Pourquoi le radian n'est-il pas une unité ?

[mikeuline]

Bonjour,
Lorsqu'on calcule une grandeur qui fait intervenir l'inverse d'un temps (par exemple si je veux calculer une action), selon que l'on prend la pulsation (oméga) ou la fréquence (nu), on n'obtient pas le même résultat (et pour cause, il y a un facteur 2pi entre les 2). Donc ça m'embête que les 2 (fréquence et pulsation) aient la même unité.
Pourquoi n'écrit-on pas oméga = 2pi radians.s-1 (je prends une valeur au hasard) plutôt que oméga = 2pi s-1 ? (ce qui laisse croire que c'est équivalent à une fréquence, et qui induit des erreurs dans les calculs)

Pourquoi le radian n'est-il pas considéré comme une unité ?

Merci d'avance pour vos réponses.

[invité576543]

Bonjour,

C'est une bonne question, que je me suis posée dans le temps pour l'analyse dimensionnelle.

Le radian est une unité "sans dimension", c'est un rapport de longueur. Cela a des tas de conséquences...

Le problème le plus parlant est celui de l'accélération d'entraînement centrifuge, , on pourrait voir cela en kg mètre radian² par s², mais c'est vraiment une force, c'est-à-dire en kg métre par s². Dans ce cas, les radians ne doivent pas être indiqués dans l'unité.

D'autre problèmes similaires existent...

Dans certains cas, comme la vitesse angulaire, le cas que tu cites, il me semble préférable (mais ce n'est pas nécessairement l'opinion de tout le monde) d'indiquer radian dans l'unité, en radian/s.

Dans la plupart des autres cas, le radian est rarement mis (moment angulaire, couple, ...). Et au carré, le radian disparaît..

En résumé, le radian est à manipuler avec précautions, il ne se comporte pas une unité "normale"...

Cordialement,

[mikeuline]

Le radian est une unité "sans dimension", c'est un rapport de longueur.

Ah bon ? Pour moi le sin (ou le cos) est bien un rapport de longueur, donc sans dimension, mais pas l'angle lui-même. Est-ce que tu peux m'en dire plus ?
Les angles peuvent être donnés en degré ou en radian, c'est donc bien le signe qu'il faut spécifier qu'elle unité on utilise, quand on parle d'angle, non ? De la même manière que quand on donne une longueur, il faut préciser si on parle en mètres ou en pieds...

Le problème le plus parlant est celui de l'accélération d'entraînement centrifuge, , on pourrait voir cela en kg mètre radian² par s², mais c'est vraiment une force, c'est-à-dire en kg métre par s². Dans ce cas, les radians ne doivent pas être indiqués dans l'unité.

Ben justement j'aurais dit que ce n'était pas homogène à une force...
Je ne comprends pas bien le principe d'une "semi-unité" que l'on écrit parfois et parfois non...

Merci en tous cas pour la réponse

[iwio]

Je sais pu comment le démontrer, mais le radian est bien le rapport d'une longueur sur une longueur, par conséquent ça n'a pas d'unité.

[BioBen]

Ah bon ? Pour moi le sin (ou le cos) est bien un rapport de longueur, donc sans dimension, mais pas l'angle lui-même. Est-ce que tu peux m'en dire plus ?

Bah un truc tout bete : quelle aurait la signigifacation de cos(1mètre) ? Aucun. Cequi se trouve dans les cos, sin, e,... est toujours adimensionné.
De plus cos(x) est égal à un rapport de longueur, donc sit tu prends l'Arcos tu auras à nouveau un truc sans dimension.

On a pas besoin de la dimension "angle" puisque celui ci est donné par le rapport de deux longueurs.

Ben justement j'aurais dit que ce n'était pas homogène à une force...

Surtout pas, sinon tu risque de faire des grosses erreurs

Je ne comprends pas bien le principe d'une "semi-unité" que l'on écrit parfois et parfois non...

Bah honnetement radian tu l'écris quand tu sens que ca peut servir, genre dire rad/s au lieu de s^-1.
Mais attention à ne pas confondre unité et dimension, c'est totalement différent !

