Équation de champ d'Einstein

[Deedee81]

Ben les possibilités pour le faire sont uniquement valables dans les cas de systèmes très symétriques non? Ex Schwarzschild.

Non, c'est lié au fait que la partie sur lequel on plaque le système de coordonnées et topologiquement homéomorphe à un plan.

Exemple, la sphère. Impossible de plaquer un système de coordonnées unique sans singularité (exemple, le système des longitudes / latitudes qui est singulier aux pôles). Mais on peut utiliser deux patchs.

Je parle évidemment de singularités liées aux coordonnées, pas des singularités de la variété comme le centre dans la géométrie de Schwartzchild.

Et la sphère est l'objet le plus symétrique qui soit.

Alors que des espace-temps sans aucune symétrie peuvent très bien admettre un seul système de coordonnées.

Ben justement je pensais à une comparaison entre Schwarzschild et des coordonnées sphérique (+ temps), les deux dépendent des coordonnées, mais dans l'une la dépendance en coordonnée est influencée par la distribution de matière i e d'énergie.
...
C'est en ce sens qu'elle peut être influencée par l'énergie.

Ok, dans ce sens là, oui. Il est clair que l'énergie-impulsion + les conditions aux limites donnent la géométrie (à travers l'équation d'Einstein). Et la géométrie limite les possibilités.

Mais à géométrie fixée, les possibilités restent gigantesques.

On peut même avoir des champs de repères pour lesquels ne correspondent aucun systèmes de coordonnées (les systèmes de coordonnées sont plus restreint).

Je crois ne pas être d'accord, la métrique, en définissant un produit scalaire impose qu'il soit "plat", on ne fait un produit scalaire que dans un espace vectoriel, et un espace vectoriel n'est pas courbe.
[...]

Je ne sais pas où tu as été chercher cette idée bizarre.

La courbure ou.... la platitude, ce n'est en effet pas lié à l'espace vectoriel. Un espace vectoriel n'est pas du tout doté de notion de courbure. Et donc il est tout aussi faux de dire "c'est plat" que de dire "c'est courbe". Mais l'espace ponctuel (ou la variété) possède bien une courbure et on le dote bien d'une métrique et d'un produit scalaire (avec un tenseur métrique dont la valeur varie de point en point).

Il ne faut surtout pas confondre espace vectoriel et variété.

C'est l'espace tangent qui est plat (par définition) (plus exactement, l'espace ponctuel, la variété tangente, pas la structure d'espace vectoriel dont il est doté), mais cela n'autorise pas de dire que localement l'espace-temps est plat. Je le répète, le tenseur de courbure n'est pas nécessairement nul.

Et oui, ils en parlent dans MTW, tu as raison, mais ils insistent bien sur le fait qu'il ne faut surtout pas confondre l'espace tangent (plat) avec une approximation locale d'un point. L'espace tangent est plat, l'espace-temps même dans une zone infime est de courbure finie (et qui ne tend pas vers zéro lorsque la taille diminue).

Je crois aussi que le principe d'équivalence est fortement relié à la covariance généralisée, cad que bien plus que le fait de pouvoir trouver un référentiel dans lequel on est en chute libre, le principe d'équivalence forte implique que l'on trouve une formulation des lois de la physique invariante quelle que soit le système de coordonnées.

Tu peux préciser comment tu fais le lien ? (le "implique")
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[kalish]

Ce qu'il y a c'est que je ne parle pas de la variété mais bien de l'espace tangent, il faudrait me préciser la différence entre une carte et une métrique applicable à un petit domaine alors. La métrique décrit bien l'espace tangent non? Le tenseur de courbure fait justement toujours intervenir des dérivées de la métrique, cad la façon dont la métrique dépend des coordonnées. J'ai l'impression que tu dis que le seul véritable espace tangent est l'espace de Minkowski, je pense que c'est faux, pourtant tous les espaces tangent sont plat.

