L'opérateur hamiltonien est-il faux ?

[invite4556789]

J'explorais l'excellent site science.ch, quand je suis tombé sur une démonstration étrange.
Sur cette page, équations de 42.156 à 41.162
Il s'agit du calcul de l'énergie d'une particule chargée, plongée dans un potentiel électromagnétique et électrostatique.
Cela commence avec le Lagrangien, que l'on sait être la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.
L = T - V
mathss1604.gif
Puis on calcule l'Hamiltonien, que l'on sait être l'énergie mécanique totale :
H = 2T - L = T + V
Je passe les détails. On aboutit à :
mathss1610.gif

Or, qu'y voit-on ? l'énergie liée au potentiel vecteur a totalement disparue dans la procédure de calcul...
Pourquoi ce terme a-t-il disparu ? Est-ce bien fondé ?
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[albanxiii]

Bonjour,

La bonne définition de l'hamiltonien n'est pas celle que vous avez écrite. La vraie c'est où . Pour la généralisation aux champs, je vous renvoie vers wikipedia, par exemple.

Et oui, il est normal que le potentiel vecteur n'apraîsse plus dans l'hamiltonien. Le champ magnétique ne fourni aucun travail aux charges électriques.

Bonnee journée.

[invite4556789]

Pourtant, en MQ, le potentiel vecteur est réintroduit dans l'Hamiltonien pour expliquer le spin, la quantité de mouvement généralisée pour une particule chargée étant définie par p = mv+qA.

Pourquoi donc faire une procédure de calcul qui évacue une grandeur pour devoir la réintroduire ensuite ?
C'est ça que je ne comprend pas.

[Deedee81]

Je ne comprend pas ton "Pourtant". Albanxiii disait juste que la définition H = 2T - L est fausse. Ni plus ni moins. D'ailleurs, ce n'est pas le cas ici mais il arrive que la lagrangien ne soit pas non plus T - V !!! (il existe des exemples simples mais je je les ait plus en tête) Il faut mieux utiliser la définition d'Albanxiii

Quand au spin, ça n'a rien à voir avec la question originale puisque ton lagrangien est sans spin. Donc, forcément tu ne saurais pas avoir le terme du potentiel vecteur. Si tu préfères une définition from scratch, propre et pure, sans introduction artificielle du spin, regarde du coté de l'équation de Dirac. C'est expliqué en détail avec l'hamiltonien, le terme de spin et tout, dans Quantum Field Theory de Itzykson et Zuber. Et encore mieux, si tu veux voir l'introduction propre et non artificielle du quadripotentiel sans imposer le couplage minimal, regarde du coté des théories de jauge (moi j'ai trouvé ça génial à l'époque, c'est aussi dans ce bouquin).

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Re,

Euh... le Itzykson et Zuber il est assez hard enfin, je trouve... Mais c'est sur qu'il est complet. Pour une approche plus simple, mais qui prend son temps et un bon combre de pages.... je conseille le cours Rayonnement quantique d'Alain Laverne, les premiers chapitres. Il montre comment le spin apparaît (et que cela n'est pas une conséquence de la relativité) et montre les liens entre fonction d'onde, invariance de jauge et hamiltonien.

Bonne soirée.

[Deedee81]

Salut,

Euh... le Itzykson et Zuber il est assez hard enfin, je trouve...

Oui, tu as raison, mais mes autres références parfois plus abordables sont peu connues et même souvent épuisées (cette bonne vieille maison d'édition Mir ).

Merci pour la référence plus adéquate.