Série de Fourier / perception auditive

[diddley]

Il y a une question que je me pose depuis un certain temps au sujet de la décomposition en série de Fourier d'un signal et je ne parviens pas à la résoudre.
La théorie nous apprend qu'il est possible de décomposer tout signal continu en une série de Fourier. Ce signal peut être périodique ou ne pas l'être. En effet, il suffit de reproduire un signal de durée T tous les intervalles de temps T afin d'obtenir un signal périodique. Je viens d'ailleurs de le mettre en application sur Scilab en créant un signal d'une durée de 4 secondes, dont les deux premières secondes représentent une sinusoïde à 440 Hz et les deux dernières secondes une sinusoïdes à 880 Hz (passage du LA3 au LA4). En prenant comme période pour ce signal la durée totale c'est à dire 4 secondes, je suis parvenu en accord avec la théorie à reconstituer le signal à l'aide d'une décomposition sur une base de cosinus et de sinus (une infinité de termes a_n et seulement deux termes b_n mais de fortes amplitudes). De plus, les harmoniques significatives (notamment celles qui correspondent aux deux termes b_n) se situent autour des fréquence 440 Hz et 880 Hz.
Ma question est alors la suivante : Soit une source acoustique qui génère simultanément toutes les harmoniques trouvées lors de la décomposition en série de Fourier que j'ai décrite dans l'exemple précédent. Lors d'un enregistrement, nous devons alors obtenir le signal de départ. La notion d'harmonique étant généralement présentée comme étant directement liée à la notion que l'on se fait de la hauteur d'un son, comment se fait-il que dans le cas du signal ainsi généré, l'oreille ne percevrait pas plusieurs fréquences simultanément (celles de la décomposition de Fourier) de manière constante tout au long du signal au lieu d'une fréquence de 440 Hz durant les deux premières secondes puis une fréquence de 880 Hz durant les deux secondes qui suivent? Quelqu'un aurait-il une réponse à m'apporter s'il vous plaît ou peut-être un ouvrage à me conseiller qui pourrait répondre à ma question? Merci.

p.s : je sais qu'une analyse à l'aide de transformée en ondelettes permettrait de mettre en évidence l'évolution de ce signal au cours du temps mais je trouve une contradiction entre ce que la décomposition en série de Fourier met en évidence d'un point de vue mathématique et ce que l'on observe dans la réalité.
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[phuphus]

Bonjour diddley,

le problème de la décomposition fréquentielle, c'est que, comme tu le soulignes en évoquant les ondelettes (pour une analyse d'un signal inconnu, je préfère le sonagramme par FFT, c'est moins piégeant), tu perds le côté temporel.

L'oreille, comme tu l'évoques avec ton expérience de pensée, possède bien un temps de "fusion temporelle", ce que E. Leipp appelait "l'épaisseur du présent". En dessous de ce temps élémentaire de discrimination temporelle, l'oreille fusionne des signaux pourtant temporellement séparés (et c'est bien là-dessus que porte ta question si je ne m'abuse). Au dessus, on perçoit le rythme.

L'expérience élémentaire que faisait Leipp dans son labo était basée sur un générateur de clics. Si mes souvenirs sont bons, il faisait entendre à son sujet une séquence initialement composée de 5 clics régulièrement espacés. Ensuite, dans les séquences suivantes, un certain nombre des 5 clics était supprimé : il fallait donner la séquence exacte. Chacun atteignait son épaisseur du présent lorsque la période élémentaire devenait trop courte pour pouvoir recomposer exactement chaque séquence. La période minimum de la machine entre deux clics était de 2 ms.

On est donc bien loin des 2 secondes que tu proposes. Maintenant, ta question est légitime : il est parfaitement possible de construire 2 signaux temporels, le premier composé de 2s à 440Hz et 2s à 880Hz, et le deuxième étant un signal stationnaire de 4s dont le spectre est exactement le même que celui du premier.

L'astuce, c'est que tu ne regardes que l'amplitude de ton spectre, qui plus est en échelle log. Si jamais tu affiches la phase, tu te rendras compte que les amplitudes des spectres des signaux 1 et 2 sont les mêmes, mais que les phases diffèrent.

Dit autrement : lorsque tu fais un spectre de ton signal global, tu moyennes les contributions de chaque séquence de 2s. Alors que l'oreille, elle, de manière similaire à une transformée en ondelettes ou à un sonagramme, perçoit l'évolution du spectre avec une précision temporelle égale à son épaisseur du présent.

[diddley]

Merci pour cette réponse détaillée.

