projections de forces

[invited54f8d46]

Bonjours à tout les gens du board, je sollicite votre aide pour une question qui parait facile à première vue mais qui se complique dans ce cas particulier. Alors voilà:

Nous nous basons dans un repère (O,x,z), nous avons un support défini par une fonction (le point qui rend plus compliquer la chose le support n'est pas forcément une droite mais peut-être la courbe de n'importe quelle fonction ) et deux forces s'appliquent au système : le poids P et la réaction normale R_N.

Je veux projeter les forces sur les axes x et z. Pour le poids rien de difficile mais pour la réaction c'est différent (voir schéma) car l'angle formé entre l'axe et la courbe change.

Ainsi j'aimerais que vous m'aidiez en m'expliquant comment calculer l'angle en fonction de la fonction qui défini le support et donc ainsi pouvoir projeter la force sur les deux axes.

Merci d'avance.
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[invite2cc04abc]

Bonjour
Je n'ai jamais eu à utiliser cela pour mes exercices, mais c'est une question intéressante.

Mon idée est la suivante:

Vous savez que la réaction normale est par définition toujours normale au support.

Vous connaissez l'équation du support, vous pouvez donc déterminer l'équation de sa dérivée.

Si vous connaissez la valeur de la dérivée en un point, vous connaissez donc la valeur de la pente de la tangente à la courbe en ce point.

La tangente à la courbe ainsi que la réaction du support forment un repère orthonormé.

Je pense qu'ainsi vous pourriez vous en sortir.

( je n'ai pas testé, ce n'est qu'une piste à laquelle j'ai pensé)

Salutations

Edit: En fait cela me fait penser à des changement de repère pour des calculs de cinématique, lorsqu'on doit dessiner les deux repères avec l'angle entre les deux repères pour faire le changement de base

[invited54f8d46]

oui en effet et de plus cela permettrait de généraliser les mouvements de chute parabolique à tous les cas possibles ( ou presque ).

Cependant je pense qu'il faudrait non pas utiliser la dérivé en un point mais la dérivé en tout point de la fonction ( je sais pas si cela ce dit ). En gros utiliser 2x à la place de x² par exemple car sinon on ne pourrait pas en déduire les valeurs des fonctions horaires.

Donc d'après vous comment pourrait-on exprimer le cosinus ou sinus de l'angle formé entre l'axe et la dérivée de la fonction en fonction de la dérivée ( ou dérivée en un point ) ?

[invite2cc04abc]

Voila un petit schéma pour expliquer mon idée:

On connait donc, à partir de l'expression de la dérivée, la valeur de la pente de la tangente en n'importe quel point de la courbe.

Si on considère un repère x1 z1 colinéaire à x z , dont l'origine est le point f(x), on a l'équation pour la tangente (dans le repère considéré)

z1(x1)=f'(x)*x1

si on considère le point x1=1, on trouve z1= f'(x)

donc en utilisant les relations géométriques, on a
cos(alpha)= 1/f'(x) ou alpha =arccos(1/f'(x)) avec alpha l'angle entre le repère x1z1 et xz

(voir mon schéma pour mieux comprendre)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited54f8d46]

Merci.

Je viens de lire les cours de 1e S je ne suis qu'en première et je n'ai donc pas réellement étudier les dérivés mais je me débrouille. Ainsi comme tu l'a dis la dérivé d'une fonction en un point représente le coefficient directeur de sa tangente en ce même point.

Donc on a alpha = arctan ( df/dx )
Ainsi on trouve cos alpha = Rnz/Rn
d'où Rnz = Rn.cos [ arctan( df/dx) ]
et Rnx = Rn.sin [ arctan(df/dx) ] car cos (90-alpha) = sin alpha

cela rejoint ta conclusion, confirmes-tu ?

[invited54f8d46]

Je vais enfin pouvoir généraliser les équation horaires a tout les cas mettant en scène le poids et la réaction normale seulement.

[invite2cc04abc]

Oui tu as raison pour le arctan j'ai fait une bête erreur en allant trop vite ^^

Utilises plutôt la notation f'(x) que df/dx c'est moins lourd à écrire, mais personnellement ça me semble bon ( à moins que quelqu'un ne vienne corriger)

[invite2cc04abc]

Equation horaires en 1ere ?

[invited54f8d46]

D'accord je noterais f'(x). On va dire que je suis physiquement en avance je sais faire les équations horaires depuis la seconde pour les mouvement de chute parabolique vu en terminale.

Sinon le problème qui survient c'est que j'ai l'angle mais celui-ci varie en fonction de x donc je me retrouve avec des x: t--> t . cos alpha mais alpha est en fonction de x. C'est comme si on avait l'intensité de champ de pesanteur qui variait en fonction de z, il est plus dur de faire les équations horaires.

aurais-tu une solution ?

sinon pour du 2e degré on peut dérivé une fois mais pour du 3e degré pour avoir une fonction affine il faut dérivé la dérivé de la fonction ?


merci