Pourquoi le radian n'est-il pas une unité ?

[invite6efd23ca]

Bonjour,
Lorsqu'on calcule une grandeur qui fait intervenir l'inverse d'un temps (par exemple si je veux calculer une action), selon que l'on prend la pulsation (oméga) ou la fréquence (nu), on n'obtient pas le même résultat (et pour cause, il y a un facteur 2pi entre les 2). Donc ça m'embête que les 2 (fréquence et pulsation) aient la même unité.
Pourquoi n'écrit-on pas oméga = 2pi radians.s-1 (je prends une valeur au hasard) plutôt que oméga = 2pi s-1 ? (ce qui laisse croire que c'est équivalent à une fréquence, et qui induit des erreurs dans les calculs)

Pourquoi le radian n'est-il pas considéré comme une unité ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[invité576543]

Bonjour,

C'est une bonne question, que je me suis posée dans le temps pour l'analyse dimensionnelle.

Le radian est une unité "sans dimension", c'est un rapport de longueur. Cela a des tas de conséquences...

Le problème le plus parlant est celui de l'accélération d'entraînement centrifuge, , on pourrait voir cela en kg mètre radian² par s², mais c'est vraiment une force, c'est-à-dire en kg métre par s². Dans ce cas, les radians ne doivent pas être indiqués dans l'unité.

D'autre problèmes similaires existent...

Dans certains cas, comme la vitesse angulaire, le cas que tu cites, il me semble préférable (mais ce n'est pas nécessairement l'opinion de tout le monde) d'indiquer radian dans l'unité, en radian/s.

Dans la plupart des autres cas, le radian est rarement mis (moment angulaire, couple, ...). Et au carré, le radian disparaît..

En résumé, le radian est à manipuler avec précautions, il ne se comporte pas une unité "normale"...

Cordialement,

[invite6efd23ca]

Le radian est une unité "sans dimension", c'est un rapport de longueur.

Ah bon ? Pour moi le sin (ou le cos) est bien un rapport de longueur, donc sans dimension, mais pas l'angle lui-même. Est-ce que tu peux m'en dire plus ?
Les angles peuvent être donnés en degré ou en radian, c'est donc bien le signe qu'il faut spécifier qu'elle unité on utilise, quand on parle d'angle, non ? De la même manière que quand on donne une longueur, il faut préciser si on parle en mètres ou en pieds...

Le problème le plus parlant est celui de l'accélération d'entraînement centrifuge, , on pourrait voir cela en kg mètre radian² par s², mais c'est vraiment une force, c'est-à-dire en kg métre par s². Dans ce cas, les radians ne doivent pas être indiqués dans l'unité.

Ben justement j'aurais dit que ce n'était pas homogène à une force...
Je ne comprends pas bien le principe d'une "semi-unité" que l'on écrit parfois et parfois non...

Merci en tous cas pour la réponse

[invite0982d54d]

Je sais pu comment le démontrer, mais le radian est bien le rapport d'une longueur sur une longueur, par conséquent ça n'a pas d'unité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51605009]

Ah bon ? Pour moi le sin (ou le cos) est bien un rapport de longueur, donc sans dimension, mais pas l'angle lui-même. Est-ce que tu peux m'en dire plus ?

Bah un truc tout bete : quelle aurait la signigifacation de cos(1mètre) ? Aucun. Cequi se trouve dans les cos, sin, e,... est toujours adimensionné.
De plus cos(x) est égal à un rapport de longueur, donc sit tu prends l'Arcos tu auras à nouveau un truc sans dimension.

On a pas besoin de la dimension "angle" puisque celui ci est donné par le rapport de deux longueurs.

Ben justement j'aurais dit que ce n'était pas homogène à une force...

Surtout pas, sinon tu risque de faire des grosses erreurs

Je ne comprends pas bien le principe d'une "semi-unité" que l'on écrit parfois et parfois non...

Bah honnetement radian tu l'écris quand tu sens que ca peut servir, genre dire rad/s au lieu de s^-1.
Mais attention à ne pas confondre unité et dimension, c'est totalement différent !