Je me doutais que ceci avait un lien avec les déphasages entre les différentes harmoniques (j'avais omis les termes b_n dans un premier temps et je ne parvenais pas à reconstruire le signal) mais le fait d'avoir une réponse concise permet d'éclaircir les idées, d'autant plus que je doutais un peu de mon développement mathématique.

Cette histoire de déphasage m'a réfléchir et je pense avoir compris. Les déphasages entre des fréquences différentes entraînent une accentuation des amplitudes considérées (respectivement une diminution) qui au cours du temps peuvent se convertir en diminution (respectivement accentuation). L'accentuation dans un premier temps renforce l'harmonique qui sera donc potentiellement plus audible puis la diminution tendra à la rendre plus difficilement audible. Ce raisonnement est-il juste? (je suis désolé s'il y a un manque de rigueur dans les termes que j'emploie). Ceci signifie que plusieurs personnes chantant simultanément chacun une note de façon continue (mais avec des déphasages) peuvent produire l'effet d'un son variant au cours du temps?

p.s : je reste surpris de la cassure nette qui s'opère au temps t = 2s (passage radical d'une fréquence à une autre) mais là ce sont les mathématiques qui parlent...

[GrisBleu]

Salut

En theorie, ce serait possible, mais les chants devraient etre "coherent". A mon avis, maintenir une phase precise , pour des humains, me semble impossible
De plus, une transition tres brutale (comme ce qui se passe a 2s) entraine l'apparition de beaucoup d'harmonique haute frequence. Grosso modo, pour prendre en compte un phenomene temporel qui est court, il faut ajouter des frquences dont la periode est courte
++

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Bonjour.
Je voudrais signaler une contradiction. Diddley (qui aurait pu respecter les règles de politesse dans ce forum) parle de "série de Fourier", pour son signal qui n'est pas périodique.
Je ne sais pas comment il s'est débrouillé pour calculer ses coefficients mais, de toute évidence, il a fait une erreur.

Pour reconstituer son signal, il faudrait générer toutes les fréquences (un continuum) de la transformée de Fourier du signal et non seulement les harmoniques de 440.

Pour finir, l'oreille humaine n'est pas sensible à la phase des signaux mais uniquement à la puissance. Je me souviens qu'il a fallu faire la manip avec deux synthétiseurs (plus oscillo plus haut-parleur) pour convaincre un collègue que l'oreille humaine ne calculait pas ni la transformée ni la série de Fourier.
Au revoir.

[phuphus]

Je voudrais signaler une contradiction. Diddley (qui aurait pu respecter les règles de politesse dans ce forum) parle de "série de Fourier", pour son signal qui n'est pas périodique.
Je ne sais pas comment il s'est débrouillé pour calculer ses coefficients mais, de toute évidence, il a fait une erreur.

Pour reconstituer son signal, il faudrait générer toutes les fréquences (un continuum) de la transformée de Fourier du signal et non seulement les harmoniques de 440.

Bonjour LPFR,

diddley a fait son calcul sous Scilab, en numérique. Il n'y a donc aucune contradiction à confondre le résultat d'une transformée de Fourier à court terme et une série de Fourier : dans ce cas, le temporel et le fréquentiel ne sont que deux représentations différentes du même signal, il faut juste avoir un peu de recul pour ne pas se laisser abuser par l'étalement des raies que constate diddley. Cet étalement n'est en effet pas représentatif de réels harmoniques présents dans le son mais sont des artefacts du calcul, justement dus au fait que l'on considère comme périodique un signal qui à la base ne l'est pas. Comme le précise diddley, le calcul revient à rendre artificiellement périodique notre signal (c'est comme si on répétait indéfiniment le leitmotiv de 4s). Mais encore une fois, il faut avoir un peu de bouteille pour correctement interpréter l'étalement des raies spectrales à 440Hz et 880Hz. A cet effet, toute personne intéressée pourra se renseigner sur l'apodisation.

Pour cette histoire de phase, il s'agit d'une légende perpétuée depuis Helmholtz. Bien entendu, sur une sinusoïde, la phase a peu d'importance. Quoique, un sinus qui commence par zéro ou au contraire qui commence par un front montant, cela s'entend.

Dès qu'un signal est composite, style un carré, alors l'oreille est sensible à la phase des différents harmoniques. Une manip simple pour s'en convaincre est de décomposer un carré en, par exemple, ses 5 premiers harmoniqes, de recomposer le carré à partir de ces 5 harmoniques (donc du coup on déforme le signal temporel, mais cela n'a aucune importance), et de s'amuser à faire varier la phase, par exemple du 3ème harmonique. A partir d'un certain déphasage, le timbre change.

