Pourquoi le radian n'est-il pas une unité ?

[doryphore]

Le cosinus a pu être tour à tour défini de plusieurs manières:

Pour les angles inférieurs à Pi/2 rad, le rapport des longueurs dans un triangle rectangle est satisfaisant.

Sinon, la définition géométrique analytique est celle que tu donnes. toujours valable)

Enfin, il peut être défini comme la partie réelle du nombre exp(ix) où x est la valeur de l'angle en radians.

La fonction exponentielle étant elle définie comme une série de fonction, la résolution d'une équation fonctionnelle ou à partir du logarithme népérien.
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[invite8915d466]

Bonjour,

Je désagrée! Je ne connaît aucune formule où c=1 fait disparaître la dimensionnalité des durées et longueurs. Le tri entre les mesures de grandeur "longueur" et les mesures de grandeur "durée" est indépendant du système d'unité, même si j'utilise la seconde comme unité de longueur (une excellente pratique en astronomie, d'ailleurs, Terre-Lune, 1 seconde, Terre-Soleil, 500 secondes, etc....

Re Michel

Effectivement il n'est pas naturel de définir des dimensions différentes pour les directions de l'espace, mais suppose que l'une des directions soit physiquement différente des autres (par exemple un univers en rotation autour d'un axe). On pourrait conventionnellement adopter des unités et des dimensions différentes pour les directions, reliées par une constante A (dimensionnée ) en metre_vertical/metre_horizontal par exemple.

Alternativement, on pourrait aussi choisir les mêmes unités et A=1 sans dimension.

On peut dire que le temps et l'espace sont 4 directions de l'espace temps, avec une direction (temporelle) privilégiée par le signe de la métrique. On peut choisir de les décrire par deux dimensions (et deux unités) différentes connectées par une grandeur dimensionnée c, ou alors choisir une constante sans dimension c=1, ce qui leur donne la même dimension.

Le rayon d'un trou noir est alors 2GM, et le temps caractéristique associé...aussi 2GM, donc ils ont bien la même dimension!

En prenant G=1, la masse, l'énergie et la longueur ont tous la même dimension. En prenant en plus h=1, on n'a plus que des grandeurs sans dimensions (ramenés aux grandeurs de PLanck en fait )

Cordialement

Gilles

[invite6efd23ca]

La mole a-t-elle une dimension pour vous?

Je pense que tu as plutôt voulu dire "le nombre d'Avogadro a-t-il une unité ?" (car la mole est une unité donc si c'était bien ça la question, je ne comprends pas le sens)
Et ça me permet de rebondir là-dessus car effectivement beaucoup de gens pensent que NA est juste un nombre et n'a pas besoin d'unités, mais à ce moment-là vous n'avez pas le droit d'écrire une relation telle que :
n' (en molécules) = NA * n (en moles)
C'est pourtant couramment utilisé. Pour cela vous devez tenir compte des unités de NA : nombre d'éléments. mol-1

Le fait que : Longueur de l'arc de cercle (en m) = angle * rayon (en m)
ne prouve pas à mon sens que l'angle n'ait nécessairement pas d'unité. Je vous donne un exemple, pour m'expliquer :
en chimie il existe cette formule, permettant de calculer le pH d'une solution :
pH = log (concentration en H3O+)
J'ai pris le log d'une concentration, est-ce que j'ai pour autant le droit de dire qu'une concentration n'a pas d'unité ?!

Il me semble (mais là je peux tout à fait me tromper, vous me direz ce qu'il en est) que ces 2 formules appartiennent à une catégorie à part (je dirai des "fausses formules") qui imposent que certaines quantités dans la formule soient exprimées dans des unités précises (si vous mettez l'angle en nombre de tours dans la formule de l'arc de cercle ça ne marche pas), et qui en font donc des simples valeurs numériques et plus des grandeurs physiques.

[invité576543]

Bonjour,

Je pense qu'il est important de distinguer le continu du discret.

Un nombre entier utilisé en physique doit avoir une unité à mon avis. Trois pommes, c'est différent de trois carottes.

Mais la nature des entiers veut qu'il y a un sens physique à dire qu'il y a autant de pommes que de carottes dans ce cas. On peut donc comparer d'une certaine manière des quantités discrètes. Mais il y a quand même une unité, car il est interdit de dire 3 pommes = 3 carottes.

Dans le cas continu non cyclique, tout intervalle d'une grandeur peut être mis en bijection avec tout intervalle d'une autre grandeur, et dire qu'il y a autant de temps dans une seconde que de longueur dans un mètre n'a pas beaucoup de sens physique, tout simplement parce que cela amène à ce qu'il y ait autant de temps dans 1 seconde que dans une année, et cela est clairement sans sens physique.

