Une question de base en physique quantique

[Oss118]

Sqlut à tous !
Hier j'ai fait un exercice de mathématiques qui n'avait rien à voir avec la physique a priori et qui disait la chose suivante.

Prouver que si E est un espace normé alors il n'existe pas d’opérateurs continus a et b sur E tels que [a,b]=xId; pour tout complexe x.

Je me suis d'abord dit que l’énonce était faux puisqu'en physique quantique on manipule les opérateurs p et x dont la relation de commutation est précisément celle ci. Du coup je suis allé voir la correction et je n'y ai pas trouvé d'erreur.

Je suis en plein flou conceptuel et j'aimerai bien qu'on m'aide à le dissiper !
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[albanxiii]

Bonjour,

Vous avez du utiliser le fait que l'espace est de dimension finie pour démontrer ce résultat, non ?

@+

[Oss118]

Merci de votre réponse.

Non c'est bien le problème : le résultat est vrai pour tout espace normé de dimension finie ou non. Je peux reproduire la correction ici si vous le désirez.

[albanxiii]

Re,

Pas besoin de reproduire la correction (pour le moment ).
Que pensez-vous de : http://physics.stackexchange.com/que...n-relation-ccr
Vos opérateurs sont-ils hermitiques ?

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Oss118]

J'en pense qu'il y a une contradiction entre mon exercice et ce qui est énoncé sur cette page, non ? Mais laquelle, je ne vois pas.

[Oss118]

Vos opérateurs sont-ils hermitiques ?

Je n'avais pas vu ça.
Ils sont quelconques, donc on peut les prendre hermitiques logiquement.

[Oss118]

J'ai peut être trouvé un début de réponse ici
http://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E...tion_relations
Apparemment ils semblent dire que la relation de commutation est plus compliquée qu'il n'y parait, et ça n'est pas simplement ab=ba, mais cela fait intervenir des exponentielles.
Je n'avais jamais vu cela et j'avais toujours vu que la commutation voulait dire ab=ba.
Quelqu'un peut m'expliquer ?

[Amanuensis]

Prouver que si E est un espace normé alors il n'existe pas d’opérateurs continus a et b sur E tels que [a,b]=xId; pour tout complexe x.

Peut-être est-ce la condition "bornés" qui manque.

Le Wiki que vous citez indique "any two self-adjoint operators satisfying the above commutation relation cannot be both bounded"

[Oss118]

En fait borné ou continu pour un opérateur veut dire la même chose.
Donc le wiki mentionne exactement la même chose que mon exercice.
Il n'existe pas d’opérateurs continus sur un espace normé satisfaisant [a,b]=xId.

Est ce que ça veut tout simplement dire que les opérateurs en physique quantique ne seraient pas continus ? Je ne sais pas, je n'avais pas envisagé cette hypothèse.

[Amanuensis]

x et p ne sont pas bornés, si?

[albanxiii]

Re-bonjour,

Déjà, j'ai lu qu'il y a des différences entre les opérateurs hermitiques et les opérateurs auto-adjoints (sur physics.stackexchange.com... mais je n'ai pas recherché les discussions ce soir... cela dit, ça ne devrait pas vous prendre longtemps).

Sinon, j'ai retrouvé cet article http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069 Regardez l'exemple 1 et sa discussion dans l'annexe A. Et si vous avez le courage, je pense qu'il peut être intéressant de tout lire.

@+

[Oss118]

x et p ne sont pas bornés, si?

Je ne sais pas, j'avais dans l'idée qu'ils étaient continus. J'ai voulu faire le calcul, mais je ne sais pas quelle norme utiliser.

[Oss118]

Re-bonjour,

Déjà, j'ai lu qu'il y a des différences entre les opérateurs hermitiques et les opérateurs auto-adjoints (sur physics.stackexchange.com... mais je n'ai pas recherché les discussions ce soir... cela dit, ça ne devrait pas vous prendre longtemps).

Sinon, j'ai retrouvé cet article http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907069 Regardez l'exemple 1 et sa discussion dans l'annexe A. Et si vous avez le courage, je pense qu'il peut être intéressant de tout lire.

@+

Oui, j'avais lu cela ici aussi, je ne sais plus où.
Je vais jeter un oeil à votre article, merci beaucoup.

[Amanuensis]

Je ne sais pas, j'avais dans l'idée qu'ils étaient continus. J'ai voulu faire le calcul, mais je ne sais pas quelle norme utiliser.

Si je prends les fonctions fn(x) = 1/2n x indicatrice [-n, n], elles sont de normes L2 1, mais les fonctions xfn(x) sont de norme L2 carré (1/4n²) 2/3 n^3, ce qui diverge. L'opérateur x n'est pas borné.

Me trompe-je?