[invité576543]

Ah bon ? Pour moi le sin (ou le cos) est bien un rapport de longueur, donc sans dimension, mais pas l'angle lui-même. Est-ce que tu peux m'en dire plus ?

Bonsoir,

C'est visible à l'approximation linéaire, pour les tous petits angles (cela explique aussi pourquoi l'unité usuelle est le radian)

Pour un tout petit angle on a si l'angle est en radian, d et D étant orthogonaux, et d petit devant D. Il s'agit bien là d'un rapport de longueurs.

Cette approximation linéaire a de nombreuses applications en physique, et impose le radian comme unité.

Cordialement,

[invité576543]

Lorsqu'on calcule une grandeur qui fait intervenir l'inverse d'un temps (par exemple si je veux calculer une action)

Un petit point supplémentaire. Pour le calcul de l'action, le problème vient qu'il n'est pas habituel d'utiliser le newton.mètre par radian pour le couple ou le moment cinétique. Cela aurait une certaine logique, mais expliquer d'où vient le radian (le produit vectoriel...) n'est pas facile puisqu'il n'y a pas d'angle visible dans les formules usuelles.

La logique action = newton.mètre/radian x radian est très parlante pour comprendre l'action, mais la présentation usuelle est action = moment cinétique, pour éviter ce radian difficile à expliquer, même si finalement c'est bizarre pour l'action...

Cordialement,

[invite90445145]

Bonjour,
Pourquoi le radian n'est-il pas considéré comme une unité ?

Merci d'avance pour vos réponses.

C'est très simple. Si tu prends pi en radian, tu as pi = C / D
C est la circonférence en mètre, D est le diamètre en mètre.
Si tu divises des mètres par des mètres, tu obtiens quelque chose sans unité

[invitefc6515df]

Il suffit de se rappeler la formule pour le périmètre du cercle :


Ou de manière équivalente, la longueur de la corde :


Or l et R sont toutes deux des longueurs, donc n'est rien d'autre qu'un rapport de longueur, donc sans dimension.

Cqfd.

[invite0982d54d]

Oui voila, avec "la longueur de la corde", on voit très bien que teta n'a pas d'unité. Bonne exemple.

[invitebfbf094d]

Quelques précisions.

1)Le fait qu'on fasse un rapport de deux choses ayant meme unité ne veut pas dire qu'on aura quelque chose sans unité. Une longueur peut tres bien etre le rapport de deux longueurs, ca reste quand meme une longueur ayant pour unité le mètre. Une unité ca permet de savoir de quoi on parle. Si vous donnez un nombre 120 sans rien mettre apres, on ne peut pas devinez si c'est d'une longueur que vous parlez, ou d'une température, ...

2)Depuis l'antiquité, on mesure les angles en degrés. Alors, la question est de savoir pouquoi une rotation complète vaut 360° ? Ce sont les astronomes babyloniens qui ont choisi ce nombre, parce qu'ils pensaient que la terre tournait sur elle-meme en 360 jours.

3)Quand à l'origine du radian je n'en suis pas certain, mais il me semble qu'elle vient du calcul différentiel. Je sais que l'unité radian, c-a-d 1 radian, est l'angle qu'on obtient lorsque la longueur de l'arc de cercle S tracé est égale au rayon du cercle.

Pour conclure, le radian est une unité comme une autre.

[invite3bc71fae]

Une longueur peut tres bien etre le rapport de deux longueurs, ca reste quand meme une longueur ayant pour unité le mètre.

C'est absolument faux ou alors trouve un exemple....

[invite3bc71fae]

Il y a exactement autant de raison de considérer le radian comme unité de mesure d'angle que le knot comme unité de mesure de vitesse, c'est à dire aucune.

[invitebfbf094d]

C'est absolument faux ou alors trouve un exemple....

4 metres sur 2 metres ca donne 2 metres, ca donne pas un nombre deux quelconque sans unité. Ou encore 30 newtons sur 10 newtons, ca donne 3 newtons.

Le radian est une unité de mesure du système internationnal qui plus est.