Les grandeurs continues non cycliques ont du coup des unités en grande mesure arbitraires, ce qui n'est pas le cas du discret.

Le cas continu cyclique (angle) se rapproche du discret...

Les facteurs d'échelle dans le cas discret, dont le nombre d'Avogadro est un exemple, ont du coup une nature très différente de celle d'un changement d'unité d'une grandeur continue non cyclique. L'inclusion de la mole dans des équations dimensionnelles est beaucoup plus dangereux que d'inclure dans de telles équations les unités discrètes (pommes, carottes)... Si on voulait être rigoureux, on ne devrait jamais dire "par mole", mais "par mole de xxx" (xxx = molécules ou atomes de carbone ou électrons ou ...). Dans les équations dimensionnelles cela apparaitrait comme "(mol de xxx)^-1", et on se retrouve avec des équations ayant un sens... Dire 1 mole d'électrons = A électrons est alors parfaitement correct au sens dimensionnel.

Cordialement,

[invite5a0e4f7f]

en chimie il existe cette formule, permettant de calculer le pH d'une solution :
pH = log (concentration en H3O+)
J'ai pris le log d'une concentration, est-ce que j'ai pour autant le droit de dire qu'une concentration n'a pas d'unité ?!

Il me semble que la vraie définition du pH est :
pH = - log ( a(H30+) )
Dans ce cas a(H30+) ou "activité de H30+ " est sans unité car :
a(H30+)=[H30]/c° avec c°=1mol/L
La formule est donc parfaitemen juste.
Pour le radian Je cite un document fournit par mon prof de physique :

Certaines grandeurs sont définies par le rapport de deux grandeurs de meme nature: elles ont une dimension qui peut etre exprimee par le nombre un.
[...]La valeur de ces grandeurs n'est exprimee que par un nombre, en général l'unité 1 n'est pas mentionnée explicitement.
Dans certains cas, cependant, cette unité se voit attribuer un nom spécial, en vue principalement d eviter la confusion avec certaines unités dérivées composées.
c'est le cas du radian, du stéradian et du neper.

Conclusion : le radian n'a pas de dimension, ou sa dimension est 1 pour les pointilleux.

[invite9c9b9968]

Je pense que tu as plutôt voulu dire "le nombre d'Avogadro a-t-il une unité ?" (car la mole est une unité donc si c'était bien ça la question, je ne comprends pas le sens)
Et ça me permet de rebondir là-dessus car effectivement beaucoup de gens pensent que NA est juste un nombre et n'a pas besoin d'unités, mais à ce moment-là vous n'avez pas le droit d'écrire une relation telle que :
n' (en molécules) = NA * n (en moles)
C'est pourtant couramment utilisé. Pour cela vous devez tenir compte des unités de NA : nombre d'éléments. mol-1

Le fait que : Longueur de l'arc de cercle (en m) = angle * rayon (en m)
ne prouve pas à mon sens que l'angle n'ait nécessairement pas d'unité. Je vous donne un exemple, pour m'expliquer :
en chimie il existe cette formule, permettant de calculer le pH d'une solution :
pH = log (concentration en H3O+)
J'ai pris le log d'une concentration, est-ce que j'ai pour autant le droit de dire qu'une concentration n'a pas d'unité ?!

Il me semble (mais là je peux tout à fait me tromper, vous me direz ce qu'il en est) que ces 2 formules appartiennent à une catégorie à part (je dirai des "fausses formules") qui imposent que certaines quantités dans la formule soient exprimées dans des unités précises (si vous mettez l'angle en nombre de tours dans la formule de l'arc de cercle ça ne marche pas), et qui en font donc des simples valeurs numériques et plus des grandeurs physiques.

En fait oui tu te trompes

La formule pH = -log ([H+]) par exemple est fausse ; rigoureusement on écrit plutôt pH= -log(a(H+)) où a(H+) est l'activité de l'ion H+, nombre sans dimension. Il se trouve que dans la vie courante, a(H+) = [H+]/C0 (où C0 = 1 mol/L si [H+] est en mol/L , concentration de référence) ; donc on fait une double erreur avec la formule que tu donnes : on oublie le C0 (qui ne change rien au calcul certes, mais quand même) et on ne dit pas toujours que cette formule n'est qu'approximative (en toute rigueur, l'activité n'est pas toujours [H+]/C0 ).

De plus, faire attention à "unité" et "dimension" : une même dimension peut avoir plusieurs unités (typiquement, la dimension "énergie" a l'unité joule, mais ausi kg.m^2.s^-2 par exemple).

