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FAQ(3) : Analyse dimensionnelle (lycée / premier cycle)

  1. obi76

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    FAQ(3) : Analyse dimensionnelle (lycée / premier cycle)

    L'analyse dimensionnelle


    L'analyse dimensionnelle (notée AD pour les intimes) est une méthode de plus en plus enseignée. Elle comporte un certain côté pratique, mais son utilisation ne peut/doit pas se faire sans un minimum de précautions. Précautions qui sont parfois éludées mais qui sont indispensables.

    Que peut-on faire et ne pas faire, et dans quels cas utiliser cette méthode ?
    1. Tout d'abord, une chose fondamentale à savoir, c'est que l' AD permet de trouver un certain type d'erreur dans les équations, mais ne permet en aucun cas de certifier que cette équation est juste. Une équation qui satisfait les dimensions ne satisfait pas nécessairement tous les critères nécessaires à la considérer comme juste. En résumé : si l'AD "marche" sur une équation, on ne peut pas dire qu'elle est bonne, mais si l'AD ne marche pas, on peut affirmer avec certitude qu'elle est fausse.
    2. De plus en plus d'exercices sont donnés du type :"par AD, trouvez l'expression de telle force, ou telle énergie, etc.". Ceci n'est tout simplement pas possible, et-ce pour plusieurs raisons.
      • En premier lieu, l'AD part du principe que la loi peut s'exprimer sour la forme d'un produit de paramètres portés à des puissances à déterminer. Toute loi qui ne s'exprime pas de cette manière ne peut être retrouvée avec cette méthode (si elle possède une addition, une soustraction etc.). Il est difficile de pouvoir justifier du fait que l'équation recherchée ne peut s'écrire que de cette manière.
      • Il faut connaître tous les paramètres à prendre en compte. Cela ne peut se faire qu'"intuitivement". Cela requiert une certaine expérience, et n'est pas forcément évident. En effet, dire par exemple que l'accélération centripète dépende de la vitesse de l'objet et du rayon de courbure de sa trajectoire peut paraître évident, mais dire que cette accélération ne dépende QUE de ces paramètres, c'est difficilement justifiable. Dans cet exemple, trouver la formulation de cette accélération fonctionne.
      • Un autre soucis assez fréquent, c'est le nombre de paramètres qui peuvent intervenir. Par exemple, dans le cas de la traînée d'une bille dans un fluide, un modèle simple possède 5 paramètres (masse volumique de la bille, celle du fluide, viscosité du fluide, rayon de la bille et vitesse de la bille). Une AD sur ce problème vous donnera une infinité de solutions (5 inconnues pour 3 équations). Une autre raison pour laquelle l'AD ne marche pas dans ce cas est exposé dans le point suivant.
      • L'AD permet de trouver une formulation, aux coefficients sans dimensions près. Exemple très simple, pour trouver la circonférence d'un cercle, l'AD vous dirai "ça ne dépend que de son rayon, dans ce cas le périmètre est égal au rayon". Le coefficient sans dimension est indéterminable avec cette manière (tout comme la traînée d'une bille, l'énergie cinétique etc.). Si "par chance" ce(s) coefficient(s) sont unitaires, alors l'AD fonctionne pour trouver la loi.
      • L'AD ne permet pas de trouver, dans les équations, des termes adimensionnés, même si ceux-ci sont parmi les paramètres à prendre en compte (, , etc.). De ce fait, une grand nombre d'équations ne peuvent être retrouvées de cette manière (relaxation de tension dans un circuit RC, loi d'Arrhénius ...).
      • L'AD a un intérêt cependant, celui de montrer que les fonctions non linéaires en physique (comme sin, log, exp, W etc.) ne doivent contenir que des termes adimensionnés (un développement de Taylor de ces fonctions vous le montrera immédiatement).

    En résumé, l'AD permet de trouver des erreurs dans les équations, mais ne permet que très rarement de "trouver" une loi, et même si ça arrive, on ne peut prouver de cette manière que cette loi est juste.

    -----

    Dernière modification par obi76 ; 24/09/2012 à 18h28.
    L'ouverture d'esprit ne se limite pas toujours à une fracture du crâne...
     


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  2. obi76

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    Re : FAQ (2) : mouvement perpétuel, vitesse de la lumière etc

    J'ai ré-ouvert si vous voulez faire des commentaires
    L'ouverture d'esprit ne se limite pas toujours à une fracture du crâne...
     