[invite85137246]

J'ai pas compris tes deux exemples, pour moi dans les deux cas le résultat est sans unité

[invite3bc71fae]

[QUOTE=zapple]4 metres sur 2 metres ca donne 2 metres, ca donne pas un nombre deux quelconque sans unité. Ou encore 30 newtons sur 10 newtons, ca donne 3 newtons.
[QUOTE]

C'est faux. Explique-moi dans quel cadre ou pour quelle raison tu divises 4 m par 2m ou pourqoui tu divises 30 N par 10 N.

[invitebfbf094d]

C'est qu'un exemple, y'a pas de raisons particuliers. C'est juste un rapport.

[invite3bc71fae]

Bon, imaginons Fred et Jammy: Tu as Fred mesure 1,80m et Jammy qui mesure 1,50 m. A quoi , ça te servir de diviser ces deux longueurs: As tu vrament envie d'exprimer le résultat en mètres ?

[invite8241b23e]

J'ai mieux !

Fred fait 2 m et Jammy 1 m. Fred est 2 fois plus grand, et non pas 2 m plus grand, donc 2m/1m = 2.

CQFD.

[invité576543]

Bonjour,

Votre discussion est assez surprenante, parce que la notion de grandeur physique est fondamentale en physique.

1 - Alors quelques rappels...

Deux mesures sont dites de la même grandeurs si elles sont comparables, s'il y a un sens physique à se poser la question de leur égalité.

On a le droit de comparer deux mesures de même grandeur, ou deux nombres sans dimension. Mais il est interdit de comparer deux mesures de grandeurs différentes, ou une mesure dimensionnée avec un nombre sans dimension.

Le rapport de deux mesures de même grandeur est un nombre sans dimension indépendant de tout système d'unité; le rapport est le nombre obtenu en faisant le rapport des deux mesures exprimées dans la même unité, quelle que soit cette unité.

Une unité est d'ailleurs juste un étalon, un phénomène dont la mesure est de la grandeur concernée, phénomène choisi plus ou moins arbitrairement. La "mesure exprimée dans l'unité" est justement le rapport entre la mesure et le mesure du phénomène étalon.

Donc le rapport de deux mesures de grandeur "longueur" (e.g., exprimées en mètres) est un nombre sans dimension indépendant de tout système d'unité. Une mesure en mètre divisée par une autre mesure en mètre donne un nombre sans dimension, par définition, et certainement pas un résultat en mètre!

2 - le radian

Comme je l'ai écrit, le radian n'est pas une unité arbitraire, comme semble le penser doryphore.

Les rotations ont quelque chose de particulier, elles sont quantifiées: il existe des rotations d'angles différents qui peuvent être considérées comme identiques.

Il y a alors deux unités naturelles pour l'angle : le tour, et le radian. Le tour est utilisé par exemple pour la vitesse de rotation d'un moteur: on parlera d'un ralenti à 700 tours par minute. Le tour, c'est le plus petit angle non nul d'une rotation confondue avec l'identité dans R².

Le radian vient de la géométrie différentielle, la valeur de l'angle pour une rotation infinitésimale correspondant à un déplacement infinitésimale à distance constante d'un centre; l'angle est alors la longueur d'une corde infinitésimale divisée par la distance au centre. Le groupe de Lie des rotations a ainsi un générateur infinitésimal, et dans ce cadre le radian est l'unité naturelle. Utiliser le tour, ce qui est possible, fait alors intervenir un facteur 2pi.

La géométrie différentielle et les groupes continus sont utilisés comme fondement d'une bonne partie de la physique moderne, et cela donne une telle importance ua radian qu'il a été choisi comme unité du SI.

Une autre raison pour choisir le radian (plutôt que le tour), de même source en fait que la géométrie différentielle, est l'expression de sin et cos comme les parties réelles et imaginaires d'une exponentielle complexe définie par le même DL que l'exponentielle réelle. Il y a un rapport très étroit entre les groupes de Lie et l'exponentielle...

Toutes les autres unités d'angle (degré, grade, heure) sont arbitraires, et dérivées de fait de l'unité naturelle "tour" (resp. 1/360, 1/400 et 1/24).

En espérant que cela clarifie...

Cordialement,

[invite8915d466]

pour en revenir à la toute première question de Mikeuline, a mon avis on doit exprimer en rad.s^-1 et non en Hz,même si le rad est sans dimension.

