L'unification de l'espace et du temps en relativité restreinte

[Seirios]

Bonjour à tous,

On dit souvent que la relativité restreinte unifie l'espace et le temps en une seule unité, l'espace-temps. Mais je ne vois pas en quoi cela est nouveau parce qu'en mécanique classique, on repère également les événements avec quatre coordonnées (trois d'espace et une de temps). De plus, l'espace n'est pas indépendant du temps en mécanique newtonienne, comme on peut le voir dans la distance entre deux événements à des instants différents ou dans les transformations de Galilée ; il n'y a que le temps qui soit absolu et indépendant de l'espace.

Donc en quoi l'espace-temps est-il une entité nouvelle dans la physique ?

Merci d'avance,
Phys2
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[mariposa]

Bonjour à tous,

On dit souvent que la relativité restreinte unifie l'espace et le temps en une seule unité, l'espace-temps. Mais je ne vois pas en quoi cela est nouveau parce qu'en mécanique classique, on repère également les événements avec quatre coordonnées (trois d'espace et une de temps). De plus, l'espace n'est pas indépendant du temps en mécanique newtonienne, comme on peut le voir dans la distance entre deux événements à des instants différents ou dans les transformations de Galilée ; il n'y a que le temps qui soit absolu et indépendant de l'espace.

Donc en quoi l'espace-temps est-il une entité nouvelle dans la physique ?

Merci d'avance,
Phys2

bonjour,


en mécanique classique il y a 2 métriques indépendantes: une pour le temps et une pour l'espace.

En RR il y a 1 seule métrique pour l'espace-temps qui est la métrique de Minkovski

[invite4ff2f180]

Bonjour,
pour compléter la réponse de mariposa, en mécanique galiléenne le temps est absolu on peut parler de l'espace sans ambiguité et du temps sans ambiguité. En relativité restreinte le temps perd son caractère absolu : c'est en ce sens que l'on parle d'espace-temps.

[invite8fc053df]

Bonjour,
pour compléter la réponse de mariposa, en mécanique galiléenne le temps est absolu on peut parler de l'espace sans ambiguité et du temps sans ambiguité. En relativité restreinte le temps perd son caractère absolu : c'est en ce sens que l'on parle d'espace-temps.

Oui, le temps est devenu relatif depuis la relativité restreinte. En effet, on a prouvé que le temps et l'espace sont liés et ne sont pas indépendant l'un de l'autre : la notion d'espace-temps est apparue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6754323456711]

Donc en quoi l'espace-temps est-il une entité nouvelle dans la physique ?

Pour aller plus loin dans le réponse de mariposa. Bien que la physique newtonienne se soit développée sans ce concept, d'espace-temps il est tout à fait possible de l'introduire à son propos. L'espace-temps newtonien est alors un espace affine de dimension 4, tout comme celui de la RR, mais doté d'une structure particulière qui traduit les notions d'espace et de temps absolu. Cette structure est constitué par le feuilletage par une famille de sous-espaces affines de dimension 3 (hyperplan). Chaque famille est l'espace absolu newtonien au temps absolu newtonien.

Le feuilletage est la traduction mathématique de la notion de simultanéité newtonienne : la date t d'un évènement donné est le même pour tous les observateurs (notion de temps absolu newtonien).

Maintenant cette notion n'est pas très commode en MC ou l'on préfère considérer l'évolution "au cours du temps t" de l'espace tridimentionnel.

L'espace-temps de la RR forment un continuum, dont la géométrie est définie par une métrique généralisé (dite de Lorentz) dont l'équivalent de la boule unité est un cône de lumière, avec des vecteurs de types espace de longueur positive, des vecteurs tangents au cône de lumière de longueur nulle et des vecteurs de type temps de longueur négative.

Dans la théorie de Newton de notion de simultanéité va de soi car elle stipule l'existence d'un temps absolu, indépendant de tout observateurs, mais il n'en est pas de même pour l'espace-temps de Minkowski où aucun "découpage" temporel n'est donné à priori. Les seules structures privilégiées sont celles liées au tenseur métrique tel que le cônes de lumière.