Ensuite, dans la vie courante, on rajoute des unités/dimensions parasites : mole et radian/stéradian en sont les plus courantes. Ce ne sont pas de vraies dimensions, mais elles simplifient la vie. C'est plus facile de parler de 3 mol de C que de parler de 3*Na atomes de C...

Ainsi, n' = Na * n est tout a fait légal, une mole étant constituée d'atomes, n' n'a pas de dimension et n non plus au sens strict du terme.

@+

Julien

EDIT : grillé par gregcrv, qui en dit tout autant en beaucoup moins de mots, et en beaucoup mieux

[invite8915d466]

Je pense que tu as plutôt voulu dire "le nombre d'Avogadro a-t-il une unité ?" (car la mole est une unité donc si c'était bien ça la question, je ne comprends pas le sens)
Et ça me permet de rebondir là-dessus car effectivement beaucoup de gens pensent que NA est juste un nombre et n'a pas besoin d'unités, mais à ce moment-là vous n'avez pas le droit d'écrire une relation telle que :
n' (en molécules) = NA * n (en moles)
C'est pourtant couramment utilisé. Pour cela vous devez tenir compte des unités de NA : nombre d'éléments. mol-1

Pour moi l'unité de NA est naturellement la mol^-1 ( le "nombre d'éléments n'en étant pas une ! ). Ce que je demandais, c'est si à votre avis la "quantité de matière" (grandeur censée être mesurée par l'unité mole d'apres les standards internationaux) était une dimension...

[invite9c9b9968]

De manière "extrémiste" (ie si on s'en tient aux définitions jusqu'au bout du système SI) la mole n'est pas une dimension (puisque Na c'est le nombre d'atomes dans douze grammes de carbone 12), et que 1 mole = Na atomes/molécules/ions ) , donc le nombre de moles non plus... Mais bon tout ça reste un peu du chipotage

[invite6efd23ca]

Merci à tous de vos réponses. Il me semble que c'est déjà plus clair dans ma tête (bien qu'un nombre sans dimension mais avec une unité reste choquant pour moi).
Pour ce qui est de l'expression du pH, elle a du changer, mais de mon temps (lol) on écrivait allégrement concentration et non activité. Un prof avait d'ailleurs fait la remarque que ce n'était pas génial question dimensions...

[invite6f0362b8]

Le radian est un rapport de longueur

C'est la longueur d'un arc / par le rayon du cercle correspondant

donc son unité c'est metre / metre = pas d'unité

[invitec4eb90fd]

Salut.
Que veut dire un nombre sans dimension?
en fait le véritable sens du mot dimension m'échappe dans la discussion.

est ce dimension comme "taille"?

[invite9c9b9968]

Bonsoir,

Ici dimension est à prendre au sens non pas de "taille" mais de nature physique du nombre étudié : est-ce une longueur, un temps, une énergie, une masse, etc... ?

On peut aussi de façon plus générale définir un nombre dimensionné comme une quantité telle que si je change l'unité associée donnant la valeur numérique de ce nombre, alors cette valeur numérique va changer (exemple : pour une longueur, on peut mesurer en cm ou en m : 1 m n'est pas égal à 1 cm..)

Un nombre sans dimension sera alors une quantité physique du système étudié tel que si je change les unités du problème, cette quantité physique exprimée numériquement ne change pas de valeur numérique.

[invitec4eb90fd]

Merci, je vois beaucoup mieux.

[invitec4eb90fd]

2)Depuis l'antiquité, on mesure les angles en degrés. Alors, la question est de savoir pouquoi une rotation complète vaut 360° ? Ce sont les astronomes babyloniens qui ont choisi ce nombre, parce qu'ils pensaient que la terre tournait sur elle-meme en 360 jours.

Si ceci est de source sure, ce n'est pas à négliger car ça voudrait dire que ce que l'on croit 360° (c'est à dire une rotation complète ) doit être en réalité 365,25° (comme 365 jours 1/4)...

[invite88ef51f0]

Ben non... une fois défini comme étant 1/360e de tour, ça ne dépend plus du nombre de jours.

[invitec4eb90fd]

....................hein?

[invitec4eb90fd]

Ben non... une fois défini comme étant 1/360e de tour, ça ne dépend plus du nombre de jours.

ah ok, tu veux dire que une fois que le degré est considéré comme 1/360e de tour le nombre de jours ne compte plus...je vois.

Mais tout de même, d'où viendrait ce 360?
en fait ça m'aiderais beaucoup de savoir l'origine du radian et du degré, lequel est venu en 1er, etc...

[invité576543]

Bonjour,

en fait ça m'aiderais beaucoup de savoir l'origine du radian et du degré, lequel est venu en 1er, etc...

Lequel est venu en premier est le degré, sans conteste. Le radian est un concept récent.

