Pourquoi le radian n'est-il pas une unité ?

[invite82fffb5c]

Je ne comprends pas cette logique. Que ce soit le radian, le grade, le degré ou le tour, ce sont des unités d'une grandeur sans dimension, la même, celle d'angle.

Oui, peut être, mais ce qui est sur c'est que ce 1 est adimensionné (base du repère mathématique), ce qui clos le débat pour la dimension de l'arc, donc du radian... Cela permet par homothétie de retrouver les longueurs d'arc pour n'importe quel rayon.

Pour toutes les autres unités d'angles, j'aurais pensé qu'il possède une dimension, bien qu'il représente un même concept, l'angle. Tu dois avoir raison, mais j'ai du mal à dire que le degrée est sans dimension alors que pour le radian ça me parait évident...

Par exemple pour un arc exprémer en degrée, j'aurais écris :
L = 2*Pi*Theta[degrée]/360[degrée]*R
Et pas :
L = 2*Pi/360*Theta[degrée]*R
J'ai un problème certain de vocabulaire, mais c'est notion de mesure qui paraisse simple sont en réalité assez complexe (pour moi)
Cordialement,
-----

[invité576543]

Oui, peut être, mais ce qui est sur c'est que ce 1 est adimensionné (base du repère mathématique)

C'est ça que je ne comprends pas. Ce 1 c'est 1 unité de longueur. Je n'arrive pas à le voir "moins dimensionné" que 2 unités de longueur, ou 0,5 unités ou même 2pi unités de longueur.

En particulier, choisir le rayon ou le diamètre est arbitraire, il me semble. Et si le rayon vaut 1, le diamètre vaut 2. Comment le rayon pourrait-il être "adimensionné" et le diamètre "dimensionné"?

Cordialement,

[invite82fffb5c]

Ce 1 c'est 1 unité de longueur

Moi j'aurais dis : Ce 1 c'est 1 unité (ce qui est redondant)
Ensuite en physique rien empêche de représenter sur un axe des mètres (ce sera alors une longueur), ou tout autre chose.
En mathématique on parle effectivement de longueur car on a un espace muni d'un produit scalaire, mais ce n'est pas pour ça que ça représente une longueur physique... Le 1 peut être des cacahouètes, un mètre, ou 1 kilo suivant le problème traité...
En mathématique, on étudie les espaces dans un cas général, sans se soucier des dimensions des axes, et le radian est défini dans ce type de repère "générique".
Donc je suis d'accord pour dire "Ce 1 c'est 1 unité de longueur" si on a bien en tête que cette longueur n'a pas de dimension prédéfinie, mais une dimension fonction de l'espace dans lequel on se situera en physique.

En espérant être compris.

[invite82fffb5c]

Comment le rayon pourrait-il être "adimensionné" et le diamètre "dimensionné"?

Si le rayon vaut 1 (adimensionné), alors un diamètre de 2, signifie simplement que le diamètre est deux fois plus grand que le rayon, et il est adimensionné aussi.
Le 1 est un étalon sur lequel on compare les autre objets de l'espace. En mathématique le 1 est sans dimension, donc le diamètre aussi. C'est en physique que les dimensions apparaissent.

Question :
Il faut faire attention car en mathématique on a quand même des dimensions (espace 1D, 2D, ...). Pour moi ces dimensions n'ont rien à voir avec les dimensions dont nous parlons, es ce vrai ?

Si c'est faux alors, peut être que tu as raison et que je devrais parler d'unité, le 1 mathématique définissant une dimension sans unité pour comparer les nombres. Mais je trouve bizarre d'avoir une dimension sans unité, alors que l'inverse non. Et un problème apparait : Si ce 1 mathématique possède une dimension, et qu'on fait une étude dimensionnelle sur un polynôme comme par exemple : a.x²+b.x+c, avec a=2, b=3, et c=1 ça devrait poser problème en math. Et pourtant non, on va surement me répondre que c'est parce que x n'a pas d'unité, mais dans ce cas, pourquoi dire qu'on fait une étude dimensionelle si c'est une étude des unités qu'on fait ?
Ne serait il pas préférable de parler d'"étude des unités" plutôt que d'"étude dimensionnelle" ?

C'est ce qui me fait dire qu'a ma première question c'est vrai...

Au secour !!!

[polo974]

Bonsoir,

Il n'y a plus grand chose à discuter, mais l'angle est quand même un peu différent des nombres sans dimension usuels. Sur un site, il est dit que c'est un rapport entre longueurs perpendiculaires. Le rapport usuel entre longueurs est le rapport entre longueurs parallèles (en particulier le rapport au mètre unité: en général on met le mètre parallèlement à la longueur à mesurer!)

C'est d'une certaine manière ce qui fait disparaître l'angle au carré dans la force d'entraînement : la perpendiculaire de la perpendiculaire est parallèle...

C'est peut-être ce qui justifie qu'il y ait une unité: il y a deux types de rapports de longueur...

...

