Covariance et contravariance

[dolan-duck]

Bonjour à tous,

Je fais appel ici aux mécaniciens relativistes de tout poil : sauriez vous m'expliquer ce que sont la covariance et la contravariance ?

Par exemple, pourquoi dit-on que les coordonnées d'un vecteur sont des grandeurs contravariantes, et les vecteurs de coordonnées correspondants sont des grandeurs covariantes?

Merci d'avance pour votre aide!
Bonne journée.
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[invite54165721]

Bonjour

A l'origine il y a le fait que les "objets" ont des coordonnées dans une base donnée.
Si on double la longueur des vecteurs de la base, les longueurs des objets dans la nouvelle base vont diminuer de moitie.
Soit donc varier dans le sens contraire (contravarier).
les produits scalaires de l'objet avec les vecteurs de la base vont eux doubler donc co-varier.

[Amanuensis]

Par exemple, pourquoi dit-on que les coordonnées d'un vecteur sont des grandeurs contravariantes, et les vecteurs de coordonnées correspondants sont des grandeurs covariantes?

Si on fait un changement de base consistant à doubler les , alors les coordonnées usuelles (la position d'indice est pour distinguer des coordonnées covariantes) sont divisées par deux. (Les longueurs des vecteurs sont inchangées, car la métrique contravarie...)

Ce qui est usuellement moins clair est la notion de "coordonnées covariantes". Je donne ici l'explication conceptuelle, pas nécessairement la plus simple.

L'ensemble des formes linéaires sur un espace vectoriel est aussi un espace vectoriel. On peut faire (en dimension finie) une correspondance 1 pour 1 entre les vecteurs et les formes linéaires via un produit scalaire : la fonction qui à associe est une forme linéaire, et c'est celle qui correspond à . On peut ainsi parler des coordonnées covariantes de comme étant celles de la forme linéaire correspondante, on va les noter .

Les coordonnées des formes covarient avec les vecteurs de base , parce que le produit doit être invariant (c'est le résultat de la forme linéaire u appliquée au vecteur v); donc si les sont divisés par deux, les doivent être multipliés par deux, ils varient donc comme la base.

[Et cela se comprend uniquement si on accepte que les objets ne sont pas des multiplets de coordonnées, mais au contraire que les coordonnées représentent un objet, i.e., qu'un changement de base n'est qu'un changement de coordonnées pour un même objet.]

[RégisPetit]

Pour un espace vectoriel E de dimension n ayant pour vecteurs de base l'ensemble (e1, e2... en), on appelle :
- composantes contra-variantes d'un vecteur x les nombres xi tels que : x = xi ei
- et composantes covariantes les nombres xj tels que : xj = x.ej
La différence de définition est donc liée simplement à la façon de projeter ou non le vecteur x sur les vecteurs de base.
L'appellation contra-variante (resp. covariante) vient du fait que ces composantes se transforment, lors d'un changement de base, de manière inverse (resp. identique) à celle des vecteurs de base. Voir démonstration ci-après.
Les composantes contra-variantes sont notées avec des indices supérieurs.
Les composantes covariantes sont notées avec des indices inférieurs.
Lorsque la base est orthonormée, il n'y a pas de différence entre composantes covariantes et contra-variantes.

Démonstration de l'appellation contra-variance (resp. covariance) :
On considère le changement de base {ei} = (e1, e2... en) vers la nouvelle base {e'k} = (e'1, e'2... e'n).
Soit [A] la matrice de passage de la base {ei} à la base {e'k}.
Les éléments de [A] sont les Aik tels que : e'k = Aik ei
L'indice du haut est l'indice de ligne de la matrice. L'indice du bas est l'indice de colonne de la matrice.
Soit [B] = [A-1] la matrice de passage inverse de la base {e'k} à la base {ei} telle que : ei = Bik e'k
Pour les composantes contra-variantes, on a :
x = xi ei
x = x' k e'k = x' k (Aik ei) = (Aik x' k) ei)
D'où : xi = Aik x' k
Et donc : x' i = Bik xk
Les composantes contra-variantes se transforment donc de manière inverse à celle des vecteurs de base (avec la matrice de passage inverse [B]).
Pour les composantes covariantes, on a :
xj = x.ej
x'k = x.e'k = x.(Ajk ej) = Ajk (x.ej) = Ajk xj
Les composantes covariantes se transforment donc de manière identique à celle des vecteurs de base (avec la même matrice de passage [A]).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Bonjour,

RegisPetit. Tu as passé ton temps a déterrer des anciennes discussions. Dans certains cas, certains des participants ne sont même plus venu sur Futura depuis des années.
En plus certains des messages contenaient des erreurs, des imprécisions ou de l'auto-promotion.

Je laisse ce message-ci car si ce n'est pas l'explication la plus générale (il est préférable de faire appel à la dualité) elle est tout de même complète et correcte.
Mais je ferme car ici aussi il s'agit du déterrage d'une discussion vieille de cinq ans.

Tu es le bienvenu sur Futura, mais s'il te plait, rectifie rapidement cette façon de faire. Ouvre des discussions avec des questions, ou répond dans des discussions récentes. Et fait attention à tes explications (l'horloge biologique c'est quand même une jolie perle). Merci d'avance.