Poincaré : Nous n'avons pas d'intuition directe de la simultanéité de deux évènements distants, ni même de leur ordre d'occurrence. Il a montré que ces notions sont intimement liées à la définition de temps lui-même. La simultanéité résulte d'une convention qu'il convient de préciser.

Patrick

[Seirios]

Merci à vous

[invité576543]

Pour aller plus loin dans le réponse de mariposa. Bien que la physique newtonienne se soit développée sans ce concept, d'espace-temps il est tout à fait possible de l'introduire à son propos. L'espace-temps newtonien est alors un espace affine de dimension 4, tout comme celui de la RR, mais doté d'une structure particulière qui traduit les notions d'espace et de temps absolu. Cette structure est constitué par le feuilletage par une famille de sous-espaces affines de dimension 3 (hyperplan). Chaque famille est l'espace absolu newtonien au temps absolu newtonien.

Pas exactement. Il faut quand même une connexion entre les tranches spatiales définies par la simultanéité. Et cette connexion n'est pas unique, parce que chaque référentiel galiléen correspond à une connexion différente.

(Autre manière de le dire : temps absolu oui, mais espace absolu non. La notion de l'espace n'est définie que par/pour un référentiel galiléen donné.

Et on peut aller plus loin : chaque référentiel, galiléen ou non, définit une notion d'espace. Contrairement à la RR, l'espace garde un sens clair pour un référentiel "accéléré" (= non galiléen !). Bien pour cela qu'on peut parler de référentiel terrestre...)

Bref la structure de l'espace-temps newtonien est celle d'un fibré espace euclidien 1D (temps) --> espace euclidien 3D (tranches spatiales), sans connexion canonique (mais avec une ensemble "spécial" de connexions, les référentiels galiléens).

[invite6754323456711]

Pas exactement. Il faut quand même une connexion entre les tranches spatiales définies par la simultanéité. Et cette connexion n'est pas unique, parce que chaque référentiel galiléen correspond à une connexion différente.

L'union des hyperplans ne suffit-elle pas ? Comme si l'espace-temps newtonien serait l'empilement des "photographies" des espaces absolus aux différents instants absolus.

Patrick

[invité576543]

L'union des hyperplans ne suffit-elle pas ? Comme si l'espace-temps newtonien serait l'empilement des "photographies" des espaces absolus aux différents instants absolus.

Un empilement. Le problème est qu'il y en a une infinité d'empilements possibles et ayant un sens. L'espace-temps, qui reste unique, doit être une structure reflétant cette flexibilité.

Un référentiel est exactement cela : la donnée d'un empilement particulier.

Ensuite, tu emploies un pluriel ! "espaces absolus". Cela n'a pas de sens. Soit il y a un espace absolu (la structure mathématique est alors R x R³, un produit cartésien), soit il y a des tranches spatiales indépendantes (la structure mathématique est alors un fibré R --> R³). Ces tranches sont chacunes des espaces euclidiens 3D.

Dans le cas du fibré (la modélisation correcte) on ne peut pas voir chaque tranche comme LA photo de quelque chose au moment t, mais comme une photo, avec un "cadrage" et une orientation particulière, au temps t. Et le quelque chose n'est pas un espace euclidien 3D, c'est le fibré lui-même.

En gros, faut arriver à comprendre la différence entre le produit cartésien, rigide, avec une relation fixe entre tranches spatiales; et le fibré, plus fluide, les tranches glissant les sur les autres, et demandant un choix arbitraire (un référentiel) pour pouvoir s'y repérer.

Notons que l'espace-temps de la RR est plus "rigide" que l'espace-temps newtonien (l'espace-temps de la RR n'est pas un fibré, c'est R⁴), ce qui explique que la méca classique peut gérer facilement des référentiels non galiléens alors que la RR ne le peut pas.

[invité576543]

PS : Je sais bien que mes explications sont loin d'être claires, sauf à comprendre a priori de quoi il s'agit !

La différence entre produit cartésien et fibré fait partie de ces idées qui passent un jour du statut de "opaque" à "évident", sans que je sache bien expliquer cette transition, et donc guider quelqu'un vers cette transition.