[kalish]

Pour ce qui est de la covariance, c'est simplement que si on se limite à l'ascenseur sans la lumière, alors le principe d'équivalence implique que masse grave et masse inerte sont identiques, mais il ne s'agit que du principe d'équivalence faible, le principe d'équivalence forte implique que toutes les lois de la physiques soit identiques à celle d'un observateur au repos lorsqu'on est en chute libre. Ensuite pourquoi ça implique la formulation covariante, simplement car il faut bien qu'il y ait des quantités communes entre différents systèmes de coordonnées pour une même région, et on passe d'un système à un autre grâce à des difféos, comme on a un système où on connait les lois de la physique, il faut trouver ce qu'il y a de communs aux autres.

Heureusement qu'on ne vit pas près d'un trou noir, de quoi serions nous partis?

[Deedee81]

Ce qu'il y a c'est que je ne parle pas de la variété mais bien de l'espace tangent, il faudrait me préciser la différence entre une carte et une métrique applicable à un petit domaine alors. La métrique décrit bien l'espace tangent non?

Les deux !

Avec des coefficients métriques constant dans le cas de l'espace-tangent et variables (dépendant du point considéré) dans l'autre.

Enfin, bon, je constate une forte convergence dans nos propos. Je me demande si on a pas juste une manière fort différente d'expliquer/comprendre les mêmes choses

Kip Thorne regrettait déjà les différences de jargon entre mathématiciens et physiciens mais je constate que ça existe aussi entre physicien (pas de métier en ce qui me concerne) même avec des références commune (MTW).

[...]
J'ai l'impression que tu dis que le seul véritable espace tangent est l'espace de Minkowski, je pense que c'est faux, pourtant tous les espaces tangent sont plat.

Ce n'était pas important ci-dessus, mais oui. Tu aurais un contre exemple (en RG évidemment !) ?

J'étais persuadé que les variétés plates 3+1 ne pouvaient avoir que trois géométries possibles : galiléenne, mikowskienne et une troisième dont je ne connais pas le nom mais acausale. Je parle bien de la géométrie, pas de la topologie.

Mais je peux me tromper.

Pour ce qui est de la covariance[......]

D'accord.... On a clairement une façon différente de voir les choses Mais j'ai compris et je suis totalement d'accord avec ce passage (moi j'ai plutôt tendance à prendre les choses par l'autre bout, par le principe de relativité généralisé, d'où mon étonnement).

C'est toujours bon d'aborder les deux points de vue. Je ne m'étais jamais rendu compte que les deux (équiv et cova) étaient aussi liés !

Heureusement qu'on ne vit pas près d'un trou noir, de quoi serions nous partis?

[kalish]

Ben tu sais la RG je suis encore à l'apprendre, donc je viens plus pour me rôder, surtout quand je pense des trucs bizarres. C'est sûr que partant du fait qu'on a un invariant qu'on peut mettre sous la forme d'un produit scalaire, l' expression du produit scalaire est valable indépendemment du système de coordonnées ou de l'espace dans lequel il est. Mais pour décrire un petit domaine de la variété, selon moi on doit avoir, une métrique particulière. Tu peux probablement toujours trouver un minkowski ok, mais tu ne peux pas toujours trouver un schwarzschild. Le fait de pouvoir décrire tout ce qu'il y a à l'extérieur d'une masse grâce à la même métrique vient uniquement de la symétrie du système, la métrique ne s'occupe de définir qu'une seule région en général. Et je vois mal comment obtenir une quantité qu'est le produit scalaire, cad un produit entre vecteur si on n'est pas dans un espace vectoriel.

J'étais persuadé que les variétés plates 3+1 ne pouvaient avoir que trois géométries possibles : galiléenne, mikowskienne et une troisième dont je ne connais pas le nom mais acausale. Je parle bien de la géométrie, pas de la topologie.

Justement ce que je dis c'est qu'on peut décrire une variété plate avec des coordonnées bizarres, ex R^3 avec des coordonnées sphériques. Au fait même pour Schwarzschild, si tu contractes dans le vide alors tu obtiens R = 0 ce qui implique R_{\mu\nu}=0. et tu obtiens toujours ça dans le vide à moins d'avoir une constante.

