Mécanique des fluide : potentiel complexe et réaction d'un jet

[martin47000]

Bonsoir,

J'ai deux exercices où je bute.

Exercice 1 :

Soit un récipient de grand diamètre posé sur une surface glissante. On considère que les parois extérieures au réservoir, sa surface libre ainsi que la surface du jet sont
soumises à la pression atmosphérique Pa. La surface de l’ouverture disponible pour la vidange est S. La surface libre du fluide dans le récipient est distante de la hauteur h de l’ouverture. Au droit du jet où la section s devient constante on considère que la vitesse V est la pression sont uniformes. On notera k le coefficient de contraction du jet : s=kS

(en ce qui concerne le schéma, la vidange se fait en bas à droite du réservoir).

1) Déterminer la vitesse du jet V, une fois le bouchon retiré.
2) Donner l’expression de la force résistante nécessaire pour maintenir immobile le réservoir si on lui retire son bouchon de vidange (en fonction de la masse volumique du fluide, de la surface S, du coefficient de contraction k, de la hauteur h et de l’accélération de la pesanteur).

Pour la 1), c'est une question de cours, et on trouve, dans l'approximation du réservoir considéré (S0 >> S => V(A) = 0, avec A un point de la surface libre),

Pour la 2), j'utilise le théorème des efforts globaux. La surface de contrôle est la réunion de S0, S et Sl (surface latérale de la cuve). Par hypothèse, le fluide glisse sur les parois, donc V.nl = 0 (avec nl le vecteur normale à la surface latérale). Comme la vitesse est nulle à la surface libre, se résume à , avec (vecteur unitaire de l'axe des abscisses, colinéaire et de même sens que le vecteur V).

On pose , avec nl vecteur normale à la surface latérale : c'est la force exercée par l'eau sur les parois. On a avec le vecteur normale à la surface S0. Du coup,



D'après la théorème des efforts globaux on a :



Du coup, on isole R et la force à appliquer est -R ? Mais là, j'ai des constantes du style P_a, S0 et m qui ne sont pas demandées dans l'énoncé ... Comment je fais pour les "enlever" ?

Exercice 2 :

Un vent uniforme à l’infini souffle horizontalement (vitesse V) dans la direction Ox sur une cheminée cylindrique verticale de section circulaire, d’axe perpendiculaire à Ox et de diamètre 2a=4m.

1) Le potentiel complexe de l’écoulement autour de la cheminée est donné par la superposition d’un écoulement parallèle et d’un double (source+puit), il s’écrit : f(z) = V(z + a²/z). Déterminer \phi, le potentiel des vitesses

2) Déterminer l’expression de la vitesse de l’écoulement le long de l’axe Ox. Montrer que sur cet axe, la vitesse est parallèle à Ox.

3) A quelle distance horizontale de la cheminée doit-on se placer sur l’axe Ox pour que la modification de la vitesse ne dépasse pas 5%.

J'ai réussi la 1) et la 2) (le vecteur vitesse sur (Ox) a pour composantes, en coordonnées cartésiennes, ). Mais je bloque connement sur la dernière question ...

Merci.

[maxwellfiltre]

bonjour,

pr l exo 1, je pense qu il y a peut être plus simple que d 'utiliser le calcul des efforts globaux (theorème quantite de mouvement) :
le "recul" du réservoir étant directement lié à l'éjection de l'eau à une vitesse v; en supposant que les frottements sont totalement nuls;
alors la résistance doit être égale , au meme instant, à la masse d'eau éjectée;
on sait que le débit éjecté est Q=V.s=kSV donc le volume éjecté est vol=Q.t=kSVt
par conséquent la masse éjectée est .volume.g=kSV.g à l'instant t
au même instant, la résistance à appliquer lui est égale ( on suppose que l'écoulement est uniforme et permanent)
donc R=kSV.g (en valeur absolue ! il ne faut pas oublier que le vecteur R est opposé au vecteut de la vitesse V)

pour l'exo 2 c'est encore plus simple :
on ne doit pas dépasser de 5% la vitesse horizontale ( donc suivant Ox)
tu as fais le plus dur en déterminant la vitesse donc on doit avoir V1/V < à 5% soit 1-a2/x2 < 0,05. Tu trouves alors la distance x = environ à 1.0259.a

[martin47000]

Bonsoir,

Le 't' de vol, il est passé où dans l'expression de la masse ? Et g, il sort d'où ?

Sinon, y a quoi de mauvais dans mon raisonnement ? Par exemple, si je néglige la pression atm, j'arrive presque à ton expression, il me manque juste le 'g' ... et faut virer le 'm' ...

Merci.

[maxwellfiltre]

c est pas une critique mais une autre solution possible..
en fait, je parle de débit massique, d' où l apparition du g (accélération de la pesanteur) masse=x volume x g
pour le paramètre temps (t) je suppose qu au même instant, on a égalité entre la force de résistance et la force du poids de l'eau éjectée

[martin47000]

"masse=rhox volume x g"

Si on fait une analyse dimensionnelle, le membre de droite est plutôt homogène à une masse*accélération, donc je ne vois toujours pas ...

[maxwellfiltre]

oui effectivement, tu as raison, autant pour moi.
je parle de la force du poids
la force de resistance doit compenser la force d'éjection de l'eau

[maxwellfiltre]

tu comprends le principe ou pas ?

[martin47000]

Mais pourquoi considérer la force volumique du poids et non pas simplement la force de pression qu'exerce l'eau qui sort sur la section du réservoir qu'elle traverse ? Dans le dernier cas, je vois mieux

[maxwellfiltre]

parce que je pense "action/réaction"
qu est-ce qui fait bouger le réservoir : la force d'éjection de l'eau = action
quelle est la réaction = l'opposé de cette force
quelle est donc la résistance R qu il faut appliquer : une force égale et opposée à cette réaction

[martin47000]

Ca, j'ai bien sûr compris. Mais je ne vois pas comment "modéliser" rigoureusement (mathméatiquement parlant) la force d'éjection

[maxwellfiltre]

mathématiquement, ça correspond à la formule du pois P=mg tout simplement
physiquement, ce serait un peu comme un canon qui recule quand l'énergie apportée par l explosion éjecte le boulet
ici, l'énergie vient de la vitesse de l'eau
désolé je vois pas mieux comme exemple pour t expliquer

[martin47000]

Je comprends bien le phénomène et je vois bien que la force d'éjection dépend du débit massique mais je ne vois pas comment obtenir rigoureusement avec mes théorèmes du cours cette force (qui sont le théorème des efforts, euler et torricelli) ...

[maxwellfiltre]

dans l application du théorème d euler, je ne suis pas d accord avec le terme pa.kS ex car la pression, au point d'éjection n'est pas pa mais la pression hydrostatique ;je pense que ton erreur vient de là

[maxwellfiltre]

avec la pression hydrostatique = gh
on doit être bon maintenant (j avais zappé le h !!)

[martin47000]

Même si je considère la pression hydro à la place, j'aurai la terme mgey ...