Théorie de jauge

[MitchMitch01]

Bonsoir,

J'aurais simplement quelques questions à propos de la théorie des jauges (dans le cas quantique). Je suis tombé sur une explication sur un site disant que, si j'ai bien compris, rechercher une invariance de jauge revenait à rechercher une invariance locale des équations d'évolution. Que qualifie donc en ce sens le terme jauge exactement ? Invariance de jauge signifie : invariance par changement de phase locale ?

Ensuite ils disent que le terme ajouté permettant l'invariance faisait apparaître, ou plutôt était, une interaction. A un moment ils font le parallèle avec les connexions comme en RG. Si je comprends bien, ce terme ajouté a le même rôle qu'un symbole de christoffel avec un espace courbe qui atteste d'une variation locale de la métrique, ce qui entraîne des accélérations apparentées à des forces ?


Merci pour vos éventuelles réponses et bonne soirée.
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[invite6754323456711]

Je suis tombé sur une explication sur un site disant que, si j'ai bien compris, rechercher une invariance de jauge revenait à rechercher une invariance locale des équations d'évolution.

Si cela peut vous aider : http://arxiv.org/pdf/1204.4280.pdf

Patrick

[QuarkTop]

Bonsoir,

J'aurais simplement quelques questions à propos de la théorie des jauges (dans le cas quantique). Je suis tombé sur une explication sur un site disant que, si j'ai bien compris, rechercher une invariance de jauge revenait à rechercher une invariance locale des équations d'évolution. Que qualifie donc en ce sens le terme jauge exactement ? Invariance de jauge signifie : invariance par changement de phase locale ?

Bonsoir,
La réponse est dans la question : une invariance de jauge signifie une invariance des équations sous une transformation locale, c'est-à-dire dépendant de l'espace et du temps. Mais l'invariance par changement de phase local n'en est qu'un cas particulier, psi'(x,t)=exp(i phi(x,t)) psi(x,t) . Le déphasage phi dépend de l'espace et du temps donc la transformation est locale. Cette transformation est associée au groupe U(1). Mais il existe des invariances de jauge plus générales, par exemple associées à un groupe SU(N) où l'on mélange différentes composantes d'un vecteur psi_n(x,t) localement. C'est par exemple le cas de l'invariance de jauge de couleur SU(3) sur laquelle est basée la chromodynamique quantique, la théorie de l'interaction forte qui assure la cohésion des noyaux atomiques.

Historiquement, mais je peux me tromper, je crois que le terme de "jauge" vient du fait qu'on avait d'abord essayé une transformation locale qui était une dilatation locale de la métrique,
g'_mn(x,t) = f(x,t) g_mn(x,t)
ce qui pour une raison ou une autre a été considéré comme changer la jauge avec laquelle on mesurait les distances/durées.

Ensuite ils disent que le terme ajouté permettant l'invariance faisait apparaître, ou plutôt était, une interaction. A un moment ils font le parallèle avec les connexions comme en RG. Si je comprends bien, ce terme ajouté a le même rôle qu'un symbole de christoffel avec un espace courbe qui atteste d'une variation locale de la métrique, ce qui entraîne des accélérations apparentées à des forces ?

Pour certains termes l'invariance globale et locale revient au même, par exemple psi*(x,t) x psi(x,t) est invariant sous une rotation de phase globale (indépendante de l'espace-temps) mais aussi locale. le problème se corse quand on introduit des dérivées puisque les termes associés peuvent rester invariants sous des transformations globales mais plus locales. On introduit alors une dérivée dite covariante qui compense la variation "incorrecte". Ainsi pour que (d/dx psi(x,t) )* x (d/dx psi(x,t)) soit localement invariant sous une rotation de phase psi' = exp(i phi(x,t)) psi il faut transformer d/dx en D/dx = d/dx + i A(x,t) et décréter que A'(x,t)= A(x,t) - d/dx phi(x,t). On introduit ainsi un nouveau champ A(x,t), qui à quelques simplifications près se trouve être ici le potentiel du champ électromagnétique, qui va se retrouver "couplé" (en facteur de dans les équations) avec le champ psi(x,t) qui peut par exemple représenter la fonction d'onde d'un électron. C'est l'interaction électromagnétique qui apparaît.

Similairement, apparaît en relativité générale une dérivée covariante qui sert à ce que les équations restent invariantes sous des transformations locales (de coordonnées), et les symboles de Christoffel jouent presque le même rôle que le champ électromagnétique ; on appelle de tels champs des connexions.

[QuarkTop]

Similairement, apparaît en relativité générale une dérivée covariante qui sert à ce que les équations restent invariantes sous des transformations locales (de coordonnées), et les symboles de Christoffel jouent presque le même rôle que le champ électromagnétique ; on appelle de tels champs des connexions.

