Représentation de Sigma_5 et symétrie des molécules de Fullerenes.

[invite76543456789]

Bonjour,
Je m’intéresse aux symétries des molécules ballon de football pour un projet universitaire.
Mon coordinateur m'a envoyé quelques questions qu'il aimerait bien que je resolve.
Je m'interesse a la representation de permutation de Sigma_5, sur C^5.
Elle se decompose en une representation triviale, et une representation r.
Je voudrais etablir la table des carractères de S^2r et de .
Il faudrait ensuite que j'en deduise la table des carractères de Sigma_5.
Et bien, je ne sais pas par où commencer!
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[obi76]

Déplacé en chimie.

Pour la modération,

[philou21]

Moi je l'aurais déplacé en math...
le groupe de l'icosaèdre se traite un peu différemment des groupes dont les chimistes peuvent avoir l’habitude.
Enfin, je pense...

[obi76]

Je le laisse en physique finalement, c'est vrai que c'est un sujet un peu à cheval sur les 3 domaines...

Pour la modération,

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Bonjour,
Je m’intéresse aux symétries des molécules ballon de football pour un projet universitaire.
Mon coordinateur m'a envoyé quelques questions qu'il aimerait bien que je resolve.
Je m'interesse a la representation de permutation de Sigma_5, sur C^5.

Qu'est ce que tu appelles C^5 un espace de Hilbert de dimension 5 sur les complexes?

Elle se decompose en une representation triviale, et une representation r.

Qu'est ce que tu appelles r? la représentation régulière?

Je voudrais etablir la table des carractères de S^2r et de .

Même genre de questions que précedemment. Définit tes notations.

Il faudrait ensuite que j'en deduise la table des caractères de Sigma_5.

connais-tu le théorème de grande orthogonalité?


Vu la manière dont tu poses les questions il faudrait mieux que e soit en mathématiques.

[invite76543456789]

Oui C^5 c'est un espace de dimension 5 sur C. C^5.

Ce que j'appelle r c'est la representation supplementaire a la representation triviale dans la representation regulière.

Pour le reste mes noations sont standards, S^2r c'est la deuxieme puissance symétrique de la representation r, et Lambda^2, c'est la deuxieme puissance exterieure.

Le théoreme de grande orhonormalité? Je ne connais pas de theoreme portant ce nom, mais je sais que toute representation d'un groupe fini est unitarisable, et qu'elles sont toutes semi simples, c'est ca?

[mariposa]

Oui C^5 c'est un espace de dimension 5 sur C. C^5.

Ce que j'appelle r c'est la representation supplementaire a la representation triviale dans la representation regulière.

Pour le reste mes noations sont standards, S^2r c'est la deuxieme puissance symétrique de la representation r, et Lambda^2, c'est la deuxieme puissance exterieure.

Le théoreme de grande orhonormalité? Je ne connais pas de theoreme portant ce nom, mais je sais que toute representation d'un groupe fini est unitarisable, et qu'elles sont toutes semi simples, c'est ca?

Il y a beaucoup de flou dans ta question.


Je suppose qu'il ne s'agit pas d'un exercice de mathématique, puisque tu parles d'une molécule de fullérenes.

Il faut donc d'abord savoir qu' est-ce que tu veux étudier dans ta molécule. Typiquement structure vibrationnel et/ou structure électronique.

Donc la première à connaitre est le groupe d'invariance de ta molécule.


Je doute que ce soit S5, (si S5 veut dire groupe de permutation de 5 éléments). Est-ce vraiment le cas?

[invite76543456789]

Non, il ne s'agit pas d'un exercice de maths, ni d'un exercice a proprement parler meme.
Disons que je travaille sur une sorte de mémoire avec un advisor, et en gros le dialogue avec lui consiste en une suite de questions, des sortes de devoirs maisons, auxquelles je dois repondre. Il m'a proposé tout d'abord d'etudier la representation de permutation de Sigma_5 sur C^5.

Je ne vois pas ce qu'il y a de flou dans ma question. Sinon, oui, sigma 5 est le groupe de permutation d'un ensemble a 5elements !

[invite76543456789]

En fait, le but est d’étudier les représentations du groupe de l’icosaèdre (les molécules de Fullerenes) qui est A_5, et pour étudier ce groupe, on étudie d'abord celles d'un groupe plus gros, qui le contient Sigma_5, si j'ai bien tout compris.

[mariposa]

Non, il ne s'agit pas d'un exercice de maths, ni d'un exercice a proprement parler meme.
Disons que je travaille sur une sorte de mémoire avec un advisor, et en gros le dialogue avec lui consiste en une suite de questions, des sortes de devoirs maisons, auxquelles je dois repondre. Il m'a proposé tout d'abord d'etudier la representation de permutation de Sigma_5 sur C^5.

De quelles connaissances as-tu au départ sur les groupes?

La première chose que tu peux faire, c'est construire la représentation régulière.

Elle doit être composée d'élements de matrices avec des "0" et des "1".

Si tu as regroupé des éléments de permutation en classes il est inutile de calculer toutes les matrices (1 représentant par classe suffit)

car ce sont les caractères dont tu auras besoin ultérieurement.

[mariposa]

En fait, le but est d’étudier les représentations du groupe de l’icosaèdre (les molécules de Fullerenes) qui est A_5, et pour étudier ce groupe, on étudie d'abord celles d'un groupe plus gros, qui le contient Sigma_5, si j'ai bien tout compris.

Effectivement. En général les groupes des objets géométriques sont isomorphes a des sous-groupes des groupes de permutation.

donc je commence à entrevoir ce que l'on te demande.

On te demande de construire une représentation de S5 pour ensuite la décomposer en représentations irréductibles de A5

[invite76543456789]

Non, mais ma question n'est pas la, je vois très bien quelle est la représentation de permutation de Sigma_5 sur C^5.
Je vois aussi très bien pourquoi cette représentation contient une sous représentation triviale.
Je vois très bien pourquoi cette sous représentation admet une représentation supplémentaire, notée disons r, telle que la représentation de permutation, s’écrive r somme directe représentation triviale.
Par contre pour calculer les caractères de S^2r, et de wedge^2r, je bloque.

[invite76543456789]

Apres pour mes connaissances sur les groupes, j'en ai pas beaucoup.
J'ai dû apprendre le BaBA de la représentation et j'ai eu comme traité de référence, le début d'un petit bouquin gris qui s'appelait "Théorie des représentations linéaires des groupes"

[invite76543456789]

En fait j'ai eu une idée, mais je doute que ce soit la bonne idée.
Je pourrais écrire les opérateurs, a conjugaison prés, pour toutes les classes de conjugaison qui sont dans l'image de ma représentation, et voir comment agissent ces opérateurs sur le supplémentaire orthogonal a C.(e_1+e_2+...+e_5), où les e_i désignent la base canonique de C^n.
Comme ma représentation est déjà unitaire, alors je suis sur que la sous représentation r est celle orthogonale a C.(e1+...+e_5).
Il ne me reste plus qu'a calculer la trace de ces opérateurs sur cet espace, puis sur le produit symétrique et extérieur.
Est ce une bonne méthode? Ça me parait trop "pédestre" il doit y avoir une méthode plus élégante.