ton T).
La première chose à voir c'est que pour que ton signal modulé soit periodique de période Tm, tu dois avoir Tm multiple de Tp (sinon tu as un léger décalage des sinusoïdes l'une par rapport à l'autre).
Donc en partant avec Tm multiple de Tp (Tm=k.Tp, k entier), tu te retrouves avec fm=1/(k.Tp) et fp=1/Tp.
Donc : fm=(1/k)fp, ou encore fp=k.fm, avec k entier
Quand tu développes en séries de Fourier ton signal pour obtenir son spectre, les valeurs que tu obtiens sont des multiples de de fm.
Jusqu'à (k-2)fm, tu trouves 0 pour l'amplitude des harmoniques (tes fonctions sinusoïdales)
Pour (k-1)fm, tu te trouves sur l'harmonique de fréquences fp-1/Tm, d'amplitude non nulle.
Pour k.fm, tu te trouves sur sur l'harmonique de fréquences fp, d'amplitude non nulle.
Pour (k+1)fm, tu te trouves sur l'harmonique de fréquences fp+1/Tm, d'amplitude non nulle.
Après les autres harmonques sont d'amplitude nulle.

Donc, le spectre que tu observes "colle" bien avec la décomposition en séries de Fourier de ton signal : tu décomposes une fonction périodique en une somme de fonctions sinusoïdales.
Si le nombre d'harmoniques (3) te gènes par rapport au fait qu'on n'utilise au départ que 2 signaux (signal modulé et porteuse), ça vient juste du fait que la modulation d'amplitude effectue le produit des deux fonctions sinusoïdales alors que le développement en série de Fourier te donne une somme de fonctions sinusoïdales.

Ensuite, si tu veux tout savoir sur les conditions pour utiliser le développement en séries de Fourier, il faut que tu aies un signal périodique, de classe c1 par morceaux (ça ça veut dire continu par morceaux et sa dérivée aussi, donc pas de points d'inflexions sur ta courbe) et ensuite, aux points de discontinuité le développement en séries de Fourier te donnera le point au "milieu" des deux "bouts" des courbes...

Un dernier petit détail (juste du pinaillage ) : ce que tu décris c'est le développement en séries de Fourier parce que la loi de Fourier existe aussi, mais elle n'a pas grand chose à voir avec ça et elle sert dans le cadre de la conduction thermique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite11f2a3ff]

C complètement lumineux !!!!!!! Merci pour ton explication 360no2. Je m'étais dit après coup qu'il était en effet nécessaire que fp=k.fm, mais au début je n'avais pas réalisé.
Et effectivement ça colle donc très bien.
Je n'ai pas bien compris par contre les conditions pour utiliser ce développement en séries de fourier, surtout pour les points d'inflexion. Parce que dans une représentation d'une fonction sinusoïdale, il y a forcément des points d'inflexion non ?
Et pis sinon j'ai absolument compris que dalle au post de meumeul. Mais bon s'il dit la même chose que toi 360no2, tout va très bien.

Merci encore, @+

[Meumeul]

SAlut,

pour le redire lpus simplement (mais de façon beaucoup moins général) :



d'ou



tu lis directement les fréquences présentes.

Maintenant, mon post précédent utilisait des propriétés des TF (transformées de Fourrier) (attention au nom de loi de Fourrier communément utilisée pour désigner l'équation de la chaleur).. Ce que j'ai dit, c'est qu'en regardant juste les frequences que tu envoies, tu peux intuiter ton spectre :
tu as une porteuse de frequence f -> ca donne un pic en f ET un pic en -f dans le graph amplitude en fonction de la frequence.
RAPPEL : cos(ft) comporte les frequence f et -f , exp(-ift) comporte uniquement la frequence f. (j'ai enleve les 2pi a chaque fois...)
Maintenant, qand tu multiplie cette porteuse par un signal, tu reporte le spectre du signal à partir de chacun de ces pics (c'est une traduction avec les mains du produit de convolution - 2eme ligne de calcul du post precedent) => tu obtiens bien les frequences -f-f1 , -f+f1 , f-f1 , f+f1.