  3. stefjm

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    Re : FAQ (2) : mouvement perpétuel, vitesse de la lumière etc

    Bonjour,
    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    L'analyse dimensionnelle (notée AD par la suite) est une méthode de plus en plus enseignée.
    Il y a des hauts et des bas pour la popularité de cette méthode au cours des âges.
    Avant 1687, le raisonnement d'échelle était déjà à la mode avec Marin Mersenne.
    http://fr.wikibooks.org/wiki/M%C3%A9...pes_avant_1687

    http://www.cartesius.net/tesi/massim...avini_tesi.pdf
    page 271. principe dimensionnel, homogénéïté.

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Marin_Mersenne

    Au début du 20ième siècle, c'était visiblement passé de mode vu le nombre de relation qui ont été "loupée" à l'époque.

    Si aujourd'hui ce type de raisonnement revient en grâce, cela ne peut être que bon pour le sens physique. (C'est toujours plus facile de dénigrer l'AD, plutôt que de chercher à expliquer pourquoi cela marche. Merci à Obi pour l'effort.)

    Il faudrait aussi que Rincevent nous donne la version moderne...
    Citation Envoyé par obi76 Voir le message

      • En premier lieu, l'AD part du principe que la loi peut s'exprimer sour la forme d'un produit de paramètres portés à des puissances à déterminer. Toute loi qui ne s'exprime pas de cette manière ne peut être retrouvée avec cette méthode (si elle possède une addition, une soustraction etc.).
    On peut généraliser à une combinaison linéaire de ce type de produit si on a trop de paramètres.
    Voir ma proposition et celle de gatsu.

    Analyse dimensionnelle étendue

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message

    L'AD permet de trouver une formulation, aux coefficients sans dimensions près. Exemple très simple, pour trouver la circonférence d'un cercle, l'AD vous dirai "ça ne dépend que de son rayon, dans ce cas le périmètre est égal au rayon". Le coefficient sans dimension est indéterminable avec cette manière (tout comme la traînée d'une bille, l'énergie cinétique etc.). Si "par chance" ce(s) coefficient(s) sont unitaires, alors l'AD fonctionne pour trouver la loi.
    Pour le coté unitaire des coefficients, on m'avait fait remarquer de façon très méchante que la méthode faisant intervenir des unités humaines arbitraires, c'était normal de trouver des coefficients valant 1 car l'humain cherche à se simplifier la vie.
    Je n'ai jamais trouvé d'étude montrant ce caractère anthropique de ces coefficients.

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message

    En résumé, l'AD permet de trouver des erreurs dans les équations, mais ne permet que très rarement de "trouver" une loi, et même si ça arrive, on ne peut prouver de cette manière que cette loi est juste.
    C'est pareil qu'en physique! (comme signalé gentiment par Amanuensis pour ta remarque des ailes trop courtes! Analyse Dimensionnelle Force centrifuge)
    La physique ne "trouve" jamais de loi sans faire d'expérience.
    Il n'y a pas de raison d'exiger de l'AD ce qu'on n'exige pas de la physique en général!
    Le coefficient sans dimension peut être obtenu grâce à l'expérience ou à d'autres considérations.

    Cordialement.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
     

  4. obi76

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    Re : FAQ (2) : mouvement perpétuel, vitesse de la lumière etc

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    La physique ne "trouve" jamais de loi sans faire d'expérience.
    Certes, mais on peut toujours trouver l'accélération centrifuge par exemple de manière géométrique et beaucoup plus rigoureusement qu'en bidouillant des grandeurs.

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Il n'y a pas de raison d'exiger de l'AD ce qu'on n'exige pas de la physique en général!
    Tout à fait, le problème est que certains profs ont tendance à oublier ce détail...

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Le coefficient sans dimension peut être obtenu grâce à l'expérience ou à d'autres considérations.
    Peut, mais pas forcément. Par exemple la 3° loi de Kepler peut se trouver en utilisant des notions "basique", coefficient compris. L'AD ne le permettra pas.
    L'ouverture d'esprit ne se limite pas toujours à une fracture du crâne...
     