Autre manip simple pour se convaincre que l'oreille est sensible à la phase des différentes fréquences composant un signal, c'est d'écouter d'une part un Dirac et d'autre part un bruit blanc... Même spectre d'amplitude, mais perception totalement différente.

@ LPFR : si vous êtes intéressé par le fonctionnement de l'oreille, je ne saurais que trop vous conseiller de vous pencher en premier lieu sur la notion d'excitant développée par Zwicker.

Pour ces histoires de fonctionnement temporel / fréquentiel de l'oreille, une manière sympa permettant d'approcher les choses est de s'en rendre compte via la modulation d'amplitude. Soit un sinus 1 kHz modulé en amplitude. Pour la fréquence de modulation, en dessous de 15 Hz on perçoit explicitement les variations d'intensité. Au dessus de 30 Hz cela se transforme en rugosité. A quelques centaines de Hz, la modulation est perçue comme une deuxième composante tonale venant se rajouter au 1 kHz.

Donc en dessous de 15Hz : fonctionnement purement temporel
Au dessus de 300Hz : fonctionnement purement fréquentiel
Entre les deux : perception de la modulation via des changements de timbre.

Daniel Pressnitzer a étudié ces notions bien mieux que ce que je ne pourrai jamais faire.

@ diddley : ton raisonnement sur les phases n'est pas vraiment adapté. Il faut bien faire la part des choses entre la représentation mathématique du signal par FFT, mais ça tu sembles bien l'avoir compris, et le fonctionnement de l'oreille. Va voir la thèse de Pressnitzer, et regarde aussi du côté de l'effet Haas et de l'effet de masque temporel. Quant à l'épaisseur du présent de Leipp, je l'ai déjà citée. C'est une notion très pédagogique mais un peu désuète comparée à l'effet de masque temporel.

[diddley]

Bonjour à tous,

Oui GrisBleu, je pense être en accord avec ce que tu dis. Je pense que par 'effet psychoacoustique', les deux chanteurs qui devraient chanter en déphasage par rapport aux autres (les deux termes b_n) seraient tenter de se caler sur les autres (à savoir également s'il est vraiment possible de maintenir une phase constante pour un chanteur...). En revanche, pour ce qui est des fréquences, j'ai calculé tous les termes de la série de fourier (en fonction de n pour a_n et b_n) et comme je le disais auparavant toutes les harmoniques significatives se situent autour de 440 Hz et 880 Hz (à ma grande surprise également!).

Encore merci pour toutes ces réponses détaillée!

J'ai obtenu la réponse essentielle à ma question : celle de l'importance de la phase dans la perception auditive. J'avais déjà fait l'expérience de modification de phase pour une sinusoïde générée en même temps qu'une autre (chacune à sa propre fréquence) et constaté les changements de perception mais je n'imaginais pas que cela pouvais conduire à une variation du 'rendu sonore' dans le temps.
J'ai encore du mal à faire le rapprochement de façon claire entre mon problème et la notion de masque temporel mais je sens bien que la réponse se trouve dans la compréhension de cette notion. Merci beaucoup pour tous ces conseils, je sais désormais vers où vont s'orienter mes prochaines lectures!

[LPFR]

Re.
@Phuphus. Comme vous me trouvez assez con pour penser que je parle de la phase d'une seule sinusoïde, pour moi cette discussion s'arrête ici.

@Diddley: Si vous avez rendu votre signal périodique en le répétant tous les 4 s, alors ce n'est pas le signal que vous aviez à l'origine. Et si votre développement se série de Fourier est correct, vous devez obtenir les séquences de 440 et 880 Hz.
Et je maintiens ce que j'ai dit, quoi que disse Phuphus, l'oreille humaine est insensible à la phase.

C'est ce que j'avais à dire. J'arrête là.
A+

[phuphus]

Re-bonjour,

LPFR, toutes mes excuses si mes propos vous ont paru offensants. Je n'ai fait qu'enfoncer une porte ouverte en parlant d'audibilité de la phase d'une sinusoïde, mais en pensant que je suis suffisamment naïf dans le domaine de l'acoustique pour ne pas avoir de bonnes raisons de le faire, vous me vexez.

Certaines personnes dans mon entourage prétendent pouvoir entendre, à l'attaque, la phase absolue d'un sinus à 0° ou 180° (donc attaque par une surpression ou attaque par une dépression). Pour moi, c'est de la science fiction (je n'ai vu aucun test en aveugle prouver cela) et c'est dans cet esprit que j'évoquais la phase d'une sinusoïde isolée.