Coucou, je rebondis sur cette histoire de perpendiculaire pour (tenter de) préciser.
Si c'est un rapport de 2 longueurs globalement perpendiculaire, il s'agit d'une pente.
Si c'est un rapport de 2 longueurs A/B localement perpendiculaire en tout point de A (arc) par rapport à B (rayon), il s'agit d'un angle.

Du coup on a 3 (au moins) types de rapports de longueurs...

Et enfin, ça me rappelle qu'on exprime un couple et un travail, tous les 2 en Nm. Mais que la différence se situe encore entre la perpendicularité ou le parallélisme entre la force et la longueur...

[invité576543]

Si le rayon vaut 1 (adimensionné), alors un diamètre de 2, signifie simplement que le diamètre est deux fois plus grand que le rayon, et il est adimensionné aussi.

Donc la valeur n'importe pas, que ce soit 1 ou 2 ça peut être "adimensionné". Par extension 1/2pi aussi ou 360/2pi aussi. En fait, faire le rapport au rayon, au diamètre ou au périmètre est un choix arbitraire, selon que 1 est le rayon, le diamètre ou le périmètre, on a un rayon de 1, de 1/2 ou de 1/2pi, tous "adimensionnés", non?

C'est en physique que les dimensions apparaissent.

Ca c'est discutable!

Question :
Il faut faire attention car en mathématique on a quand même des dimensions (espace 1D, 2D, ...). Pour moi ces dimensions n'ont rien à voir avec les dimensions dont nous parlons, es ce vrai ?

Au premier degré, c'est vrai. (Il y a un petit quelque chose à voir, mais ce n'est pas pertinent pour le débat)

Et un problème apparait : Si ce 1 mathématique possède une dimension, et qu'on fait une étude dimensionnelle sur un polynôme comme par exemple : a.x²+b.x+c, avec a=2, b=3, et c=1 ça devrait poser problème en math.

Non, ça ne pose pas de problème. Simplement si x est de dimension X, et c de dimension U, alors a est de dimension UX^-2 et b de dimension UX^-1. On peut vérifier qu'une expression comme b²-4ac est homogène (de dimension U²X^-2) par exemple. Simplement en math on ne se casse pas la tête avec ces détails.

pourquoi dire qu'on fait une étude dimensionelle si c'est une étude des unités qu'on fait ?

Ne serait il pas préférable de parler d'"étude des unités" plutôt que d'"étude dimensionnelle" ?

Je ne pense pas, parce que la cohérence dimensionnelle semble un pré-requis à la possibilité de gérer des unités. La notion d'unité semble une conséquence de la notion de dimension, pas le contraire. Même dans le cas d'unités "sans dimension", comme le dB ou le bit, on sait très bien qu'on ne peut pas additionner directement des dB et des bits (mais il serait licite, même si ça ne se fait pas, d'additionner des bits et des 0.301 fois des dB), et encore moins des dB et des moles. On a donc un ensemble d'expressions que l'on "a le droit" d'additionner, et cela définit d'une certaine manière une grandeur. Gérer celles correspondant aux dB, bit, mole et autre radian comme des dimensions dans des équations dimensionnelles peut poser quelques problèmes, mais ça me semble pas suffisant pour ne pas y voir des grandeurs.

Cordialement,

[invité576543]

Coucou, je rebondis sur cette histoire de perpendiculaire pour (tenter de) préciser.
Si c'est un rapport de 2 longueurs globalement perpendiculaire, il s'agit d'une pente.

C'est intéressant, ça augmente le tableau... T'as un cas en physique?

Et enfin, ça me rappelle qu'on exprime un couple et un travail, tous les 2 en Nm. Mais que la différence se situe encore entre la perpendicularité ou le parallélisme entre la force et la longueur...

C'est un bon exemple. Indépendamment de l'opposition perpendicularité/ parallélisme, on peut introduire l'angle par un petit raisonnement dimensionnel (enfin, dimensionnel "étendu" ):

Si on cherche à se ramener à une grandeur scalaire comme l'énergie ( pas vraiment scalaire, mais ça irait trop loin...), un couple multiplié par un angle donne un travail, on pourrait donc utiliser comme grandeur de couple l'énergie par angle, avec comme unité SI le joule par radian. La cohérence est visible si on voit la force en joule par mètre.

L'usage du newton.mètre me semble (opinion personnelle) comme une méthode un peu bancale (et, par expérience avec un de mes jeunes, quelque peu mystérieuse) de distinguer couple et énergie... Avec des joule par radian, tout rentrerait dans l'ordre il me semble.

Cordialement,

[invite82fffb5c]

Donc la valeur n'importe pas, que ce soit 1 ou 2 ça peut être "adimensionné". Par extension 1/2pi aussi ou 360/2pi aussi. En fait, faire le rapport au rayon, au diamètre ou au périmètre est un choix arbitraire, selon que 1 est le rayon, le diamètre ou le périmètre, on a un rayon de 1, de 1/2 ou de 1/2pi, tous "adimensionnés", non?