  5. Deedee81

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    Re : FAQ (2) : mouvement perpétuel, vitesse de la lumière etc

    Salut,

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    Peut, mais pas forcément. Par exemple la 3° loi de Kepler peut se trouver en utilisant des notions "basique", coefficient compris. L'AD ne le permettra pas.
    Stefjm ne parlait pas de l'AD là justement mais de l'expérience ou d'autres considérations. En fait, vous être d'accord
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     


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  6. obi76

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    Re : FAQ (2) : mouvement perpétuel, vitesse de la lumière etc

    J'ai scindé la FAQ sur l'analyse dimensionnelle de l'autre.

    Pour la modération,
    L'ouverture d'esprit ne se limite pas toujours à une fracture du crâne...
     

  7. kalish

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    Re : FAQ(3) : Analyse dimensionnelle

    L'histoire de l'accélération centrifuge est intéressante (même si c'est accélération centripète et éventuellement force centrifuge dans un référentiel tournant, l'accélération "centrifuge" n'étant que l'inertie, mais bon). On démontre tout de même que ce qu'on a appelé accélération cad l'objet qui est la dérivée seconde du vecteur position par rapport au paramètre décrivant la courbe que suit la position, s'exprime en fonction d'autres grandeurs déjà définis (vecteur vitesse, Rayon de courbure). Est-ce qu'on n'a pas démontré quelque chose?
    j'aspire à l'intimité.
     

  8. obi76

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    Re : FAQ(3) : Analyse dimensionnelle

    Citation Envoyé par kalish Voir le message
    L'histoire de l'accélération centrifuge est intéressante (même si c'est accélération centripète et éventuellement force centrifuge dans un référentiel tournant, l'accélération "centrifuge" n'étant que l'inertie, mais bon).
    j'ai corrigé

    Citation Envoyé par kalish Voir le message
    On démontre tout de même que ce qu'on a appelé accélération cad l'objet qui est la dérivée seconde du vecteur position par rapport au paramètre décrivant la courbe que suit la position, s'exprime en fonction d'autres grandeurs déjà définis (vecteur vitesse, Rayon de courbure). Est-ce qu'on n'a pas démontré quelque chose?
    Je ne vois pas très bien où tu veux en venir, en résolvant géométriquement c'est trivial...
    L'ouverture d'esprit ne se limite pas toujours à une fracture du crâne...
     

  9. kalish

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    Re : FAQ(3) : Analyse dimensionnelle

    C'était en réaction à "on ne démontre rien en physique", quitte à pinailler sur ce qu'on fait, il arrive qu'on démontre certaines propriétés des objets qu'on a définit dans un cadre lui aussi définit. Ca reste une démonstration... maths ou physique alors? Dans ce cas là on a un bel exemple, l'accélération, c'est physique. la dérivation, c'est mathématique, comme on ne fait pas que de bêtes égalités, on est bien obligé de démontrer des choses.
    j'aspire à l'intimité.
     

  10. stefjm

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    avril 2008
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    Zut! C'est pas homogène! Ben t'as qu'à mélanger...
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    Re : FAQ (2) : mouvement perpétuel, vitesse de la lumière etc

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    Certes, mais on peut toujours trouver l'accélération centrifuge par exemple de manière géométrique et beaucoup plus rigoureusement qu'en bidouillant des grandeurs.
    Ton rigoureusement équivaut à une tautologie : dérivée seconde en math = accélération en physique.
    Je pense que c'est ce voulait souligner Kalish.

    Derrière ce que tu appelles bidouilles, il y a certainement moyen de le formaliser proprement.

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    Tout à fait, le problème est que certains profs ont tendance à oublier ce détail...
    Des profs de physique qui oublieraient que la physique n'est pas une science exacte, mais seulement une science expérimentale?
    Je ne puis le croire.


    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    Peut, mais pas forcément. Par exemple la 3° loi de Kepler peut se trouver en utilisant des notions "basique", coefficient compris. L'AD ne le permettra pas.
    Ca dépend du système d'unité.
    S'il est bien choisit, le coefficient vaut 1 par définition, d'où le soucis anthropique dont je parlais.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%...tion#Third_law

    Pour la loi de Kepler, jour sidéral pour les durées et unité astronomique pour les distances.

