Centre de la terre

[Evil.Saien]

Que se passe-t-il si on fait un trou de 3 metres de diametre qui traverserait la terre en passant pile en son centre ? Et que maintenant on fait tomber un objet dedans...
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[invitedbb42293]

La gravité terrestre devrait s'annuler au centre de la terre. Donc ton objet devrait tomber en accélerant jusqu'au centre de la terre, ensuite il sera decceleré, puis retombera vers le centre etc...jusqu'à ce que par frottement avec l'air il finisse par s'immobiliser au centre de la terre.

C'est intuitivement ce que je pense....il faudrait des géologues pour nous dire comment varie la gravité en fonction de la profondeur pour une sphère massique.

[inviteb865367f]

Si la terre est une sphère parfaite alors un objet placé au "centre" sera attiré par la matière dans toute les direction avec la même intensité donc ne subira aucune force.
Comme le trou ne boulverse pas la symétrie c'est ce que tu aurras en théorie.

[Evil.Saien]

Une fois l'objet au centre, immobile. Comme la force est inversement proportionelle au carré de la distance, est-il possible de l'objet éclate ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedbb42293]

Je dirais que la gravitation est forcement inférieure à 9.8 SI quand on s'enfonce dans la terre, donc au centre de la terre aussi...donc ton objet intact à la surface de la terre le sera aussi en son centre.

[Coincoin]

Je tiens à préciser que la force de gravitation variera bien comme l'inverse carré de la distance, mais sera dirigé vers le centre de ton objet... Mais je ne suis pas d'accord avec Vinze: ce qui compte c'est plus les différences de gravité au sein de l'objet que la valeur de la gravité elle-même, et c'est justement au centre que la gravité varie le plus rapidement.

[invitedbb42293]

Ok, mais cette différence de gravité ne peut etre supérieure à 9.8 SI. Donc la pression qu'elle peut induire sera supprotable pour l'objet.
Mais il est vrai que si l'on met du sable à la place de l'objet, il sera eparpillé à cause de ce gradient de gravité.

[invite655ea4bd]

Salut

Je dirais que la gravitation est forcement inférieure à 9.8 SI quand on s'enfonce dans la terre

La force de gravitation est inversement proportionnelle au carré de la distance entre ton objet et le centre de la terre, donc quand tu te rapproches du centre de la terre, ton poids augmente. Il tends vers l'infini quand la distance objet-centre de la terre tend vers 0. ( F = (G.M.M') /(d²) )

[monnoliv]

F = (G.M.M') /(d²) )

Pour jean-mi: la formule que tu utilises est bonne lorsque tu te trouves à l'extérieur des deux masses, d étant alors la distance entre deux points (centres de masse) imaginaires représentant les objets de masse M et M'.
Dans ce cas ci, on ne peut l'appliquer puisque la masse de la terre se trouve autour de l'objet qui tombe.
L'objet qui tombe ainsi oscillera en passant à chaque fois par le centre de la terre où il finira par s'arrêter.
Il me semble qu'il y avait un problème similaire mais avec une coque sphérique (terre creuse) et on pouvait démontrer que les oscillations étaient harmoniques.
Bàt,

[invitedbb42293]

Quand on s'enfonce vers le centre de la terre, il y a une force gravitationnelle (poids) qui s'exerce sur l'objet F = (G.M.M') /(d²). Cette force est un vecteur. Pour la calculer il faudrait faire un intégrale des dF(x)=G.dM.M(objet)/ x^2, sur tout le volume de la terre.
Avis aux calculateur!

[inviteb865367f]

Heu quand on est au centre il y'a la matière autour qui attire l'objet, masi au centre il n'y a rien du tout.

Quand on descend sous terre il y a l'influence de ce qu'il y a en dessous qui diminue plus on s'enfonce..