Mais d'une certaine manière, l'espace-temps newtonien et les référentiels sont une bonne introduction à l'idée ! Il faut se poser la question "qu'est-ce qu'un point de l'espace ?", et réaliser qu'il n'y a aucune réponse possible sans le choix arbitraire d'un référentiel (c'est à dire d'une connexion dans le langage des fibrés). En conséquence, la notion de "point de l'espace" ne doit pas apparaître dans la structure modélisant l'espace-temps newtonien (mais la notion de point de l'espace-temps, elle, doit apparaître). Les fibrés apportent le bon modèle, ayant ces propriétés.

[invite6754323456711]

Ensuite, tu emploies un pluriel ! "espaces absolus". Cela n'a pas de sens. Soit il y a un espace absolu (la structure mathématique est alors R x R³, un produit cartésien), soit il y a des tranches spatiales indépendantes (la structure mathématique est alors un fibré R --> R³). Ces tranches sont chacunes des espaces euclidiens 3D.

Qu'est-ce qui interdit l'existence d'un isomorphisme de chaque hyperplan (espace de référence d'un observateur O) vers un espace euclidien de dimension 3. Le champ de vecteur (de l'espace vectoriel associé) v(t) est fixe par rapport à O. L'isomorphisme ne dépend pas de t.

Patrick

[invité576543]

Qu'est-ce qui interdit l'existence d'un isomorphisme de chaque hyperplan (---) vers un espace euclidien de dimension 3.

Il n'y a, au sens mathématique, qu'un seul espace euclidien de dimension 3. Donc évidemment que chaque tranche lui est isomorphe.

Le problème n'est pas l'existence, mais la canonicité.

Est-ce qu'il existe un isomorphisme unique, canonique, déterminé par la structure, entre deux tranches à des instants différents.

Et dans le cas de l'espace-temps newtonien, la réponse est non. (E.g., on ne sait pas donner un sens à "la position de la Lune il y a trois mois" qui dériverait de la seule structure de l'espace-temps : il faut un référentiel pour y arriver, et la réponse n'est pas la même selon le référentiel. Évident quand on compare le référentiel géocentrique et le référentiel héliocentrique).

Il existe une infinité de tels isomorphismes, sans qu'on puisse en exhiber un structurellement spécial.

(espace de référence d'un observateur O) (...) Le champ de vecteur (de l'espace vectoriel associé) v(t) est fixe par rapport à O. L'isomorphisme ne dépend pas de t.

Ce que tu appelles "espace de référence" est exactement un référentiel. Son choix est arbitraire, mais une fois ce choix fait, oui, l'isomorphisme entre l'espace défini par le référentiel (le référentiel lui-même, d'une certaine manière) et une tranche spatiale est fixé.

La distinction entre produit cartésien et fibré est dans ce choix arbitraire. Le choix fait, on a une structure cartésienne ; en laissant libre le choix (en ne le faisant pas), on a une structure de fibré.

[invite6754323456711]

La différence entre produit cartésien et fibré fait partie de ces idées qui passent un jour du statut de "opaque" à "évident", sans que je sache bien expliquer cette transition, et donc guider quelqu'un vers cette transition.

Cela a t'il un lien avec la décomposition orthogonale des formes bilinéaires antisymétrique par une forme linéaire et un vecteur (tout deux orthogonal au vecteur unitaire du genre temps u, 4-vitesse d'un observateur). En l'occurrence dans le cadre de la RR la variation du référentiel local de la ligne d'univers se décompose en une partie Fermi-Walker (tenseur) et une partie rotation spatiale (tenseur)?



Patrick

[kalish]

moi qui comptait parler de norme. Pensant bêtement que pour la mécanique Newtonienne la norme d'un vecteur ne dépendait pas du temps, alors que dans un espace de minkowski si. Les objets physiques étant des tenseurs. ben zut la réponse est bien plus complexe.

[invité576543]

Cela a t'il un lien avec la décomposition orthogonale des formes bilinéaires antisymétrique par une forme linéaire et un vecteur (tout deux orthogonal au vecteur unitaire du genre temps u, 4-vitesse d'un observateur). En l'occurrence dans le cadre de la RR la variation du référentiel local de la ligne d'univers se décompose en une partie Fermi-Walker (tenseur) et une partie rotation spatiale (tenseur)?