[invité576543]

Ah bon ? Pour moi le sin (ou le cos) est bien un rapport de longueur, donc sans dimension, mais pas l'angle lui-même. Est-ce que tu peux m'en dire plus ?

Bonsoir,

C'est visible à l'approximation linéaire, pour les tous petits angles (cela explique aussi pourquoi l'unité usuelle est le radian)

Pour un tout petit angle on a si l'angle est en radian, d et D étant orthogonaux, et d petit devant D. Il s'agit bien là d'un rapport de longueurs.

Cette approximation linéaire a de nombreuses applications en physique, et impose le radian comme unité.

Cordialement,

[invité576543]

Lorsqu'on calcule une grandeur qui fait intervenir l'inverse d'un temps (par exemple si je veux calculer une action)

Un petit point supplémentaire. Pour le calcul de l'action, le problème vient qu'il n'est pas habituel d'utiliser le newton.mètre par radian pour le couple ou le moment cinétique. Cela aurait une certaine logique, mais expliquer d'où vient le radian (le produit vectoriel...) n'est pas facile puisqu'il n'y a pas d'angle visible dans les formules usuelles.

La logique action = newton.mètre/radian x radian est très parlante pour comprendre l'action, mais la présentation usuelle est action = moment cinétique, pour éviter ce radian difficile à expliquer, même si finalement c'est bizarre pour l'action...

Cordialement,

[Caïus]

Bonjour,
Pourquoi le radian n'est-il pas considéré comme une unité ?

Merci d'avance pour vos réponses.

C'est très simple. Si tu prends pi en radian, tu as pi = C / D
C est la circonférence en mètre, D est le diamètre en mètre.
Si tu divises des mètres par des mètres, tu obtiens quelque chose sans unité

[volsonges]

Il suffit de se rappeler la formule pour le périmètre du cercle :


Ou de manière équivalente, la longueur de la corde :


Or l et R sont toutes deux des longueurs, donc n'est rien d'autre qu'un rapport de longueur, donc sans dimension.

Cqfd.

[iwio]

Oui voila, avec "la longueur de la corde", on voit très bien que teta n'a pas d'unité. Bonne exemple.

[zapple]

Quelques précisions.

1)Le fait qu'on fasse un rapport de deux choses ayant meme unité ne veut pas dire qu'on aura quelque chose sans unité. Une longueur peut tres bien etre le rapport de deux longueurs, ca reste quand meme une longueur ayant pour unité le mètre. Une unité ca permet de savoir de quoi on parle. Si vous donnez un nombre 120 sans rien mettre apres, on ne peut pas devinez si c'est d'une longueur que vous parlez, ou d'une température, ...

2)Depuis l'antiquité, on mesure les angles en degrés. Alors, la question est de savoir pouquoi une rotation complète vaut 360° ? Ce sont les astronomes babyloniens qui ont choisi ce nombre, parce qu'ils pensaient que la terre tournait sur elle-meme en 360 jours.

3)Quand à l'origine du radian je n'en suis pas certain, mais il me semble qu'elle vient du calcul différentiel. Je sais que l'unité radian, c-a-d 1 radian, est l'angle qu'on obtient lorsque la longueur de l'arc de cercle S tracé est égale au rayon du cercle.

Pour conclure, le radian est une unité comme une autre.

[doryphore]

Une longueur peut tres bien etre le rapport de deux longueurs, ca reste quand meme une longueur ayant pour unité le mètre.

C'est absolument faux ou alors trouve un exemple....

[doryphore]

Il y a exactement autant de raison de considérer le radian comme unité de mesure d'angle que le knot comme unité de mesure de vitesse, c'est à dire aucune.

[zapple]

C'est absolument faux ou alors trouve un exemple....

4 metres sur 2 metres ca donne 2 metres, ca donne pas un nombre deux quelconque sans unité. Ou encore 30 newtons sur 10 newtons, ca donne 3 newtons.

Le radian est une unité de mesure du système internationnal qui plus est.

[gatts]

J'ai pas compris tes deux exemples, pour moi dans les deux cas le résultat est sans unité