Mais je répète que je ne suis pas vraiment sûr, c'est juste que je me rappelle de notre prof de l'an passé qui insitait pour dire que les cristoffels n'était pas nul pour les coordonnées sphériques, et de ce prof de cette année qui nous a dit mais qu'est-ce que ça veut dire un espace plat? Et également cette expérience du manège qui m'a traumatisé (pas quand j'étais petit). Tu as un manège et tu essaies de décrire l'espace dans un système de coordonnées "comobile". Si tu inclus les effets de la RR et en intégrant sur une grande région (tout le manège) alors tu obtiens deux longueurs différentes, ce qui n'est possibles que dans un espace courbe, d'où la gravité courbe l'espace etc mais je me dis que sans la RR, tu décris le même espace plat, mais avec un système de coordonnées différentes.

Et puis je me dis que restreindre ton système de coordonnées à une petite région, c'est un peu faire une transformation d'échelle avec une vitesse de la lumière infinie ou tout du moins négliger les effets de propagation. Et c'est parce qu'on compare une longueur totale entre deux référentiel qu'on s'aperçoit qu'il est courbe, sinon le système de coordonnées ne change pas, puisque la RR ne s'exprime que dans le passage d'un référentiel à un autre.


Mais bon c'est pas très clair pour moi, alors j'imagine mal ce que c'est ce que je dis pour quelqu'un d'autre.

[Amanuensis]

Et la sphère est l'objet le plus symétrique qui soit.

Non, Rⁿ est plus symétrique encore (symétrie d'échelle--les dilatations--en plus).

C'est l'espace tangent qui est plat (par définition) (plus exactement, l'espace ponctuel, la variété tangente

En torsion nulle, il est usuel de considérer l'espace tangent comme un espace vectoriel, isomorphe à Rⁿ, et non pas comme une variété. (Le 0 est bien défini, et forme une section canonique).

que localement l'espace-temps est plat. Je le répète, le tenseur de courbure n'est pas nécessairement nul.

Effectivement. Une variété est localement homéomorphe à R

n

, mais n'est pas nécessairement localement isométrique à Rⁿ euclidien ou minkowskien (ou autre métrique uniforme) : l'obstruction est justement la courbure.

Et oui, ils en parlent dans MTW, tu as raison, mais ils insistent bien sur le fait qu'il ne faut surtout pas confondre l'espace tangent (plat) avec une approximation locale d'un point.

Plus simple d'éviter la confusion en parlant d'espace vectoriel tangent et de fibré vectoriel.

[Deedee81]

Le fait de pouvoir décrire tout ce qu'il y a à l'extérieur d'une masse grâce à la même métrique vient uniquement de la symétrie du système, la métrique ne s'occupe de définir qu'une seule région en général.

Je savais bien qu'on avait une façon différente d'aborder les choses. Pour un espace-temps a peu près quelconque, il y a bien une métrique mais il est clair qu'il est impossible en général de l'écrire analytiquement.

Et je vois mal comment obtenir une quantité qu'est le produit scalaire, cad un produit entre vecteur si on n'est pas dans un espace vectoriel.

Ca passe par là, en effet.

Justement ce que je dis c'est qu'on peut décrire une variété plate avec des coordonnées bizarres, ex R^3 avec des coordonnées sphériques.

C'est vrai, mais ça reste la géométrie de Minkowski avec la même métrique..... par contre ce n'est plus les mêmes coefficients pour la métrique (g ou plutôt est le même mais pas g_ij).

Au fait même pour Schwarzschild, si tu contractes dans le vide alors tu obtiens R = 0 ce qui implique R_{\mu\nu}=0. et tu obtiens toujours ça dans le vide à moins d'avoir une constante.

Exact (le tenseur de Riemann peut être non nul si Ricci est nul, enfin, à au moins 3+1 dimensions du moins).

Mais je répète que je ne suis pas vraiment sûr, c'est juste que je me rappelle de notre prof de l'an passé qui insitait pour dire que les cristoffels n'était pas nul pour les coordonnées sphériques, et de ce prof de cette année qui nous a dit mais qu'est-ce que ça veut dire un espace plat?

J'ai eut la blague il y a quelque jours. J'ai écrit une métrique que je voulais à courbure lentement variable. Je calcule les symboles de Christoffel : non nuls. Je calcule le tenseur de Riemann : nul. Saint millard, j'avais écris une métrique plate sans faire attention. Ca m'a fait râler (ça prend un temps bête idiot de calculer les coefficients, même en utilisant les symétries).