Je ne sais pas, pas le temps d'y réfléchir.

Mais la différence que j'essaye d'expliquer est bien plus simple que cela.

Et la structure de l'espace-temps de la RR n'est pas un fibré, c'est R⁴, un produit cartésien (mais pas R⁴ euclidien). (C'est d'ailleurs en cela qu'on peut parler d'une intégration entre le temps et l'espace, par rapport à l'espace-temps newtonien, pour raccrocher au sujet.) Je ne pense pas que c'est en cherchant dans la RR que le point que j'essaye de faire sera clair ; il est intrinsèque à la méca classique.

[invite6754323456711]

moi qui comptait parler de norme. Pensant bêtement que pour la mécanique Newtonienne la norme d'un vecteur ne dépendait pas du temps, alors que dans un espace de minkowski si. Les objets physiques étant des tenseurs. ben zut la réponse est bien plus complexe.

Si on restreint la norme à des vecteur de genre temps, comme les vecteurs tangents à une ligne d'univers on obtient une fonction qui ne s'annule que lorsque le vecteur v est nul (bien que cela ne soit toujours pas une norme au sens mathématique du terme, car elle ne vérifie pas l'inégalité triangulaire) on peut l'utiliser pour mesurer des longueurs le long de la ligne d'univers en l'occurrence ce qui défini le temps propre.

c := ||dx||_g dx est un vecteur tangent à la ligne d'univers orienté vers le futur joignant deux évènements infiniment voisins. g tenseur pseudo-métrique.

Patrick

[invite6754323456711]

Je ne sais pas, pas le temps d'y réfléchir.

Pour l'instant j'avale la RR au travers de la présentation géométrique faite par Eric Gourgoulhon dans son ouvrage relativité restreinte des particules à l'astrophysique. Les fibrés j'en ai encore qu'une compréhension superficielle.

Il démontre que tout forme bilinéaire antisymétrique A par rapport à la 4-vitesse u se décompose en une unique forme linéaire q et un unique vecteur b (orthogonal à u)

A = u q - q u +

désigne le tenseur de Levi-Civita.

Patrick
La forme linaire q et le vecteur b sont parfois appelés respectivement partie électrique et partie magnétique de la forme bilinéaire A vis à vis de u issus de la décomposition du tenseur champ électromagnétique, qui est une forme bilinéaire antisymétrique.

[invite6754323456711]

Ce que tu appelles "espace de référence" est exactement un référentiel. Son choix est arbitraire, mais une fois ce choix fait, oui, l'isomorphisme entre l'espace défini par le référentiel (le référentiel lui-même, d'une certaine manière) et une tranche spatiale est fixé.

C'est effectivement la définition (convention) qui est donné d'un observateur O et de son référentiel local le long de sa ligne d'univers. A savoir un quadruplet de vecteur défini en tout point O(t) de la ligne d'univers et vérifiant un certain nombre de propriétés.

On doit pouvoir exprimer la même chose en MC, mais vérifiant des propriétés différentes.

Patrick

[invité576543]

Pour l'instant j'avale la RR

Ce que je cherchais à expliquer dans les derniers messages que j'ai envoyés portait sur l'espace-temps newtonien. Ce n'est pas la RR qui permettra de comprendre ce que je cherche à expliquer.

L'espace-temps newtonien n'est pas "un cas particulier" de l'espace-temps de Minkowski, c'est très différent.

[invité576543]

C'est effectivement la définition (convention) qui est donné d'un observateur O et de son référentiel local le long de sa ligne d'univers. A savoir un quadruplet de vecteur défini en tout point O(t) de la ligne d'univers et vérifiant un certain nombre de propriétés.

On doit pouvoir exprimer la même chose en MC, mais vérifiant des propriétés différentes.

Non, parce qu'on n'a pas besoin de référentiel local en MC. La notion de référentiel local est une notion de RG, de variété différentielle générale.

En MC, un objet 3D se déplaçant sur l'infini du temps définit UN référentiel, un seul, global. (Pareil en RR, en fait. Les seuls référentiels en RR, i.e., compatibles avec la structure de la RR, sont les référentiels galiléens, et sont globaux.)