Plus précisément c'est le potentiel A_mu du champ électromagnétique qui est la connexion. Le champ électromagnétique F_munu est alors, en tant que dérivée de la connexion, la courbure associée à cette connexion.

Mais cette analogie a des limites. En effet en relativité générale linéarisée faisant apparaître le gravitomagnétisme ce sont des coefficients de la métrique, et non leurs dérivées, qui jouent le rôle de potentiel.

Par ailleurs il existe une approche moins courante de la relativité générale où l'on introduit un "champ de repères orthonormés" ou vielbein. Dans cette approche apparaît un objet s'approchant des symboles de Christoffel, mais pas identique, la connexion de spin. C'est la connexion associée à l'invariance de Lorentz locale de ces champs de repères orthonormés. Mais tout ça complique un peu...

[A voir en vidéo sur Futura]

[MitchMitch01]

Merci pour vos réponses et merci pour le pdf je prendrai bien le temps de le lire.

Ok donc ces invariances sont "bricolées" de la même façon qu'une dérivée covariante. Si je comprends bien, on cherche alors à décrire localement la particule comme étant inertielle dans son référentiel et imperturbée ? Ce terme de phase représenterait donc des fluctuations énergétiques externes pouvant modifier l'état de la particule (quantité de mouvement, énergie) ?

Et sans vouloir dire d'énormes c***eries, est-ce le mécanisme de Higgs a été pensé compte tenu du fait qu'il y a toujours un terme d'énergie de masse résiduel dans les équations qui peut être vu comme un terme "correctif" présent à cause d'une interaction ?

Désolé je ne m'y connais pas encore beaucoup en théorie des champs ou quantique relativiste.

[QuarkTop]

Merci pour vos réponses et merci pour le pdf je prendrai bien le temps de le lire.

Ok donc ces invariances sont "bricolées" de la même façon qu'une dérivée covariante. Si je comprends bien, on cherche alors à décrire localement la particule comme étant inertielle dans son référentiel et imperturbée ? Ce terme de phase représenterait donc des fluctuations énergétiques externes pouvant modifier l'état de la particule (quantité de mouvement, énergie) ?

Non : les symboles de Christoffel représentent des forces d'inertie, le champ A_mu(x) représente le quadri-potentiel du champ électromagnétique. Postuler l'invariance sous une rotation de phase locale n'a rien à voir du tout avec le principe d'équivalence : on constate juste que ça fait apparaître naturellement l'interaction électromagnétique.

Et sans vouloir dire d'énormes c***eries, est-ce le mécanisme de Higgs a été pensé compte tenu du fait qu'il y a toujours un terme d'énergie de masse résiduel dans les équations qui peut être vu comme un terme "correctif" présent à cause d'une interaction ?

D'une certaine manière oui : il y a un terme de masse pour les bosons de jauge Z et W, qui normalement violerait l'invariance de jauge, mais en introduisant le champ de Higgs ce terme de masse peut être vu comme venant d'un terme correctif, dans une dérivée covariante, après que le Higgs prend une valeur moyenne non nulle dans le vide (brisure spontanée de symétrie).

[ordage]

Merci pour vos réponses et merci pour le pdf je prendrai bien le temps de le lire.

Ok donc ces invariances sont "bricolées" de la même façon qu'une dérivée covariante..

Salut

Le terme "bricolage" n'est vraiment pas approprié.
Cette invariance de jauge, introduite par H. Weyl vers 1920, au motif qu'il pensait qu'on avait la liberté de définir localement librement un facteur d'échelle dans certaines théories, a un sens profond car cette liberté sous tend une invariance.
Les théories modernes (QFT) s'appuient sur ce formalisme.
Cordialement

[holons]

bonjour
Les symétries de jauge (i.e. de phase) expriment l’invariance des lois physiques par changement d’une phase de la fonction d’onde (en fait de champs en théorie quantique des champs). Elles ont à la fois une origine interne car elles ont attrait à des nombres quantiques internes comme la couleur ou la charge, mais dépendent aussi de l’espace-temps (symétrie de jauge locale).
Ces invariances de phase (inutilement appelée de jauge pour des raisons historiques) sont donc à l’origine de toutes les transformations
a+

[MitchMitch01]

Rebonsoir à tous,

Merci encore pour vos réponses !

Dernières questions (du moins je vais essayer) :

-Holons, quand vous dites "à l'origine de toutes les transformations", que sont en fait ces transformations donc vous parlez ?

-Qu'est-ce qui serait à l'origine d'un changement de phase ?

-Cette "connexion" introduite relie deux champs du même type d'un point à l'autre ? Ou montre le lien entre un champ et un autre ?


Merci à vous !