Il y a une part d'arbitraire dans ce qu'on considère comme une dimension : dans un système d'unités physiques naturelles, c=1 et le temps et l'espace ont même dimension.

La mole a-t-elle une dimension pour vous?

[invite9c9b9968]

En même temps, c=1 c'est une convention, dire que le radian n'a pas de dimension, c'est un fait mathématiques indiscutable.

De plus, c=1 implique que l'on note les masses en eV/c^2 : on ne dit pas que les masses sont en eV, donc la vitesse c, bien que posée conventionnellement à 1, reste toujours une vitesse du point de vue dimensionnel.

[invité576543]

Il y a une part d'arbitraire dans ce qu'on considère comme une dimension : dans un système d'unités physiques naturelles, c=1 et le temps et l'espace ont même dimension.

La mole a-t-elle une dimension pour vous?

Bonjour,

Je désagrée! Je ne connaît aucune formule où c=1 fait disparaître la dimensionnalité des durées et longueurs. Le tri entre les mesures de grandeur "longueur" et les mesures de grandeur "durée" est indépendant du système d'unité, même si j'utilise la seconde comme unité de longueur (une excellente pratique en astronomie, d'ailleurs, Terre-Lune, 1 seconde, Terre-Soleil, 500 secondes, etc....

Alors que c'est bien le cas avec le radian dans l'accélération d'entraînement: la dimension d'angle disparaît dans une formule.

Utiliser un phénomène universel (ou supposé tel) donnant un étalon universel de vitesse (c) n'entraîne pas que durée et longueur ont la même dimension: cela dit juste qu'il y a une manière universelle de traduire l'un en l'autre.

La mole est effectivement sans dimension: c'est un simple facteur d'échelle pour les nombres sans dimension, correspondant au changement d'échelle entre celle où le machin à dénombrer vaut 1, et notre échelle à nous, beaucoup plus grande. C'est encore un problème différent.

Cordialement,

Michel

[invite3bc71fae]

Une unité est d'ailleurs juste un étalon, un phénomène dont la mesure est de la grandeur concernée, phénomène choisi plus ou moins arbitrairement.(...)

Comme je l'ai écrit, le radian n'est pas une unité arbitraire, comme semble le penser doryphore.

Toutes les unités sont arbitraires, c'est toi même qui vient de le rappeler...
Le fait même que le radian se définisse mathématiquement à partir de la longueur prouve qu'il est inutile d'utiliser une nouvelle unité pour exprimer les angles avec des nombres...

Ma comparaison avec le knot ne sert pas à prouver qu'il s'agit d'une unité arbitraire qu'à prouver qu'il s'agit d'une unité mathématiquement inutile.

On peut d'ailleurs parfaitement définir un angle (à un tour près) par un tableau de 4 nombres (la matrice de rotation) sans faire intervenir la moindre unité.

Quand aux rotations de plus d'un tour il suffit d'indiquer la distance circulaire parcourue sur un cercle de 1 m de rayon, ce qui peut donc s'exprimer en m/m ou pourquoi pas en rad si on y tient vraiment.

[invite6efd23ca]

Merci pour vos réponses.
Je reste quand même sur ma faim. Qu'on prenne le radian ou le tour (ou encore le degré) comme unité pour exprimer une rotation ne me dérange pas, mais ce qui me gène c'est de dire qu'on n'a pas besoin d'unité.
Si je vous dis : "A est le résultat d'une rotation de 6,28 par rapport à B", je ne crois pas que ma phrase soit claire. J'ai besoin de préciser si je donnais mon angle en radians ou en degrés, ou en nombre de tours.

[invite51605009]

comme unité pour exprimer une rotation ne me dérange pas, mais ce qui me gène c'est de dire qu'on n'a pas besoin d'unité.
Si je vous dis : "A est le résultat d'une rotation de 6,28 par rapport à B", je ne crois pas que ma phrase soit claire.

Elle le serait si tu détailles comment tu l'as obtenu.
Mais encore une fois attention, unité et dimension, c'est différent !
Tu peux mettre une unité à 6.28 (° ou rad ou ' ou '') mais dans tous les cas il n'aura pas de dimension.

