Pression au centre de la terre

[Josquin]

Coucou. Comment calculer la pression au centre de la terre ? Même en supposant pour simplifier que la masse volumique ro est constante, j'y arrive pas ! En effet, le fameux dP = ro*g*dz ne s'applique pas, car à l'échelle de la terre, on n'a pas des surfaces équipotentielles de pesanteur planes, mais sphériques. En fait j'arrive même pas à le modéliser... Quelqu'un saurait faire ca ? Merci !
Josquin

[Marie110575]

Tu as quand même un problème à une dimension. Cette fois-ci la variable est r (ou u), distance au centre de la terre.

[Chup]

Bonjour,
Si on considère un modèle "liquide", il suffit d'écrire l'équilibre hydrostatique :

avec (théorème de Gauss)

ce qui donne la pression au centre :

où est la pression athmosphérique
Pour un solide, on trouve

où est le coefficient de Poisson,
ce qui donne la même chose dans le cas incompressible.

[Josquin]

Bonjour,
Si on considère un modèle "liquide", il suffit d'écrire l'équilibre hydrostatique :

avec (théorème de Gauss)

ce qui donne la pression au centre :

où est la pression athmosphérique
Pour un solide, on trouve

où est le coefficient de Poisson,
ce qui donne la même chose dans le cas incompressible.

Merci pour cette réponse.
Pour moi, l'expression n'est pas valable dans ce cas. En effet, elle est établie pour des surfaces planes, avec dirigé vers le bas. Ici, on a des sphères concentriques. Les sont orientés de façon différente selon le point que l'on considère. Quand on intègre ta relation entre deux rayons, on oublie qu'on travaille en concentrique et on fait comme si on avait au dessus de la surface considérée une colonne cylindrique de fluide, alors qu'on a en fait un cône... je sais pas si je suis clair...? Voilà, c'est vrai que c'est à cette solution que j'aurais pensé instinctivement, mais elle ne me satisfait pas...

Josquin

[Coincoin]

Salut,
L'expression grad P = rho g est générale et marche avec toutes les géométries (plane, sphérique, patatoïdale, ...). C'est un simple bilan de forces.

[arrial]

Salut,
L'expression grad P = rho g est générale et marche avec toutes les géométries (plane, sphérique, patatoïdale, ...). C'est un simple bilan de forces.

▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ ▬▬▬

Le problème est que g varie avec la distance au barycentre, plus communément appelée "rayon" ‼



Masse Volumique Moyenne: ρ = 5515 kg/m³


si z ≤ 0, ⇒ g(z) = go.(1+z/R)
r = R+z, ⇒ g(r) = go.r/R


dp = ρ.g(r).dr

p = (ρ.go/R)∫r.dr pour r variant de 0 à R
p = ρ.go.R/2 (+ accessoirement la pression en surface)



Rayon moyen terrestre : R = 6371,03 km

▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
► p = 5515*9,81*6371,03E3/2 = 173 GPa ◄
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬




Le problème est que la "littérature" nous donne 360 ou 380 GPa ‼


♦ CONSOLATION : nous ne sommes pas seuls [sur Terre]…
▼http://www-lgit.obs.ujf-grenoble.fr/...Structure.html
Accélération de la pesanteur et pression
g(r) = M(r) * G / r2
g0 = g(r=0) = M(Terre) * G / R2
Pour une Terre homogène :
g(r) = g0 * r/R
Dans la Terre, g0 = 9.8 m/s2
Pression :
P(r) = Intégrale entre u=R et r de rho(u) * g(u) du
Pour une Terre homogène :
P(r) = 1/2 * rho * g0 * (R2 - r2)/R
Exercice : calculer la pression au centre de la Terre en prenant rho=rhobar. (solution : P(r=0)=170 GPa).
En réalité, la pression atteint 360 GPa au centre de la Terre.

►► PROCHAINE QUESTION : D'OÙ VIENT CE FACTEUR VOISIN DE DEUX ????


*

[invité576543]

PROCHAINE QUESTION : D'OÙ VIENT CE FACTEUR VOISIN DE DEUX ?

De l'erreur faite lors de l'hypothèse "terre homogène".