[invite54165721]

A vu de nez l'operateur d/dx n'est pas borné sinon il existerait M tel que pour tout f
|f'| < M |f|
il vaudrait mieux poster en math

[invite54165721]

Si un operateur A est borné il existe M > 0 tel que pour tout f ||Af|| <= M ||f||
si f est un vecteur propre normé à 1 de A (Af = af)
çà implique que |a| <= M
l'ensemble des valeurs propres est borné.
ce qui n'est pas le cas pour les operateurs position et impulsion qui ne sont donc ni bornés ni continus.
J'espère ne pas m'etre planté.
j'aimerais voir le corrigé de l'exercice

[0577]

Bonsoir,

je ne fais qu'appuyer les conclusions essentiellement correctes auxquelles sont parvenues les messages
précédents :
1) pour un opérateur linéaire d'un espace vectoriel normé, être continu et être borné sont des conditions équivalentes
2) le résultat de l'exercice est correct
3) pour savoir si les opérateurs de multiplication par x et de dérivation sont continus ou pas, il faudrait commencer par les définir...
Si on prend comme espace vectoriel normé L²(R), alors ces opérateurs ne sont pas définis partout (si f est L², xf n'est pas forcément L²
et f n'est pas forcément dérivable). Ces deux opérateurs sont biens définis sur un espace vectoriel normé plus petit que L² : l'espace de Sobolev
H^1 et sur cet espace, ils ne sont pas continus (pas de contradiction avec l'exercice).

On peut trouver facilement sur internet un texte de Yves Laszlo intitulé "Oscillateurs harmoniques et représentations du groupe de Heisenberg"
qui discute ces questions (et donne une solution de l'exercice).

Je ne pense pas qu'un physicien "ordinaire" se préoccupe de ces questions, il faut juste savoir que ces subtilités existent.
En mathématiques, il existe une théorie des opérateurs non-bornés qui a été inventée par von Neumann dans les années 1930
justement pour les besoins de la mécanique quantique (ce n'est pas une question neuve...)

[ThM55]

Bonsoir. En fait tous les cours de base de mécanique quantique sont erronés du point de vue mathématique. C'est vrai qu'on peut faire de la physique quantique en ignorant ces questions, et qu'on a parfois avantage à utiliser une approche moins rigoureuse mais plus efficace. Mais il faut se souvenir que dans certains cas des manipulations insouciantes des opérateurs peuvent donner des résultats faux, surtout quand on adopte la notation de Dirac et les raisonnement qui vont avec. A ce sujet, j'aime bien l'article suivant de François Gieres: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907070 . Personnellement, je partage son opinion quand il écrit que la maîtrise de ces questions conduit à une compréhension plus profonde de la physique.

[ThM55]

Je m'aperçois maintenant en relisant le fil que ma réponse précédente est un peu hors sujet, et je m'en excuse. Je voulais seulement répondre à la remarque sur les "physiciens ordinaires" dans la réponse de 0577, et pas à la question précise sur les opérateurs x et p. L'article de Gieres n'aborde pas la question de la nature non bornée de ces opérateurs, mais d'autres problèmes de définition mathématique. Je trouve qu'il décrit bien le rôle de la rigueur mathématique, ou de son absence, compensée par la précision des raisonnements physiques.

[invite54165721]

Je vais profiter du passage de quelques matheux.
J'ai lu la définition des opérateurs bornés. Puis je suis tombé sur un article wiki sur les opérateurs non bornés il les définit comme non défini partout (sur un domaine)
Comment cà ressort de la premiere définition?

[ThM55]

La mécanique quantique étant la science des opérateurs non bornés ( ) c'est une question très intéressante pour le physicien aussi! mais c'est quand même une excursion assez loin dans le domaine des maths. Toutefois, il est normal d'être curieux et de vouloir s'informer, même si on finit par conclure que tout cela est un fatras mathématique sans intérêt (mais je continue à recommander l'article de F.Gieres auquel j'ai fait référence). Voilà pour l'avertissement, je vais maintenant essayer d'expliquer ce que je crois avoir compris, car je ne suis pas moi-même mathématicien. J'ai juste fait quelques années de physique mathématique dans ma jeunesse, et il y a des choses qu'on n'oublie pas trop car elles sont frappantes.

Il se fait qu'il est très difficile de construire un opérateur non borné qui soit défini partout sur un espace Hilbert. Pour un opérateur auto-adjoint, c'est même impossible. Je ne sais pas vraiment pourquoi, quelle en est la raison profonde, il faudrait demander à de vrais mathématiciens. Mais je crois que c'est lié à la définition de l'espace de Hilbert (complétude) et au nombre infini de dimensions. Quand on spécifie un opérateur, on doit spécifier à chaque fois son domaine. On donne donc une paire (A,D), où D est le domaine de A, en général un sous-espace de l'espace de Hilbert.