La discussion tourne en rond ....

[invite3bc71fae]

C'est tout simplement une question de définition: la définition la plus naturelle de la valeur d'angle est de considérer le rapport entre la longueur circulaire balayée par le rayon du cercle considéré dans une unité de longueur donnée, (ce qui n'interdit nullement le calcul différentiel), ce nombre est la valeur de l'angle qui peut être appréhender sans munir l'ensemble des angles d'une mesure propre.

Seulement les premiers choix retenus furent d'exprimer les angles par rapport au tour (les °) et une unité fut proposée du fait de notre ignorance, l'existence du radian repose sur le fait qu'il a été difficile de sauter complètement le pas et d'abandonner complètement cette conception de mesure d'angle.

Si la valeur d'un angle t'avait été présentée comme un rapport de longueur dès la sixième, ça ne t'aurait aucunement gêné de dire qu'un angle vaut 2 Pi.

[invité576543]

Bonsoir,

Il n'y a plus grand chose à discuter, mais l'angle est quand même un peu différent des nombres sans dimension usuels. Sur un site, il est dit que c'est un rapport entre longueurs perpendiculaires. Le rapport usuel entre longueurs est le rapport entre longueurs parallèles (en particulier le rapport au mètre unité: en général on met le mètre parallèlement à la longueur à mesurer!)

C'est d'une certaine manière ce qui fait disparaître l'angle au carré dans la force d'entraînement : la perpendiculaire de la perpendiculaire est parallèle...

C'est peut-être ce qui justifie qu'il y ait une unité: il y a deux types de rapports de longueur...

Personne n'a encore parlé des steradians. Ils posent des problèmes similaires, c'est une sorte de radian au carré, mais un cas en 3D, de double perpendiculaire qui reste perpendiculaire...

Tout cela montre que c'est le fait que la longueur est une grandeur spéciale, car liée à un espace 3D isotrope. C'est la seule des grandeurs usuelles ayant cette particularité. Ce qui explique pourquoi personne n'a parler des radians en tant que rapport entre deux mesures de même grandeur autre que la longueur. Les applications autre que la longueur sont rares (phases de signaux,...).

La définition du radian la plus générale doit être quelque chose comme le rapport de deux mesures perpendiculaires, de même grandeur, dans un espace de dimension 2 isotrope...

Cordialement,

[invite3bc71fae]

Cette remarque est très intéressante...
En fait, les angles plans s'étudient dans un plan pour lequel une simple unité de longueur ne permet pas de munir ce plan d'une mesure au sens mathématique. C'est la mesure produit m² qui s'en charge donc le rôle du mètre dans le plan est assez délicat à gérer mathématiquement (je ne connais pas les éventuels travaux mathématiques qui s'y rapporte).

Cela dit, ça ne remet pas en question ce que j'ai dit précédemment car au lieu de définir la valeur de l'angle comme le rapport de deux longueur, on peut très bien la définir comme le rapport de deux aires.
La valeur de l'angle devient donc avec cette définition le rapport de l'aire d'un disque balayée par l'angle divisé par l'aire du disque entier.

On a bien le rapport de deux nombres exprimés dans la même unité, le mètre carré. m²/m²

En revanche, je comprends mieux pourquoi le calcul infinitésimal a eut l'envie d'employer le radian, les rapports de longueurs étant plus maniables que les rapports d'aires dans le calcul infinitésimal pour les calculs le long d'une courbe fermée non circulaire..

[invite11f2a3ff]

Juste pour dire merci, je me posais moi-même depuis longtemps cette question, mais je n'avais pas pensé à la poser encore. Maintenant grâce à vous beaucoup de choses deviennent claires. Ca me donne envie d'aller au fond des maths et de la physique pour bien comprendre comment toutes ces notions dont interconnectés, et quelle est celle qui est à la base des autres.
A propos du cosinus, peut-on dire que sa définition, c'est l'abscisse d'un point du cercle trigonométrique ? J'aimerais avoir la définition la plus fondamentale du cosinus et du sinus si vous l'avez.

Merci beaucoup

@+