[monnoliv]

Oups, il faut lire dans mon post plus haut: ... (centre de gravité) ... au lieu de ... (centre de masse)...
Désolé

[invite0234c510]

A mon avis au centre de la terre on est en "apesanteur". jean-mi fait l'erreur de considérer la terre comme un objet ponctuel avec une masse énorme. Il faut laisser tomber ce model et passer au calcul intégral. Pas besoin non plus de faire le calcul il suffit de faire des considérations de symétries et de remarquer qu'au centre toutes les actions s'annulent par symétrie centrale !

Je ne vois pas non plus de raison pour que la "gravité" change infiniment vite au centre et "écartèle" ainsi l'objet ou l'individu qui s'y trouverait, sauf si l'objet à une dimension très très grande avec une masse très faible (sa propre masse ne compenserait pas l'attraction de la terre).

[invitedbb42293]

Oui, le calcul intégral est utile si l'on cherche la valeur de l'accélération en fonction de la profondeur. Par symétrie au centre elle sera 0.

[Coincoin]

Pas la peine non plus de se lancer dans le calcul de cette méchante intégrale... Le théorème de Gauss version gravité (et nons pas la version électromagnétique originale) permet de dire que si tu es dans la Terre à une distance d du noyau, tout se passe comme si il n'y avait que la sphère de rayon d, les participations du reste de la Terre se compensant. Et donc on en déduit entre autrequ'effectivement au centre de la Terre, tout s'annule.

[invitedbb42293]

J'ai trouvé deux, trois info pour ceux que ca interessent.
-pour un objet à l'EXTERIEUR d'une boule de masse M, la force gravitationnelle exercée sur lui est equivalente à celle émanant d'un point de masse M
-pour un objet à l'INTERIEUR d'une boule CREUSE, de masse M, la force gravitationnelle exercée sur lui est nulle.
C'est deux effets entre en jeu pour le calcul de la pesanteur en fonction de la profondeur.
Quand on se rapproche du centre, le volume et donc la masse de la terre participant à la gravité varie en r^3, alors que la distance en r^2.
L'un étant au numérateur et l'autre au dénominateur....la force de pesanteur varie en r et donc diminue en se reprochant du centre.

[monnoliv]

Ouaip, j'ai un vague souvenir que ça se passe effectivement comme ça.
Bon, si ça intéresse quelqu'un, on peut s'amuser à calculer l'affaire formellement...
A+

[Patzewiz]

Bonsoir,
L'utilisation du théorème de Gauss suggéré par Coincoin est bien ce qui me semble le plus simple pour un problème à symétrie sphérique. En supposant que la masse volumique ro de la Terre est constante on a:
g(d)=G. ro 4/3 pi d^3/ d^2, soit G ro 4/3 pi d.

ro est en fait loin d'être constante, les roches alumino-silicatés de la croute terrestre ont une masse volumique voisine de 3g/cm^3 tandis que le noyau doit plûtot être autour de 10g/cm^3.
Ca ne change pas grand chose au problème qui nouus intéresse.

Le problème de la résistance de l'objet dépendra lui du gradient de gravité dans les zones considérés et de la nature des interactions qui assurent la cohésion de l'objet. En général, il s'agit de force d'origine électrique (liaison chimique) devant lesquelles la gravitation terrestre est en général négligeable. Avec l'hypothèse ro constante, on notera au passage que le gradient serait constant (G ro 4/3 pi): la contrainte ne dépendrait alors pas de la position de l'objet. L'objet serait en revanche vraisemblablement détruit par ses frottements dans l'air car il doit atteindre une vitesse supersonique dés les premiers kilomètres de chute.

[inviteb865367f]

Ouaip, j'ai un vague souvenir que ça se passe effectivement comme ça.
Bon, si ça intéresse quelqu'un, on peut s'amuser à calculer l'affaire formellement...
A+

Ca revient à redémontrer le th de Gauss, pas grand interet sauf si on ne l'a jamais vu.

Je me rapelle avoir eu le même eo à faire faire à des terminales, seulement on calculait la gravité à la surface d'une sphère dont le rayon diminuait.