Proposition: refaire le calcul avec deux zones, une de 3500 km de rayon et de masse volumique 11, le reste de masse volumique 4.45 (un modèle approximatif, mais moins que "terre homogène")

Cordialement,

[arrial]

J'ai, bien sûr, déjà envisagé ce qui me paraissait mathématiquement 'LA' solution : l'essentiel de la densité près de la surface, ce qui, du fait de la pondération avec g(r), augmentait la pression au centre.
Je n'ai pas jugé utile de poursuivre, pour deux raisons :

► l'hypothèse communément admise d'un noyau lourd Ni-Fe au centre
► l'expérience commune qui fait que les substances se stratifient naturellement avec les densité décroissantes vers le dessus.

Il me semblerait d'abord utile d'avoir
► une justification d'une éventuelle exception à la règle [Archimède toujours valable localement, donc par extension …]
► des références bibliographiques, car le questionnement ne peut pas être tout neuf ‼


@+

[LPFR]

Bonjour.
Je pense que vous avez mal lu le message de Michel. D'autant plus que, je peux vous assurer, il connaît le principe d'Archimède nettement mieux que vous.
Michel à dit que les premiers 3500 km du rayon sont a haute densité. Et Michel, comme la plupart de personnes censées, mesure le rayon à partir du centre et non à partir de la surface.

Et, rassurez-vous. Michel vaut une référence bibliographique.

Au revoir.

[invité576543]

C'est assez amusant que les 3500 km soient pris dans le "mauvais sens", tout en donnant les arguments permettant de choisir le "bon sens" en cas d'ambiguïté

Et le calcul de la masse volumique moyenne donnant 10.4 en mettant 3500 km à 11 à l'extérieur aurait montré une belle incohérence, s'il avait été fait...

Cordialement,

[arrial]

Bonjour.
Je pense que vous avez mal lu le message de Michel. D'autant plus que, je peux vous assurer, il connaît le principe d'Archimède nettement mieux que vous.
Michel à dit que les premiers 3500 km du rayon sont a haute densité. Et Michel, comme la plupart de personnes censées, mesure le rayon à partir du centre et non à partir de la surface.

Et, rassurez-vous. Michel vaut une référence bibliographique.

Au revoir.

▬▬▬
Et pourquoi il connaitrait nettement mieux le Théorème d'Archimède que moi, Michel, STP ? c'est toi, l'affreux du forum, qui veut faire peur aux "petits nouveaux", ou, limite, les insulter ? Mais si tu as des explications scientifique, je suis aussi à ton écoute …




Alors, pardon de m'excuser d'insister :












▬▬▬

♦ Modèle de la sphère de rayon R, sans interactions avec l’extérieur
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ ▬▬

p = ∫ρ(r).g(r).dr, intégrale prise entre [0 et l’ ∞[, mais réductible à [0, R], puisque la contibution de ]R à l’ ∞[ se réduit à la pression de la fine couche atmosphérique, p○ ≈ 0,1Mpa.

♦ Modèle hydrostatique de la sphère homogène incompressible
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ ▬▬▬▬▬
Masse Volumique Moyenne: ρ = 5515 kg/m³
Rayon moyen terrestre : R = 6371,03 km

Du fait de l'égalité F = m(GM/r²) = mg, on tire
•► Si z ≥ 0, l'altitude donc positive
g = GM/r² = [GM/R²]*[1/(1+z/R)]² = go/(1+z/R)²
M = masse terrestre
R = rayon terrestre moyen dans l'approximation sphérique
go = pesanteur de surface
•► Si z ≤ 0, profondeur, donc cote négative
En vertu du théorème de Gauss, seule apparait dans l'expression du champ gravitationnel développé, la contribution de la masse de cote inférieure ou égale à z, soit la masse
M' = M.[4π(R+z)³/3]/[4πR³/3] = M.(1+z/R)³ ≤ M (z étant négatif)
►► si z ≥ 0, ⇒ go/(1+z/R)² ◄◄
►► si z ≤ 0, ⇒ go.(1+z/R) ◄◄


Donc, en considérant que le rayon r = R+z,

▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
►►► si z ≤ 0, ⇒ go.r/R ◄◄◄
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
p = (ρ.go/R)∫r.dr pour r variant de 0 à R
p = ρ.go.R/2

▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
► p = 5515*9,81*6371,03E3/2 = 172,3 GPa ◄
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

La littérature donnant plus communément une valeur de 380 Gpa, il y a manifestement problème.


