Profil de vitesse dans une conduite

[mc222]

Boujours à tous, je ne comprend pas comment on retrouve le second membre dans l'équation de transport employée pour la viscosité.

On a d'une manière générale :



Comme je cherche l'équation de la vitesse dans une conduite cylindrique et au régime établit , je prend le laplacien cylindrique et j'annule la variation par rapport au temps:



cette équation différentielle se résoud avec une forme logarythmique, j'ai lu que pour obtenir une forme polynomiale, (qui est la bonne solution) il fallait ajouter un terme à l'équation de bilan.
A quoi correspond ce terme ?

merci d'avance
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[chwebij]

bonjour

il suffit de simplifier cette relation

par

[mc222]

salut chwebij , je ne connaissais pas cette relation, du coups elle m'ouvre d'autre portes dans d'autre domaine ^^.

donc généralement :



?

D'ou provient cette relation, en existe-il d'autre du même type ?

merci pour l'implication.

[obi76]

donc généralement :



?

D'ou provient cette relation, en existe-il d'autre du même type ?

Salut,

bien sur ! :



Je ne vois pas où ça pourrai te poser problème

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[mc222]

oui, c'est ce que je pensait, on repart de la formule (uv)' et il a fallut que je m'absente pour aller manger, en tout cas, c'est très bien vue cette simplification.

[mc222]

J'ai rééssayé de résoudre l'équation et je tombe toujours sur une forme logarithmique !

Comment s'en sortir ?

[chwebij]

bonjour

tu as oublié le gradient de pression qui est le moteur de l'écoulement, ainsi:




le gradient ne dépendant que de x.

tu auras le terme du gradient de pression fois et le terme en log étant divergeant, tu le dégages car il ne convient pas aux conditions limites.
Au final tu as le profil en avec K à déterminer.
CQFD

[mc222]

ok, voila donc ma résolution :

On considère que l'écoulement est engendré par un gradiant de pression constant dans la direction de l'écoulement :



On a donc l'équation du bilan en coordonnées cylindriques pour une section circulaire au régime premanant :



on pose ensuite :

D'où :



On calcule la solution sans second membre :

qui donne par intégration :

On a donc la solution générale :

avec k = constante.

On cherche maintenant la solution particulière, on annule donc la dérivée :

d'ou :
On ajoute cette solution particulière à la solution générale :






Comme n'apparait que dans la dérivée, on peut pour résoudre cette équadiff, simplement integer chaque terme sur r:



On trouve bien un terme logarithmique et un terme en r², mais quelle est la raison mathématique pour laquelle on supprime le premier terme ?

[chwebij]

comme je l'ai dit précédemment, la vitesse n'étant pas infinie à r=0, 1/k=0.

[mc222]

a ok, c'est enfait avec les condition initiales qu'on vire un terme, ok, je me rappellais plus que k n'était pas encore défini !

ok ok merci !

ps: "... ce serait-y pas de la pomme ?...y'en a..."

[mc222]

J'aurait encore une autre question, dans le même theme:

Je me suis interressé au fait que (comme vous l'avez dit) c'est le gradiant de pression qui déclanche l'écoulement.

Imaginons une canalisation orientée dans la direction x.

Placons nous maintenant dans une tranche infiniment petite de cette canalisation.

On a d'un coté de la tranche une pression P(x) et de l'autre P(x+dx).
La différence de pression entre ces deux parois est :


Cette pression, affectée à la surface va engendrer une force qui va tendre à faire accélérer cette tranche de canalisation soit :



D'ou :


On trouve donc l'équation aux dérivée paritelles qui décrit la pression en fonction du temps de la distance :



Mon raisonnement est-il bon ?
Quelle est la solution à cette équation si elle existe ?

mmmmm

merci à plus !

[chwebij]

bonjour

il y a une importante erreur. La pression ne sert qu'à compenser les pertes par frottements du liquide avec les paroies extérieures. Dans ton cas, aucune force ne compensant la pression ton fluide va vite fait atteindre des vitesses relativistes.

De plus, vu que tu aimes faire ça proprement pour ton problème initial, il faut écrire l'équation de continuité pour montrer que vx ne dépend que de r et l'équation de Navier STockes sur "r" pour montrer que le gradient de pression ne dépend pas de "r", ni de .

De plus 1/k=0, ce n'est pas un problème de conditions initiales (surtout pour un écoulement stationnaire ) mais plutôt un problème de conditions limites.

[mc222]

ok, comment montrer que la vitesse ne dépend que de r?
C'est évidant mais je ne vois pas comment le démontrer peut etre faut-il dire qu'on est dans une section circulaire, donc qu'elle ne peut pas dépendre de theta (symétrie axiale).
Pour le gradiant de pression, on dit que la canalisation est infiniment fine, et donc que la pression isostatique est constante (verticalement) et donc que le gradiant de pression sur z est nulle, il ne reste donc que celui sur x.

[chwebij]

écris simplement l'équation de continuité pour un écoulement parallèle (vtheta=vr=0).
de même écris l'équation de Navier-Stockes sur les 3 coordonnées.

[mc222]

ok, et comment retombe t-on sur l'expression de poiseille sur la perte de charge :



Je suppose que le Qv en question c'est l'intégrale double de la vitesse sur la section :







Si on reprend l'expression de poiseuile, on s'appercois qu'il n'a que multiplié ce débit par

Comme ci il avait intégré le gradiant de pression sur la longeur du tube mais je ne vois pas du tout pourquoi...

[chwebij]

bonjour
ton expression pour la vitesse dans le profil est incorrect, c'est:



après la différence de pression entre deux points de la canalisation c'est simplement le gradient fois la distance entre les deux points car le gradient est constant dans la conduite (le profil de vitesse étant invariant selon x, le frottement par élément dx de conduite est constant et donc aussi).

[mc222]

ok, merci pour tout !

[mc222]

c'est bizarre, je trouve que la vitesse maxi est toujours deux fois plus grande que la vitesse moyenne, interressant ... propriété de la parabole surment...

[mc222]

enfait je trouve un rapport 3/2