Ou encore, la RG parle d'un espace-temps moins structuré que celui de la RR ou la MC. Du coup, on peut évidemment utiliser les concepts de la RG dans les autres cas, mais cela revient à ignorer la structure spéciale des espaces-temps de la MC et de la RR.

Tu ne pourras pas comprendre les spécificités de chacun en mélangeant tout.

[invite6754323456711]

Cela a t'il un lien avec la décomposition orthogonale des formes bilinéaires antisymétrique par une forme linéaire et un vecteur (tout deux orthogonal au vecteur unitaire du genre temps u, 4-vitesse d'un observateur). En l'occurrence dans le cadre de la RR la variation du référentiel local de la ligne d'univers se décompose en une partie Fermi-Walker (tenseur) et une partie rotation spatiale (tenseur)?

Juste une autre différence. Dans le cas de l'espace classique de dimension 3, la variation dans le temps d'un repère mobile de trois vecteurs unitaires orthogonaux est due uniquement à la rotation de ce repère. Dans le cas d'un repère mobile contenant un quatrième vecteur (4-vitesse). Ce dernier peut varier même en l'absence de toute rotation spatiale, losrque l'observateur est accéléré.

est liè uniquement à la 4-accélération a de l'observateur O, qui fait que le vecteur 4-vitesse u change de direction lorsque t varié, ainsi donc que l'hyperplan orthogonal à u. Si on fait le lien avec le paradoxes des jumeaux dans un cadre de l'espace-temps de Minkowski, il semble donc que la seule façon de départir les lignes d'univers est la 4-accélération. Maintenant effectivement cela ne signifie pas que le paradoxes des jumeaux est un phénomène intrinsèquement lié à l'accélération car il existe d'autre cadre (topologie multiplement connexe) qui permet de départir (longueur temps propre différentes) les lignes d'univers ayant des 4-accélération identiquement nulle.

Patrick

[invite6754323456711]

Tu ne pourras pas comprendre les spécificités de chacun en mélangeant tout.

C'est pourtant comme cela qu'est présenté formellement le référentiel local d'un observateur par E.G. Le formalise repose bien entièrement sur la notion d'espace affine et ne fait aucunement référence à la notion de variété différentielle.

Sa présentation se veut quadridimentionnelle basée sur des effets physiques mesurables sur la notion d'un observateur tout à fait général, c'est à dire pouvant être accèléré ou en rotation et non uniquement basé sur une classe priviligiée d'observateurs (inertiels).

Il faut juste en être averti.

Patrick

[invité576543]

Monologue.....

[invite6754323456711]

Ce que je cherchais à expliquer dans les derniers messages que j'ai envoyés portait sur l'espace-temps newtonien. Ce n'est pas la RR qui permettra de comprendre ce que je cherche à expliquer.

Oui j'avais compris.

L'espace-temps newtonien n'est pas "un cas particulier" de l'espace-temps de Minkowski, c'est très différent.

La question portait sur la notion d'espace-temps utilisé en MC. Quel est sa différence avec la RR. Cette notion facilite t'elle la compréhension de la MC ?

http://charles-michel.marle.pagesper...latenfants.pdf




Ligne d'univers en MC :





Comment la notion de fibré/connexion s'incorpore dans cette notion d'espace-temps en MC ? En quoi peut elle être utile ?

Patrick

[invité576543]

Comment la notion de fibré/connexion s'incorpore dans cette notion d'espace-temps en MC ? En quoi peut elle être utile ?

Déjà, j'aime bien comprendre un modèle mathématique ! L'espace-temps de la RR est mathématiquement très simple (si, si), parce que c'est un "espace homogène principal", une géométrie au sens de Klein.

Mais l'espace-temps de la MC est bien plus compliqué !

Ensuite, il me semble que c'est utile pour le sujet de ce fil, parce que cette notion d'unification n'a aucun sens autre que la transition entre un modèle "non unifié" à un modèle "unifié".

Il est donc utile, à mon sens, (en tout cela m'est utile) de comprendre en quoi l'espace-temps de la MC "sépare" l'espace et le temps. Et c'est en étudiant en détail le modèle mathématique qu'est l'espace-temps de la MC qu'on peut comprendre à quel point il n'y a pas unification, et quel sens donné à l'idée que la structure de l'espace-temps de Minkowski unifie temps et espace.