Trois explications :
▬▬▬▬▬▬▬▬▬
•1► le modèle hydrostatique n’est pas homogène
•2► il existe un tenseur de contrainte ‘compliqué’
•3► ???


Cas •1► : il faut, pour que ça marche, que la densité soit maximum là où ρ(r) est maximum, [la somme des ρ(r) est pondérée par g(r) décroissant avec la profondeur], soit près de la surface, ce qui viole allègrement Archimède et sa montgolfière …
→ un peu de bibliographie ne serait pas superflu.
http://www.ac-grenoble.fr/xmallet/ar...?id_article=86


-z :
[0, 110[ km ► d ~3
[110, 2885[ km ► d ~ 3,3 → 5,5
[2885 , 5155[ km ► d ~ 9,5 → 11,5
[5155, R] km → d ~ 12

Donc, la densité augmente bien avec la profondeur.

[remarquons que dans cet article, la profondeur est bien exprimée par rapport à la surface]

Cela tend à prouver que le modèle hydrostatique n’est pas viable, et que donc,
•2►il existe un tenseur de contrainte ‘compliqué’ ‼




Si quelqu’un peut me trouver une bibliographie valable ???











Mais je revendique, moi, le droit sacré à l'erreur, et je ne demande qu'à apprendre des maîtres …

[LPFR]

Et pourquoi il connaitrait nettement mieux le Théorème d'Archimède que moi, Michel, STP ?

Re.
Parce que Michel est un physicien.
Et s'il participe à ce forum, c'est, comme moi, pour rendre service aux autres et non pour trouver des réponses à des exercices de débutant.

Mais vu votre attitude, désormais, pour moi, vous vous débrouillerez tout seul.
Adieu.

[arrial]

Re.
Parce que Michel est un physicien.
Et s'il participe à ce forum, c'est, comme moi, pour rendre service aux autres et non pour trouver des réponses à des exercices de débutant.

Mais vu votre attitude, désormais, pour moi, vous vous débrouillerez tout seul.
Adieu.

Pas de souci, puisque tu n'as rien apporté.
(sinon des precisions de vocabulaire).


Pour revenir au problème pour débutants :

Il faut, bien entendu, recalculer g(r) qui n'est plus linéaire. Si j'avais plus de données, je pourrais établir les régressions, linéaire au centre, puis polynomiales plus haut.

Il me manque simplement des données bibliographique, quoique que j'aie encore des doutes. La pesanteur est forcément nulle au centre, et, avec un noyau Ni-Fe au centre, doit débuter par une croissance linéaire. La contribution des couches superficielles pèse donc "lourd".




Mais je pense que Michel est Don Quichotte et toi Sancho Panza.
Michel pourrait bien m'aider, mais, si ça ne le fait pas, je suppose que vous n'êtes pas les seuls intervenants …




@+

[pepejy]

Pas de souci, puisque tu n'as rien apporté.
(sinon des precisions de vocabulaire).


Pour revenir au problème pour débutants :

Il faut, bien entendu, recalculer g(r) qui n'est plus linéaire. Si j'avais plus de données, je pourrais établir les régressions, linéaire au centre, puis polynomiales plus haut.

Il me manque simplement des données bibliographique, quoique que j'aie encore des doutes. La pesanteur est forcément nulle au centre, et, avec un noyau Ni-Fe au centre, doit débuter par une croissance linéaire. La contribution des couches superficielles pèse donc "lourd".




Mais je pense que Michel est Don Quichotte et toi Sancho Panza.
Michel pourrait bien m'aider, mais, si ça ne le fait pas, je suppose que vous n'êtes pas les seuls intervenants …




@+

bonsoir,

vu votre comportement je ne pense pas qu'il y aura beaucoup de monde pour vous répondre. un modèle vous a été proposé par Michel, libre à vous de l'utiliser ou non. Vous pouvez proposer et exprimer votre propre modèle.

[physikaddict]

Libre à vous de croire que Michel est le 1er venu.

je ne demande qu'à apprendre des maîtres …

Il y a déjà au moins deux physiciens qui sont venus vous proposer leur aide..... Essayez de mieux acceueillir les prochains

Cordialement,