Par contre, il y a un théorème bien connu :
<=> espace-temps plat (les géodésiques sont des droites).

Et également cette expérience du manège qui m'a traumatisé (pas quand j'étais petit). Tu as un manège et tu essaies de décrire l'espace dans un système de coordonnées "comobile". Si tu inclus les effets de la RR et en intégrant sur une grande région (tout le manège) alors tu obtiens deux longueurs différentes, ce qui n'est possibles que dans un espace courbe, d'où la gravité courbe l'espace etc mais je me dis que sans la RR, tu décris le même espace plat, mais avec un système de coordonnées différentes.

La géométrie de Minkowski est fort surprenante et contre intuitive. Quand tu considères des repères en rotation et que tu effectues une coupe (à t constant) tu obtiens un espace courbe !!!!

Et puis je me dis que restreindre ton système de coordonnées à une petite région, c'est un peu faire une transformation d'échelle avec une vitesse de la lumière infinie ou tout du moins négliger les effets de propagation. Et c'est parce qu'on compare une longueur totale entre deux référentiel qu'on s'aperçoit qu'il est courbe, sinon le système de coordonnées ne change pas, puisque la RR ne s'exprime que dans le passage d'un référentiel à un autre.

Avec un changement d'échelle, tu as raison, là c'est clair une zone locale devient plate.

Mais bon c'est pas très clair pour moi, alors j'imagine mal ce que c'est ce que je dis pour quelqu'un d'autre.

Ben, on a fini par se comprendre, c'est le plus important. De même que de voir qu'on était en fait sur la même longueur d'onde. Le langage mathématique de la RG est parfois un peu exotique. Moi aussi j'ai parfois un mal de chien à être clair On me reprend au moins une fois par semaine sur Futura ! J'ai bien dis au moins !

[Amanuensis]

Au fait même pour Schwarzschild, si tu contractes dans le vide alors tu obtiens R = 0 ce qui implique R_{\mu\nu}=0. et tu obtiens toujours ça dans le vide à moins d'avoir une constante.

C'est vrai pour n'importe quel cas en RG : en l'absence d'énergie-impulsion loalement, le tenseur de Ricci ()est nul, ce qui implique (c'est dans ce sens-là, pas dans le sens indiqué dans la citation) que le tenseur scalaire (R) est nul.

Mais cela n'implique pas la nullité de la courbure ! Cela n'annule que 10 des paramètres de la courbure (la partie "symétrique"), pas le reste qui est le tenseur de Weyl (la partie "antisymétrique" de la courbure.

Heureusement d'ailleurs, parce qu'on se demanderait alors pourquoi une particule test tournerait autour de la Terre, puisqu'elle y est, en première approximation, dans le vide. C'est le tenseur de Weyl qui donne des géodésiques de type "orbite", pas le tenseur de Ricci, qui y est nul...

[Amanuensis]

Ben, on a fini par se comprendre, c'est le plus important. De même que de voir qu'on était en fait sur la même longueur d'onde.

C'est bien !

Parce ce que, perso, je ne comprends pas la moitié de vos échanges, et je trouve l'autre moitié parfois bizarre...

[Deedee81]

Parce ce que, perso, je ne comprends pas la moitié de vos échanges, et je trouve l'autre moitié parfois bizarre...

Futura c'est la tour de Babel

[vaincent]

Bonjour,

Et je vois mal comment obtenir une quantité qu'est le produit scalaire, cad un produit entre vecteur si on n'est pas dans un espace vectoriel.

Si c'est possible puisque en tout point(localement) d'une variété riemannienne(ou pseudo-riemannienne, c'est-à-dire une variété différentiable munie d'une métrique riemannienne, respectivement pseudo-riemannienne), il existe un ouvert homéomorphe à Rⁿ qui est bien entendu un espace vectoriel.
Voir ici par exemple.
Le produit scalaire n'est donc plus un invariant comme dans le cas d'un espace euclidien ou pseudo-euclidien.

C'est bien ce que nous dit la relativité générale : le temps et les distances sont relatifs du point de vue d'observateurs qui mesurent(ressentent) un champs gravitationnel différents(ou une accélération selon le principe d'équivalence ultra-fort).