Pour le 360 il y a une brève dans La Recherche sur le sujet, et pointant sur http://fr.arxiv.org/abs/0707.0676

Cordialement,

[invitec4eb90fd]

Je vois, le 360 a été adopté d'une manière plus ou moins arbitraire...Merci pour le lien

[invite0324077b]

tout le probleme viens de la confusion entre unité et dimension

pour chaque dimension il y a une unité SI et des tas d'autre unités soit utilisant des mesure non metrique soit definissant des condition de mesures speciale

il n'y a donc rien de choquant qu'une notion sans dimension ait autant d'unité de mesures qu'il faut

l'angle est une notion sans dimension qui a plusieurs unité de mesure : radian degre grade tour : ce sont bien des unités de mesure clairement definie et indispensable

et il y a des tas de notions sans dimension qui n'ont rien a voir : " sans dimension " n'est pas une grandeur !

[invite50625854]

Le radian est sans dimension car le rayon du cercle trigonométrique vaut 1.

C'est à dire que le radian compare l'arc au rayon.

Le 1 est sans unité... Après en donnant une valeur et une dimension à R, on obtient un arc qui est dimensionné, mais ce n'est plus la valeur en radian.

[invite50625854]

Que veut dire un nombre sans dimension?

Pourtant en mathématique il y a beaucoup de nombre et pas beaucoup de dimension...

Un nombre se compare à l'unité, si tu donne une dimension à la brique de départ alors tes nombres sont dimensionnés...

Le radian c'est de la mathématique, comme je l'ai dis, le cercle trigonométrique à un rayon de 1. C'est ainsi très générique...

[invitec4eb90fd]

L'angle est-il une dimension?

[invité576543]

Le radian est sans dimension car le rayon du cercle trigonométrique vaut 1.

Je ne comprends pas cette logique. Que ce soit le radian, le grade, le degré ou le tour, ce sont des unités d'une grandeur sans dimension, la même, celle d'angle.

Si on veut définir la valeur d'un angle comme la valeur numérique de la longueur de l'arc dans une certaine unité de longueur d'un segment de cercle intercepté par l'angle, on choisit un rayon de 1 unité pour obtenir la valeur en radian, de 1/2pi pour obtenir la valeur en tours, de 360/2pi pour obtenir la valeur en degrés, etc.

Cordialement,

[invité576543]

L'angle est-il une dimension?

As-tu tout le fil? Parce qu'il y a pas mal d'éléments de réponse au début en particulier.

Il serait plus simple que tu prennes en compte ce qui est déjà écrit, et de poser une question plus précise. Sinon, tu demandes simplement de répéter ce qui a déjà été écrit dans ce fil...

Cordialement,

[invitec4eb90fd]

C'est juste qu'en voyant par exemple la durée, elle a bien une dimension, et son unité est la seconde (s).
Donc si on peut considérer l'angle comme une dimension (du même type que la distance, la température, la durée, etc...) alors le radian serait tout simplement une unité, comme tant d'autres.
Non?

[obi76]

Rigoureusement parlant ce n'est pas une unité, n'empêche qu'en développant les équations, si j'ai des radians et pas de je me pose des questions...

[invité576543]

Rigoureusement parlant ce n'est pas une unité

Pourquoi? La notion d'unité et de dimension ne sont pas liées.

Il y a un autre exemple d'unité qui ne correspond pas à une dimension, la mole.

Cordialement,

[invité576543]

C'est juste qu'en voyant par exemple la durée, elle a bien une dimension, et son unité est la seconde (s).
Donc si on peut considérer l'angle comme une dimension (du même type que la distance, la température, la durée, etc...)

Mais on ne peut pas, comme expliqué bien plus tôt dans le fil.

La raison en est que les angles ne se combinent pas par multiplication de la même manière qu'une dimension genre distance, durée ou température.

Un angle au carré est un truc compliqué. Ca n'existe pas vraiment. Multiplier un angle par un angle donne le plus souvent quelque chose vraiment sans dimension (comme dans l'expression de la force centrifuge où est une vitesse angulaire (en radian par seconde)). Ca peut donner aussi un angle solide.

Donc, soit on essaye de travailler avec une dimension d'angle, et faut savoir que ça ne marche pas du tout comme une dimension "normale"; faut savoir éviter tous les pièges, et il y en a pas mal. Soit on s'abstient.

alors le radian serait tout simplement une unité, comme tant d'autres.

Le radian est quand même une unité, même si elle est sans dimension!

Cordialement,

PS: Au passage, d'autres unités sans dimension: le dB (décibel) ou le bit (unité d'information binaire)...

[invitec4eb90fd]

Je pense que c'est clair cette fois.