Petites oscillations avec "ressorts" étranges, mécanique

[arbolis87]

Bonjour a tous,
Je bloque sur un probleme ou le systeme mécanique est différent de tout ce que j'avais vu jusqu'a présent.
Voici le systeme mécanique: |----m----m----|, ou | représente un mur fixe, m une particule de masse m et ---- un ressort. Donc il y a 2 murs, 3 ressorts et 2 masses. Cependant les ressort ont un potentiel . La distance entre les 2 murs est de L.
1)Démontrez que les positions d'équilibres sont L/3 et (2/3)L.
2)En utilisant l'approximation des petites oscillations, trouvez les fréquences normales et les modes normaux.
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Ce que j'ai fais:
1)L'énergie potentielle du systeme (et en fait énergie totale aussi) a un minimum lorsque les 3 ressorts ne sont pas étirés, donc lorsque les particules de masse m sont a L/3 et (2/3)L. Mais elle n'est pas nulle non plus... ca me trouble. On dirait qu'il y a toujours une force appliquée (vu que le potentiel ne s'annule jamais) et donc que le systeme ne sera jamais en équilibre.
2)Soit et les positions L/3 et (2/3)L respectivement. L'énergie potentielle s'écrit comme .
Maintenant l'approximation des petites oscillations est d'approximer par une fonction, disons qui est une expension de Taylor d'ordre 2 de . Or, dans tous les problemes que j'ai résolu jusqu'a présent, le potentiel était directement proportionnel a l'élongation des ressorts et donc l'approximation du potentiel était de la forme . (seul les termes de second degrés était différent de 0), tandis qu'ici je me retrouve avec des terme de 0, 1 et 2 degrés. Je ne vois pas en quoi l'approximation facilite le probleme...
Quelqu'un pourrait m'aider pour trouver les fréquences d'oscillations?
Merci.
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[doul11]

Bonjour,

Je raisonne "avec les mains" mais pour la question 1) il est évident que si les trois ressorts sont les mêmes alors a l'équilibre ils auront la même longueur, qu'ils soient compressés, étirés, ou ni l'un ni l'autre.

[arbolis87]

Bon, j'ai fais un developpement de Taylor d'ordre 2. Ca m'a donné: . En général on prend puisque c'est une constante. Mais ici ca vaut . Donc si je prends , ca me fait et tout vaut 0. En ignorant ce probleme et en prenant V(0,0)=0, j'obtiens . Je ne sais pas si c'est possible de faire ca. Si vous avez de l'expérience avec ce type de probleme, n'hésitez pas a laisser un commentaire.
Donc sous forme de matrices, et .
En faisant , je trouve et . Donc ca serait les fréquences normales qu'on me demande. Ce qui m'embete un peu c'est que ces fréquences sont différentes du cas d'un systeme avec des ressorts "normaux" ou le potentiel est une fonction proportionnelle a l'étirement.
Comme modes normaux j'ai trouvé et .
Est-ce que quelqu'un voit une erreur/quelque chose de bizarre dans mes résultats? Je me prépare pour un examen le 7 mars (mercredi qui vient), j'espere que ce que je fais semble correct. :/