[Amanuensis]

Le produit scalaire est défini sur l'espace vectoriel tangent (bien pour cela qu'on l'écrit ds²=dt²-dx²). Pas de problème donc.

Un homéomorphisme local avec la variété Rⁿ permet certes de fabriquer une métrique en récupérant la métrique euclidienne ou une minkowskienne bien choisie, mais il ne s'agit en rien d'une isométrie.

C'est le problème de la cartographie ! Impossible de faire une carte plane d'une portion quelconque de la surface terrestre qui ne déforme pas d'une manière ou d'une autre le relations métriques (distances, angles, surfaces). (L'obstruction est la courbure intrinsèque.)

Aux petites échelles les erreurs sont faibles (l'arpentage d'un terrain de 500 m² n'est pas corrigé pour la courbure de la Terre !), mais les erreurs sont là quand même.

Chercher à approcher une portion quelconque de l'espace-temps par une variété affine introduit les mêmes erreurs que la cartographie, car c'est exactement le même problème.

On notera au passage que, à l'instar de la cartographie, il n'y a pas UN homéomorphisme local canonique, mais une infinité. On choisit celui qui "déforme le moins" ce qui est le plus important à ne pas déformer, ce qui dépend de l'usage qu'on en fait.

[kalish]

C'est vrai pour n'importe quel cas en RG : en l'absence d'énergie-impulsion loalement, le tenseur de Ricci ()est nul, ce qui implique (c'est dans ce sens-là, pas dans le sens indiqué dans la citation) que le tenseur scalaire (R) est nul.

Ben tou dépend si on a une constante cosmologique ou pas aussi

Mais moi j'ai toujours vu cette équation comme ça. On est dans le vide, on contracte on trouve que R est nul et on réinjecte ça dans l'équation d'Einstein et donc on trouve que

R_{\mu \nu}

est nul.

Et oui effectivement

R_{\mu \nu}

peut être nul sans que le tenseur de Riemann le soit. Je voyais plutôt ça comme une analogie avec la divergence du champ électrostatique, on voit bien qu'à grande échelle les lignes divergent/convergent mais en prenant une toute petite portion, les lignes deviennent parallèles.

On notera au passage que, à l'instar de la cartographie, il n'y a pas UN homéomorphisme local canonique, mais une infinité. On choisit celui qui "déforme le moins" ce qui est le plus important à ne pas déformer, ce qui dépend de l'usage qu'on en fait.

homéomorphisme entre la variété et ?

[Amanuensis]

Ben tou dépend si on a une constante cosmologique ou pas aussi

Question de terminologie. C'est de l'énergie-impulsion ("énergie sombre"). Quand on dit vide, c'est conventionnel de dire que c'est avec ou sans énergie sombre !

Et oui effectivement peut être nul sans que le tenseur de Riemann le soit. Je voyais plutôt ça comme une analogie avec la divergence du champ électrostatique, on voit bien qu'à grande échelle les lignes divergent/convergent mais en prenant une toute petite portion, les lignes deviennent parallèles.

Sauf que pour la gravitation, c'est la non nullité du tenseur de Weyl qui fait que la Terre orbite dans le champ de gravitation solaire ! Quitte à faire je préfère ne pas le négliger et rester au chaud

homéomorphisme entre la variété et ?

Une variété (sans bord) est par définition localement homéomorphe à pour un certain n, c'est à dire que tout point de la variété possède un environnement homéomorphe (= même topologie) que . (Ou, en termes différents, on peut mettre des coordonnées locales dans un voisinage d'un point quelconque d'une variété.)

[kalish]

C'est le problème de la cartographie ! Impossible de faire une carte plane d'une portion quelconque de la surface terrestre qui ne déforme pas d'une manière ou d'une autre le relations métriques (distances, angles, surfaces). (L'obstruction est la courbure intrinsèque.)

Ben donc c'est bien quand on passe d'une région à une autre que la courbure se manifeste, (et je dirais ésotériquement : justement quand une expression donnée du produit scalaire n'est plus valable non?)

Une variété (sans bord) est par définition localement homéomorphe à pour un certain n, c'est à dire que tout point de la variété possède un environnement homéomorphe (= même topologie) que . (Ou, en termes différents, on peut mettre des coordonnées locales dans un voisinage d'un point quelconque d'une variété.)