Pourriez-vous préciser ce que vous entendez par "l'oreille humaine est insensible à la phase" ? Est-ce que cela rentre dans les cadres suivants :

http://www.music.miami.edu/programs/...title_page.htm
http://www.ocf.berkeley.edu/~ashon/a.../phaseaud2.htm

En testant cela dans un environnement réverbérant avec deux GBF et un HP "quelconque" (HP seul ou chargé ?), il est normal de ne pas entendre de différence de phase sur H2.

J'ai obtenu la réponse essentielle à ma question : celle de l'importance de la phase dans la perception auditive.

Non, comme le précise LPFR l'oreille ne fait pas du Fourier. Ce que tu mets en évidence avec la réflexion que tu as menée au post #1, c'est juste le fait qu'un spectre n'est pas représentatif du fonctionnement de l'oreille.

Revenons à ton signal. Isolons le 440Hz. Tu as du 440Hz pendant 2s, et rien pendant 2s. On peut donc considérer que le sinus à 440Hz est modulé par un signal rectangulaire à 0.5Hz. Toute modulation d'amplitude introduit des raies latérales autour de la fréquence modulée, et hors tout artefact de fenêtrage, ce sont ces raies que tu vois autour des pics à 440Hz et 880Hz, et non pas d'hypothétiques harmoniques sinusoïdaux contenus dans ton signal d'origine.

Dit autrement, ces raies latérales autour de 440Hz et 880Hz sont donc entendues comme... le passage de 440Hz à 880Hz à 2s.

Cette histoire de phase que j'ai évoquée plus haut est juste là pour illustrer que deux signaux complètement différents peuvent avoir un même spectre d'amplitude, et que dans ce cas seule la phase peut permettre de discriminer ces signaux dans le cadre d'une représentation fréquentielle (en temporel, la discrimination est immédiate). Donc si l'on reprend les signaux que tu décris dans ton premier post, que j'ai appelés signaux 1 et 2 dans le post #2, seule l'affichage de la phase permettrait de les discriminer. Mais cet exemple n'est à aucun moment illustratif d'une quelconque audibilité de la phase par l'oreille humaine, nous sommes juste là sur des artifices de calcul et de représentation graphique.

[stefjm]

Bonjour,
Petite intervention d'un artiste.

Je ne sais pas si la phase n'est pas sensible à l'oreille, mais ce qu'il y a de sûr, c'est que lorsqu'un chœur d'homme est en phase, et bien cela s'entend très bien! C'est même ce qui fait toute la différence entre le merdique et le sublime...
Ce n'est pas facile à réaliser et cela dépend beaucoup du lieu.

Il suffit d'écouter.

Cordialement.

[GrisBleu]

comme je le disais auparavant toutes les harmoniques significatives se situent autour de 440 Hz et 880 Hz (à ma grande surprise également!).

Bonjour

Quelques remarques:
+ les plus hautre frequences ont disparues a l'echantillonnage (en continu, il y aurait eu des HF qu'on ne peut pas voir en discret)
+ On peut voir ton signal x comme deux sinusoidales s1,s2 modulees par des fenetres de 2 s decalees dans le temps
x(t) = s1 . w(t) + s2 . w(t-2)
En Fourier
X(f)=S1 * W (f) + S2 * (W .E) ou E est une exponentielle
Comme S1 et S" sont des sinusoides, Elles ne font que decaler le spectre de W et W.E sur l'axe des frequences. W a un pic a f=0 puis decroit (sinus cardinal) en 1/f donc il va forcement exister des HF dans ton spectre (mais elles decroissent en 1/f)

A Bientot

[phuphus]

Bonjour,
Petite intervention d'un artiste.

Je ne sais pas si la phase n'est pas sensible à l'oreille, mais ce qu'il y a de sûr, c'est que lorsqu'un chœur d'homme est en phase, et bien cela s'entend très bien! C'est même ce qui fait toute la différence entre le merdique et le sublime...
Ce n'est pas facile à réaliser et cela dépend beaucoup du lieu

Bonjour Stefjm,

le cas d'un choeur ou d'un orchestre par exemple est un peu différent, dans le sens ou de petits décalages temporels entre contributeurs vont beaucoup modifier l'attaque des notes, à laquelle l'oreille est très sensible. On s'éloigne donc un peu de l'audibilité de la phase des harmoniques d'un son stationnaire. Surtout que dans une (grande) salle de concert, il est impossible d'avoir tous les chanteurs d'un choeur en phase en tout point d'écoute...