En esperant t'avoir eclairé un peu.....ce dont je ne suis pas sur......
(tu peux aussi essaye de trouver un petit cours sur la transformée de fourrier et ses proprietes)

[invite11f2a3ff]

[QUOTE=Meumeul]SAlut,

pour le redire lpus simplement (mais de façon beaucoup moins général) :



d'ou



tu lis directement les fréquences présentes.[QUOTE]

Ouais ok ça c'est ce qu'on a vu en cours, c'est ok, mais pour la suite, je ne comprends pas trop. Je ne comprendspas ce que vient faire l'exponentielle là-dedans. Mais je pense que tu vas m'expliquer. Est-ce que c'est la même chose que ce que disait 360no2 en juste plus formalisé ?

Eh puis désolé pour avoit parlé de loi de fourier abusivement.

Merci, @+

[Meumeul]

Pourl'exponentielle, je viens de rejeter un oeil a mon poste et oups il manque un i.

En fait c'est

ce qui explique la presence des deux frequences dans l'onde en cos, car

[invite11f2a3ff]

D'accord merci c'est gentil mais je ne sais même pas de quoi tu parles là en fait donc ça ne m'avance pas à grand chose
En fait dans ton premier post tu as balancé tes formules en disant que je devrais m'en tirer avec ça mais sans explication je ne sais pas ce qu'elles ceulent dire. Désolé.

@+

[360no2]

Je n'ai pas bien compris par contre les conditions pour utiliser ce développement en séries de fourier, surtout pour les points d'inflexion. Parce que dans une représentation d'une fonction sinusoïdale, il y a forcément des points d'inflexion non ?

En fait c'étaient des points anguleux, désolé
(qui correspondraient à une discontinuité de la fonction dérivée, quoique finalement, vu que la fonction ne doit être de classe c1 que par morceaux... euh... je suis plus trop sûr d'un coup... )

[invite11f2a3ff]

Euh t'inquiète 360no2 je parlais surtout de meumeul, ce que tu as dit toi était clair sauf la fin effectivement, mais c'est surtout ce qu'a dit meumeul que je n'ai pas compris.

@+

[Meumeul]

D'accord merci c'est gentil mais je ne sais même pas de quoi tu parles là en fait donc ça ne m'avance pas à grand chose
En fait dans ton premier post tu as balancé tes formules en disant que je devrais m'en tirer avec ça mais sans explication je ne sais pas ce qu'elles ceulent dire. Désolé.

Y a pas de mal. En tres bref, mettre sous la forme d'une somme de cos, c'est faire une serie de fourrier. Ca se fait sur les fonctions de periodiques, de classe C1 par morceaux, et la serie converge vers la regularisee de la fonction (ca c'est une parenthese pour 360no2). La transformée de fourrier c'est la meme chose, sauf que ca s'applique à a peu pres nimporte quelle fonction fonction et que ta somme n'est plus discrete (la somme devient une integrale). La valeur TF(f)(w) de la transformée de fourrier de f en w donne l'importance de la frequence w dans ta fonction de depart.

En fait, la transformée de fourrier, c'est en gros ce qu'affiche un écran d'equaliseur par exemple.

(les delta dans mes postes precedents sont des 'fonctions' de dirac : on peut le voir comme un pic de largeur nulle et de hauteur infinie centrée en une certaine valeur).

T'en fais pas si c'est pas limpide, en general c'est vu bac+2/3

Meumeul

[invite11f2a3ff]

Ok je vais essayer de me dépatouiller avec ça. Merci quand même; Au fait c'est quoi un équaliseur ? Désolé si je semble tout droit sorti d'une autre ère !

@+

[Meumeul]

l'équaliseur, c'est la partie de la chaine hifi qui permet de modifier le volume des graves, des aigues.... et en general, il affiche un petit spectre (voir winamp par exemple)

[monnoliv]

Pour la modulation d'amplitude:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Modulation_d'amplitude
A+