Pour se rapprocher de la physique quantique, on peut prendre l'exemple simple des systèmes à une dimension: une particule sur la droite. L'espace de Hilbert à considérer est L2(R). C'est l'espace des fonctions de carré intégrable à valeurs complexes. En réalité c'est l'espace des classes d'équivalence de telles fonctions, càd les classes de représentants qui coïncident presque partout, et on travaille avec l'intégrale de Lebesgue. C'est important de le dire car l'espace de Hilbert doit être complet, et cela ne marcherait pas avec l'intégrale de Riemann. Il est alors clair que les opérateurs position Q et impulsion P ne sont pas définis partout sur cet espace. En effet, comment définir la multiplication par x d'une classe d'équivalence (forcément pas bien définie en tant que fonction en chaque point), ou sa dérivée (elle peut faire une discontinuité n'importe où). En fait cet espace contient des exemples très pathologiques. On peut par exemple remarquer qu'une fonction de carré intégrable ne tend pas forcément vers zéro à l'infini! Mais on peut trouver un sous-espace de L2 sur lequel Q et P sont bien définis: par exemple un domaine D qui ne contient que les classes qui contiennent un représentant qui est une fonction C-infini à support compact. Dans ce cas Q et P sont bien définis par leur action sur ce représentant!

L'intérêt de cet exemple de domaine D est qu'il est dense dans l'espace L2. Je vous laisse faire la démonstration . c'est pourquoi beaucoup de physiciens qui subissent cette révélation considèrent qu'au fond tout cela est un peu de la théologie, et on est quasiment dans le cas où l'opérateur est défini partout. On peut faire comme si et oublier ces difficultés mathématiques après un ouf de soulagement. Mais les mathématiciens et par extension les "physiciens mathématiciens", tiennent à avoir des définitions et des axiome exempts de contradictions.

[invite54165721]

j'ai regardé dans le wiki anglais: unbounded n'est pas le contraire de bounded!

[azizovsky]

Salut , ce qu'est important ,c'est qu'il y'a toujours un support formalisé des idées physiques ,si l'oprérateur position X n'est pas définit dans L²(?) ,il l'est dans l'espace de schwarts qui'est dense...

[ThM55]

Parfaitement d'accord. Tous les physiciens considèrent que cela suffit: un espace ou un des ses sous-espaces denses, c'est opérationnellement la même chose. Je crois me souvenir que le cours de Messiah expliquait clairement pourquoi il n'approfondit pas ces questions d'analyse fonctionnelle, avec des arguments du même genre. Malheureusement je n'ai plus ce livre, je ne pourrais pas vérifier et retrouver le texte exact.

[azizovsky]

c'est tome 1,formalisme général :cadre mathématique et contenu physique, si je me rappele bien .

[azizovsky]

Bonjour , pour le problème :E normé ==>il n'existe pas d'opérateurs continus ou 'bornés' X et Y telque Z=[X,Y]=a.id ,a appartient à C ,si on suppose qu'il existe Z: Z(psy)=(a.id)psy <=>Z(psy)-a(psy)=0
tu'as 3cas :
spectre discret :d(Z)
spectre continue :c(Z) : //limZ[psy(n)]-a.psy(n)//=0 avec n---->infini
spectyre résiduel r(Z) : a n'appartient pas à d(Z) et a-(conjugé) appartient à d(Z*)adjoint
donc, la négation des trois est les complexes qui n'appartiennent pas à d(Z) U c(Z) U r(Z)
c'est l'ensemble résolvant de Z , je crois il suffit de démontrer que (Z -a.id) admet un inverse continu

[azizovsky]

et si l'ensemble résolvant est vide , c'est qu'il n'est pas de complexe qui vérifie Z=[X,Y]=a.id et pour ça , tu'es obligé d'utiliser que E est normé dans ses 4 possiblités.(il n'existe que ses 4 possiblités pour un opérateur...)

[azizovsky]

salut , désolé , il n'est pas possible que le spectre de Z =[X,Y]=a.id soit vide et l'enseble résolvant aussi , le problème est plus complexe .. .

[Oss118]

Désolé de ma réponse tardive !

Ok, donc nous arrivons tous à la même conclusion les opérateurs x et p ne sont pas continus. Je n'avais jamais fait attention à toutes les subtilités évoquées par 0577 et ThM55, mais effectivement maintenant que vous le dites c'est évident. Vous dites qu'il ne faut pas trop s'en préoccuper ? Je vais lire le pdf de ThM55.

Azizovsky : veux tu une solution de l'exo ?

[azizovsky]

Salut , oui Oss118 , et meci d'avance ,où se trouve le pdf de ThM55?