    T^2/L^3=1
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
     

  11. chwebij

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    janvier 2006
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    Re : FAQ (2) : mouvement perpétuel, vitesse de la lumière etc

    bonjour

    En premier lieu, l'AD part du principe que la loi peut s'exprimer sous la forme d'un produit de paramètres portés à des puissances à déterminer. Toute loi qui ne s'exprime pas de cette manière ne peut être retrouvée avec cette méthode (si elle possède une addition, une soustraction etc.). Il est difficile de pouvoir justifier du fait que l'équation recherchée ne peut s'écrire que de cette manière.
    EN fait il manque une hypothèse pour dire qu'une fonction, dépend de la variable à la puissance. C'est l'hypothèse d'auto-similarité ou d'invariance d'échelle qui ne semble pas avoir été évoqué ici dans ce fil. L'auto-similarité est liée au fait que le rapport de la fonction à l'échelle sur celle à l'échelle ne dépend que du ratio de ces deux échelles



    or la seule fonction possible est avec K une fonction des autres paramètres.

    Le combo analyse dimensionnelle + invariance d'échelle (si tenté qu'on y rajoute des arguments de symétrie) permet de déduire des lois très puissantes vérifiées expérimentalement qui n'ont jamais pu être trouvées autrement que par cette méthode, comme la loi de kolmogorov. L'analyse dimensionnelle a aussi permis l'essor de puissance méthode comme le groupe de renormalisation, qui est sans doute depuis les travaux de Boltzmann, l'une des plus importantes invention en physique statistique.

    Bref j'ai l'impression qu'on fait un mauvais procès à l'analyse dimensionnelle, un peu par mauvaise connaissance de l'outil.
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!
     

  12. LPFR

    Date d'inscription
    mars 2008
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    41 436

    Re : FAQ(3) : Analyse dimensionnelle

    Bonjour chewbij.
    Le problème n'est pas que l'analyse dimensionnelle puisse être utile quelque part dans les stats ou même en physique.
    Le problème est la façon dont elle est présentée eux potaches: comme un moyen de trouver des formules en physique sans faire de la physique et sans besoin de réfléchir: il suffit d'appliquer une recette de cuisine.
    Et là où réside l'escroquerie intellectuelle est que les exemples donnés concernent uniquement les cas où les formules finales sont connues et ont la bonne forme et dont les dépendances sont connues.
    Au niveau des élèves, et même des débutants en physique, l'AD ne doit être présentée que comme un moyen de recherche des erreurs bêbêtes dans les calculs. Et surtout pas comme un moyen d'éviter de réfléchir.
    Cordialement,
    Dernière modification par LPFR ; 25/09/2012 à 08h31.
     

  13. obi76

    Date d'inscription
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    Re : FAQ (2) : mouvement perpétuel, vitesse de la lumière etc

    Salut,

    Citation Envoyé par chwebij Voir le message
    Bref j'ai l'impression qu'on fait un mauvais procès à l'analyse dimensionnelle, un peu par mauvaise connaissance de l'outil.
    je ne fais pas un procès, l'AD je l'utilise aussi et je suis bien conscient de son utilité. Je souligne juste qu'en terminale, et parfois de la manière dont c'est enseigné, elle est mal utilisée. C'est pour ça que j'ai bien mis les hypothèses (et c'est bien là dessus que j'insiste) afin que ceux qui ne connaissent pas aient bien conscience des risques à utiliser aveuglément ce genre de méthode. Pour le reste, je suis d'accord qu'elle a une utilité (la loi en -5/2 j'hésitais à la mettre, mais lorsque tu en arrive à ce stade, je pense que tu as suffisamment appris la physique pour savoir ce que tu fais).
    L'ouverture d'esprit ne se limite pas toujours à une fracture du crâne...
     

  14. stefjm

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    Re : FAQ (2) : mouvement perpétuel, vitesse de la lumière etc

    Citation Envoyé par chwebij Voir le message
    Le combo analyse dimensionnelle + invariance d'échelle (si tenté qu'on y rajoute des arguments de symétrie) permet de déduire des lois très puissantes vérifiées expérimentalement qui n'ont jamais pu être trouvées autrement que par cette méthode, comme la loi de kolmogorov.
    Loi très puissantes qui n'ont jamais pu être trouver autrement que par cette méthode.

    C'est quand même sacrément performant pour des bidouilles de formules...
    Cordialement.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
     

  15. obi76

    Date d'inscription
    mai 2007
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    Re : FAQ (2) : mouvement perpétuel, vitesse de la lumière etc

    Sacrément puissant, c'est un constat, basé sur des nombres adimensionels qu'on connaissait déjà avant...
    L'ouverture d'esprit ne se limite pas toujours à une fracture du crâne...
     


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