Tout à fait, le seul intérêt du 1 est qu'on retrouve la longueur des arc par simple multiplication par R...

Et merci pour ces réponses

[polo974]

C'est intéressant, ça augmente le tableau... T'as un cas en physique?

La pente d'une côte (delta altitude / delta distance horizontale (en faisant abstraction du fait que la terre est ronde)) genre "il a une descente que je n'aimerais pas avoir à grimper en vélo... Il est sur la mauvaise pente".
Mais en plus certaines pentes peuvent avoir une grandeur, mais glissons.

L'usage du newton.mètre me semble (opinion personnelle) comme une méthode un peu bancale (et, par expérience avec un de mes jeunes, quelque peu mystérieuse) de distinguer couple et énergie... Avec des joule par radian, tout rentrerait dans l'ordre il me semble.

Cordialement,

Va expliquer le couple de serrage d'une vis en joule par radian...
Mais c'est indiscutablement juste...

Par contre en multipliant le couple (rayon * force (perpendiculaire)) par l'angle de rotation (rapport de 2 dimensions perpendiculaires), on obtient la longueur du déplacement (suivant le périmètre) * la force (parallèle à ce déplacement) qui est bien un travail, car la perpendiculaire d'une perpendiculaire est une parallèle (on rajoute i et c'est la noyade...).

[invité576543]

(on rajoute i et c'est la noyade...).

Intéressant que tu cites cela, parce que ça semble une bonne piste pour les équations dimensionnelles. Perso, je trouve que ça aide (plus les i, j, k des quaternions pour les angles solides et les stéradians ) mais j'ai peut-être un système respiratoire particulier. Peut-être limité comme manière de voir, donc...

Cordialement,

[invité576543]

La pente d'une côte (delta altitude / delta distance horizontale (en faisant abstraction du fait que la terre est ronde)) genre "il a une descente que je n'aimerais pas avoir à grimper en vélo... Il est sur la mauvaise pente".
Mais en plus certaines pentes peuvent avoir une grandeur, mais glissons.

( pour le "glissons"...)

Quelle différence avec la tangente de l'angle dans ce cas?

Il me semble que la distinction est entre l'angle comme grandeur additive (on peut additionner des expressions de grandeur "angle" par l'addition usuelle), et entre la tangente comme grandeur "pseudo-additive": on peut combiner deux tangentes pour obtenir une autre tangente par l'opération (x,y) --> (x+y)/(1-xy)

(Là encore, l'idée est qu'une grandeur définit un ensemble d'expressions physiques qu'on a le droit d'additionner; on peut généraliser à d'autres opérations internes, mais en pratique il me semble que l'addition couvre tous les usages courants.)

Cordialement,

[polo974]

( pour le "glissons"...)

Quelle différence avec la tangente de l'angle dans ce cas?
...

Aucune, mais, j'ai parlé de pente juste pour dire que la perpendicularité est respectée dans les 2 cas, mais de façon différente.

Enfin, je dis ça, mais je manque de formalisme et de vocabulaire...

(C'est bien, les quaternions, ça évite les déformations de matrice de rotation...
Allez, un petit sujet "les quaternions pour les nuls"...)

[inviteedf3cb1c]

Bonjour,
Lorsqu'on calcule une grandeur qui fait intervenir l'inverse d'un temps (par exemple si je veux calculer une action), selon que l'on prend la pulsation (oméga) ou la fréquence (nu), on n'obtient pas le même résultat (et pour cause, il y a un facteur 2pi entre les 2). Donc ça m'embête que les 2 (fréquence et pulsation) aient la même unité.
Pourquoi n'écrit-on pas oméga = 2pi radians.s-1 (je prends une valeur au hasard) plutôt que oméga = 2pi s-1 ? (ce qui laisse croire que c'est équivalent à une fréquence, et qui induit des erreurs dans les calculs)

Pourquoi le radian n'est-il pas considéré comme une unité ?

Merci d'avance pour vos réponses.

Peut etre à cause du fait qu il s agirait d une unité mal définie?http://groups.google.com/group/fr.sc...b0de7?lnk=raot

__________________
« Un jour l Humanité connaîtra la paix universelle…un nouvel ordre des choses…lui imposeront l état pacifique . » Anatole France

[polo974]

A propos des rd/s par rapport aux fréquences (en Hz).

Peut etre à cause du fait qu il s agirait d une unité mal définie?...

En fait, le Hz, ce n'est pas non plus simplement 1/s, c'est cycle/s, mais "c'est tellement évident"...

[inviteedf3cb1c]

A propos des rd/s par rapport aux fréquences (en Hz).

En fait, le Hz, ce n'est pas non plus simplement 1/s, c'est cycle/s, mais "c'est tellement évident"...

Ce très bon exemple confirme que tout se tient. Le mot cycle est une « évocation ».Il évoque l action et l action est une relation .



__________________
« Un jour l Humanité connaîtra la paix universelle…un nouvel ordre des choses…lui imposeront l état pacifique . » Anatole France