[mariposa]

bonjour
Les symétries de jauge (i.e. de phase) expriment l’invariance des lois physiques par changement d’une phase de la fonction d’onde (en fait de champs en théorie quantique des champs). Elles ont à la fois une origine interne car elles ont attrait à des nombres quantiques internes comme la couleur ou la charge, mais dépendent aussi de l’espace-temps (symétrie de jauge locale).
Ces invariances de phase (inutilement appelée de jauge pour des raisons historiques) sont donc à l’origine de toutes les transformations
a+

Bonjour,

L,invariance de jauge dont tu parles concerne uniquement l'electromagnetisme cad le groupe U(1)

[mariposa]

Rebonsoir à tous,



-Cette "connexion" introduite relie deux champs du même type d'un point à l'autre ? Ou montre le lien entre un champ et un autre ?


Merci à vous !

C'est excatement Ca. Il s'agit de définir un rapport (une connexion) entre 2 vecteurs appartenant a 2 espaces vectoriels differents (a chaque point il y a attaché un espace vectoriel).

[QuarkTop]

-Qu'est-ce qui serait à l'origine d'un changement de phase ?

Justement, rien d'autre que le physicien sur son papier. Cette symétrie locale U(1) signifie qu'un changement de phase local de tous les champs à proportion de leur charge électrique ne correspond pas à un degré de liberté physique.

[doul11]

Bonsoir,

Justement, rien d'autre que le physicien sur son papier. Cette symétrie locale U(1) signifie qu'un changement de phase local de tous les champs à proportion de leur charge électrique ne correspond pas à un degré de liberté physique.

Heureusement qu'il en est ainsi, cela veut dire que la physique est indépendante des choix arbitraires que nous humains faisons, ce qui est un bonne chose pour faire de la science et toute la physique moderne est basé la dessus.

[invite6754323456711]

Heureusement qu'il en est ainsi, cela veut dire que la physique est indépendante des choix arbitraires que nous humains faisons, ce qui est un bonne chose pour faire de la science et toute la physique moderne est basé la dessus.

signifie qu'un changement de phase local de tous les champs à proportion de leur charge électrique ne correspond pas à un degré de liberté physique.

[HS]
Dans une représentation par des nombres complexe ou l'argument représente la phase, tandis que le module l'amplitude, concernant le << sens physique >>, le couple réels (l'ensemble ℝ²) servant à mesurer la phénoménologie se trouve réduit au même << sens physique >> non ?

Le besoin, relativement à un objectif donné, d'une relation d'ordre total peut s'exprimer par le module.
[/HS]

Patrick

[doul11]

Dans une représentation par des nombres complexe ou l'argument représente la phase, tandis que le module l'amplitude, concernant le << sens physique >>, le couple réels (l'ensemble ℝ²) servant à mesurer la phénoménologie se trouve réduit au même << sens physique >> non ?

Personnellement je ne m’engagerais pas publiquement sur le sens physique des complexes Même avec un avocat

Le besoin, relativement à un objectif donné, d'une relation d'ordre total peut s'exprimer par le module.

Je ne suis pas sur de comprendre, ici c'est seulement "faire tourner" qui nous intéresse, U(1) groupe de module unitaire.

[invite6754323456711]

Je ne suis pas sur de comprendre, ici c'est seulement "faire tourner" qui nous intéresse, U(1) groupe de module unitaire.

Une critique de la représentation des nombres complexes est qu'ils ne permettent qu'un ordre partiel.

Concernant "faire tourner" cela repose sur la représentation de groupe abstrait (formelle, symbolique) qui vise, appliqué à la physique, à une « concrétisation »,
une « réalisation ».

Patrick

[QuarkTop]

[HS]
Dans une représentation par des nombres complexe ou l'argument représente la phase, tandis que le module l'amplitude, concernant le << sens physique >>, le couple réels (l'ensemble ℝ²) servant à mesurer la phénoménologie se trouve réduit au même << sens physique >> non ?
[/HS]

C'est uniquement un changement de phase local de tous les champs psi_i(x,t) à proportion de leur charge électrique q_i, psi'_i(x,t) = exp( q_i phi(x,t) ) psi_i(x,t) quel que soit i, qui correspond à un degré de liberté non physique, pas un changement de phase local arbitraire des champs. Et il est non physique parce qu'il ne modifie pas les équations d'évolution (en prenant en compte la variation associée du champ de jauge).

[invite6754323456711]

pas un changement de phase local arbitraire des champs.

Ce changement de phase serait quant à lui par contre physique ?

Patrick

[mariposa]

Ce changement de phase serait quant à lui par contre physique ?

Patrick

Bonjour,

il vient juste de te preciser que ces changements de phase sont non physiques cela veut dire qu il est impossible de le mesurer avec des appareils de mesures. C'est une operation purement mathématique qui définie une classe d'equivalence entre toutes les jauges. L'interet de construire une telle théorie est une contrainte de forme dont l'essence en termes géométriques releve de la théorie des espaces fibrés.