[invité576543]

annulé....

[invité576543]

Si tu veux, ce que j'ai présenté dans ce fil c'est l'espace-temps de Leibniz selon le .pdf que tu as cité. Pour moi, c'est le seul modèle valable pour la mécanique classique.

(Mais je préfère de loin l'approche par les fibrés que ce qui est présenté dans le .pdf, même si elle paraît plus ésotérique au premier abord. )

[invite6754323456711]

Si tu veux, ce que j'ai présenté dans ce fil c'est l'espace-temps de Leibniz selon le .pdf que tu as cité. Pour moi, c'est le seul modèle valable pour la mécanique classique.

Je viens de m'en rendre compte je ne l'avais pas lu en entier. Il le présente comme la réunion des hyperplans et le déclare défini par le principe d'inertie.

Patrick

[kalish]

Excusez moi de m'interposer dans cette discussion qui semble savante. Je n'ai pas bien compris la réponse de ù100fil, mais c'est sympa d'avoir essayé.

Je ne comprends pas non plus bien le propos de michel (mmy): le seul véritable espace-temps est celui de la RG car réellement chaque référentiel est unique dans l'espace et dans le temps??? Je ne suis vraiment pas sûr de ne pas dire une grosse ânerie, merci de corriger le cas échéant. Dans ce cas là c'est un peu troublant: un point n'est définit que par rapport à un système de coordonnées, et celui ci se définit par rapport à quoi? l'espace temps? du coup c'est quoi? (une variété... oui mé...) D'ailleurs j'ai lu qu'un point ne se définit pas sans référentiel (je crois que système de coordonnée est mieux non?), mais on ne peut pas dire qu'une variété est une collection de point?(pourtant sans référentiel, par un emprunt de vocabulaire très abusifs, les coordonnées d'un point ne sont elles pas les représentation des points de la variété?)

En plus c'est un peu difficile de comprendre en quoi la RR a du mal avec les référentiels accélérés. J.J. Labarthe a écrit un cours qui parle (entre autres) du champs EM produit par une charge accélérée uniformément, dans un référentiel où la vitesse est nulle, pour simplifier les calculs, c'est donc un référentiel accéléré. Tout ça ave la RR.
Mais il y a aussi la fameuse expérience de pensée du manège, qui montre que l'accélération "tord" l'espace temps, peut-on vraiment dire que la RR ne s'applique pas quand on s'appuie sur un de ses résultats pour fonder la RG, ne doit-on pas plutôt dire que la RR ne peut pas se contenter de la métrique de minkowski? C'est elle qui ne tient pas, pour moi la RG c'est RR+ principe d'équivalence des masses inertes et graves, d'où RG= RR dans les référentiels en chute libre (toujours trouvables!!), donc tous les référentiels peuvent devenir inertiels moyennant un choix de système de coordonnées.

Mais c'est peut-être du gros méli mélo.

[invite6754323456711]

Il est donc utile, à mon sens, (en tout cela m'est utile) de comprendre en quoi l'espace-temps de la MC "sépare" l'espace et le temps. Et c'est en étudiant en détail le modèle mathématique qu'est l'espace-temps de la MC qu'on peut comprendre à quel point il n'y a pas unification, et quel sens donné à l'idée que la structure de l'espace-temps de Minkowski unifie temps et espace.

Pour l'instant la différence que je vois concerne la simultanéité et l'ordre d'occurrence de deux évènements distants.

Comment en RR dater à priori les évènements qui ne se produisent pas sur la ligne d'univers de l'observateur. Il n'y a plus de temps absolu, indépendant de tout observateur. Cela ne semble plus possible.

Les structures privilégiées canonique dans l'espace-temps de Minkowski liée au pseudo-tenseur métrique, à savoir les cônes de lumière n'induisent aucun feuilletage de l'espace-temps par des hypersurfaces du genre espace, similaire au feuilletage de l'espace-temps de Leibniz.
Il faut définir la simultanéité par une convention basée sur des critère physique (mesure du temps aller-retour d'un signal électromagnétique).

Patrick