Je sais bien, mais ton infinité d'homéomorphismes n'est elle pas ton infinité ( de choix) de système de coordonnées?

[Amanuensis]

Ben donc c'est bien quand on passe d'une région à une autre que la courbure se manifeste

Non.

Il n'est pas possible de trouver un voisinage d'un point, aussi petit que soit ce voisinage, qu'on puisse "cartographier" sans déformation métrique.

Quand le voisinage d'un point est suffisamment petit, la déformation est négligeable au sens pratique, elle n'est pas nulle au sens mathématique.

Je sais bien, mais ton infinité d'homéomorphismes n'est elle pas ton infinité ( de choix) de système de coordonnées?

Bien sûr, puisqu'un homéomorphisme local avec Rⁿ est un système de coordonnées locales, par définition.

Le point de fond est inchangé par un changement de vocabulaire.

[kalish]

hmmm il est invariant sous l'action d'un élément du groupe des synonymes?

[Amanuensis]

hmmm il est invariant sous l'action d'un élément du groupe des synonymes?

Quelle est l'utilité de ce genre de remarque ?

[kalish]

Aucune c'était de l'humour sans méchanceté aucune, il me semble que c'est équivalent à:
Le point de fond est inchangé par un changement de vocabulaire.

que j'avais pris pour vrai mais ironique à la fois.

bonne journée.

[Deedee81]

Salut,

J'avais bien dit que tout ça (ces difficultés de se comprendre) n'était qu'une façon de s'exprimer

On parle tous de la même théorie

Marant le groupe des synonymes, je me demande si c'est une symétrie brisée

[Amanuensis]

Le point de fond, c'est :

Une variété (sans bord) est par définition localement homéomorphe à pour un certain n, c'est à dire que tout point de la variété possède un environnement homéomorphe (= même topologie) que . (Ou, en termes différents, on peut mettre des coordonnées locales dans un voisinage d'un point quelconque d'une variété.)

Ce qui contredit

c'est bien quand on passe d'une région à une autre que la courbure se manifeste

(Car la courbure se manifeste dans toute région, quelle que soit sa taille non nulle.)

[Amanuensis]

J'avais bien dit que tout ça (ces difficultés de se comprendre) n'était qu'une façon de s'exprimer

J'aime bien cette attitude pacifiante, et la subtilité entre "difficultés à comprendre" et "difficultés de se comprendre"...

[invite6754323456711]

(Car la courbure se manifeste dans toute région, quelle que soit sa taille non nulle.)

La courbure c'est équivalent à une non isométrie ? Une bijection (entre deux espaces topologiques) peut être un homéomorphisme, mais ne pas être une isométrie. La déformation d'un cercle en ellipse sans couper le cercle et sans collage est un homéomorphisme, mais pas une isométrie.

Patrick

[Deedee81]

J'aime bien cette attitude pacifiante, et la subtilité entre "difficultés à comprendre" et "difficultés de se comprendre"...

C'est lié, une terminologie inappropriée peut cacher une difficulté de compréhension. Je ne considère donc pas cette longue discussion comme inutile

Et je continue à suivre d'ailleurs (comme je ne m'exprime pas toujours de façon appropriée, ça reste fort instructif).

[invite6754323456711]

mais ne pas être une isométrie.

Oups mais peut ne pas être

Patrick

[Amanuensis]

La courbure c'est équivalent à une non isométrie ?

Une courbure (intrinsèque) non nulle en un point est une obstruction à toute isométrie locale avec une variété plate. (Locale au sens "dans un voisinage de ce point".)

(Par contraste, ce n'est pas le cas pour les variétés symplectique. Dans ce cas-là (toujours avec les restrictions sans bord et même dimension), il y a non seulement homéomorphisme local mais aussi symplectomorphisme local.)

Une bijection (entre deux espaces topologiques) peut être un homéomorphisme, mais peut ne pas être une isométrie.

Oui.

En précisant : deux variétés riemanniennes ou pseudo-riemanniennes sans bord, de même dimension, et de même signature, sont localement homéomorphes, mais pas nécessairement localement isométriques.

(La notion d'isométrie n'est pas définie en général pour un espace topologique quelconque. Faut une structure supplémentaire, la métrique.)