Pour ceux que ça intéresse, voici une publication datant de 1976 montrant, via des tests en aveugle, que la phase est parfaitement audible sur des signaux composés de seulement deux sinusoïdes :

http://files.tachilab.org/review/tachi197600MEL.pdf

Corollaire : le test décrit par LPFR (2 GBF, un HP et un collègue) montre simplement que son protocole n'est pas à même de mettre en évidence l'audibilité de la phase par l'oreille humaine. Quant à l'affirmation que l'oreille n'est sensible qu'à la puissance, c'est ignorer les bandes critiques de l'oreille (quand on fait varier progressivement l'étendue fréquentielle d'un bruit de bande, dès que cette étendue fréquentielle dépasse une largeur de bande critique, la sonie augmente à puissance égale), et à fortiori l'effet de masque.

Pour ceux qui voudraient se rendre compte par eux-mêmes de l'audibilité de la phase, je joins quelques fichiers :

- Sons "A" : 55Hz, 10 harmoniques d'égale amplitude, seules les phases changent entre chaque fichier
- Sons "B" : même chose à 220Hz
- Sons "C" : même chose à 20Hz et avec 20 harmoniques. Comme pour la rugosité, on attaque des fréquences où le comportement temporel de l'oreille devient prépondérant, et là l'effet de la phase est spectaculaire
- Sons "Tachi" : exemples synthétisés à partir de l'article mis en lien plus haut (donc juste une addition de 2 sinusoïdes à 193 et 386Hz, avec l'amplitude de H2 à la moitié de l'amplitude de H1). Ce sont les sons de la figure 3, avec des phases pour H2 de respectivement 0, pi/2, pi et 3.pi/2 .
- Sons "Dirac" : je prends un Dirac, j'en fais la fft, je génère une phase aléatoire que j'injecte dans le spectre, et je refais la fft inverse.

Ce sont clairement les sons "A", "B" et "Tachi" qui sont le plus représentatifs de l'audibilité de la phase telle qu'on l'entend habituellement ; les autres exemple sont là pour montrer que lorsque l'on exagère un peu les choses, on a affaire à des évidences.

Quelques commentaires sur les catégories A, B et Tachi : pour ma part, je discrimine sans problème chaque son d'une même catégorie avec un casque fermé (Sennheiser PX 200-II), et les différences sont plus subtiles voire très ténues avec un casque ouvert (Sennheiser HD-600). Je n'ai fait aucune écoute sur enceinte. Maintenant, même si un test personnel ne peut pas remplacer une manip en bonne et due forme, à chacun de se faire sa propre opinion ; et comme le dit Stefjm :

Il suffit d'écouter.

[stefjm]

En fouinant, j'ai trouvé ceci :

http://jimbee.over-blog.com/pages/ph...s-3047356.html

[phuphus]

Bonjour Stefjm,

page très intéressante ! Le premier lien, qui pointe sur le site de l'université d'Aix, est à éviter (propos trop flous). Par contre, le reste est sympa.

Les exemples qu'il met sont assez spectaculaires, j'aime tout particulièrement le "spactra_one_70.mp3". Sur le passage entre 54 et 57s, on a l'impression que l'harmonique 10 (700Hz) se détache du reste et est perçu comme une tonalité indépendante. A 57s, cet harmonique disparait purement et simplement (j'ai essayé en supprimant l'harmonique 10 du passage entre 54 et 57s, et du coup la transition à 57s devient quasiment inaudible).

Pour le coup de la phase absolue, ou polarité, c'est plus délicat à tester correctement. Le signal mis en exemple étant fortement asymétrique, il faut être sûr que les transducteurs que l'on utilise pour la restitution sont, eux, symétriques, sinon on ne peut pas être sûr que ce que l'on entend est bien le changement de polarité ou bien les changements de distorsion lorsque la polarité est inversée.

Pour les explications de tout ceci, en fouillant un peu je suis retombé sur des choses connues :
- l'oreille est non linéaire en niveau, et comme les changements de phase introduisent des dissymétries dans le signal (au niveau de la densité de probabilité, mais pas au niveau de l'énergie), forcément on le ressent
mais j'ai aussi appris pas mal de trucs :
- l'oreille est apparemment aussi non linéaire sur la polarité : les mécanismes de réception et de transmission des dépressions ne sont pas symétriques par rapport aux mécanismes pour les surpressions. Si l'on déroule un peu quelques liens à partir du blog de jimbee, on tombe sur ceci :

http://www.nature.com/nature/journal...ture02591.html

Du coup, je me demande si on ne pourrait pas réellement entendre la polarité d'un bête sinus à l'attaque