Thermodynamique statistique: Jet effusif

[kmilln]

Bonjour,

j'ai un petit problème avec cet exercice, si je pouvais avoir de l'aide se serait sympa.

EXERCICE 2 : Nous considérons un récipient contenant un gaz de molécules dont la masse est m. On désignera par n le nombre de molécules par unité de volume à la température T, à la pression p. Le nombre dn de molécules par unité de volume, dont la vitesse est comprise entre v et v +dv (vecteurs), est

dn/n= (m/2pikT)^3/2 exp(-mv^2/2kT)dVxdVydVz

Où k est la constante de Boltzmann, et m la masse de la molécule.
1) On perce dans une paroi un trou circulaire de rayon r. Déterminez la vitesse moyenne de sortie des molécules suivant l’axe oz du trou.. C'est selon l'axe du trou qui me pose problème., mon prof me parle d'utiliser V_z.

a) en fonction de k, m et de la température
b) en fonction de n, m et de la pression du gaz
c) en fonction de la vitesse moyenne des molécules dans le gaz
2) Déterminer la proportion des molécules du gaz néon dont la vitesse ne s’écarte pas plus de ∆v=10m/s de la vitesse la plus probable.

Je vous remercie.

Cordialement.
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[LPFR]

Bonjour.
Votre prof a raison. La vitesse selon l'axe du trou est Vz.
Si on vous demande la vitesse moyenne ce sera celle de Vz.
Au revoir.

[kmilln]

Hello,
merci de votre réponse.
Maintenant que je sais qu'il faut calculer la vitesse moyenne <V_z>, je me demande comment faire ?
Je voudrais calculer :

Intégrale de 0 à +oo de V_zg(v)

où g(v) est la distribution des vitesses dans le jet.

Est-ce correct ?

Et si c'est correct comment déduire g(v) de f(v) distribution des vitesse dans le four ?

Merci d'avance.

[LPFR]

Bonjour.
Je ne suis pas sur d'avoir bien compris le données du problème. En particulier ce que l'on entend par "jet effusif". Car je pense que cette vitesse moyenne dépend du régime du gaz (moléculaire ou non) ou, si vous préférez, si le libre parcours moyen est plus grand ou plus petit que les dimensions du trou (et du jet).

Dans votre formule du post#1 je me demande s'il n'y a pas une ambigüité entre les V et le v. Car je vois mal comment la fraction de molécules pourrait dépendre du différentiel de volume. Alors qu'elle doit dépende de la valeur du différentiel de vitesse.

Finalement, quand vous dites "Intégrale de 0 à +oo de V_zg(v)", on a à nouveau la même ambigüité et, en plus, vous n'avez pas donné le différentiel (ce qui est une hérésie) ni la variable d'intégration.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gatsu]

Hello,
merci de votre réponse.
Maintenant que je sais qu'il faut calculer la vitesse moyenne <V_z>, je me demande comment faire ?
Je voudrais calculer :

Intégrale de 0 à +oo de V_zg(v)

où g(v) est la distribution des vitesses dans le jet.

Est-ce correct ?

Et si c'est correct comment déduire g(v) de f(v) distribution des vitesse dans le four ?

Merci d'avance.

Salut,

Chaque direction de la vitesse est indépendante des autres. Ainsi, en intégrant sur v_x et v_y, on trouve que la distribution de v_z est une gaussienne, rien de plus normal. Il faut ajouter à cela la contrainte que les particules qui sortent ont une vitesse v_z positive et donc la densité de proba pour des v_z négatifs est nulle. Pour connaitre la valeur moyenne, il suffit donc d'intégrer v_z N(0,kT/m) entre 0 et l'infini où N(0,kT/m) est une distribution normale de moyenne zero et variance kT/m.

Note qu'LPFR a raison, le cas considéré ici est celui d'un jet effusif où la section du trou est beaucoup plus petite que le libre parcours moyen. Dans ce cas le fait qu'une particule sort est bien représenté par une condition sur les vitesses positives selon z; autrement il faut tenir compte des retours en arriere.

[kmilln]

Bonjour,

merci de vos réponses.

Pour LPFR : en réalité il n'y a que des petits v ( vitesse ). D'autre part le trou est bien plus petit que le libre parcours moyen et enfin la variable d'intégration est dv_xdv_ydv_z ou d³v.

Pour gatsu : j'ai fait en effet un calcul de ce genre, mais je voulais être sûr. Mais je suis ennuyé car je trouve <v_z>=2kT/m ( dans le jet )........??? je voudrais savoir si c'est normal.

Merci encore.

[LPFR]

Bonjour.
Cela veut dire que les molécules sortent du trou avec des vitesses uniformément réparties sur tout un demi-espace (sur un angle solide de 2pi).
Prenez une sphère de rayon 'v' (oui, dans l'espace des vitesses) et calculez la valeur moyenne de vz.
(Ce n'est pas immédiat, il faut faire un petit dessin).
Cela vous donnera la vitesse moyenne en z pour une vitesse de norme 'v'.
Maintenant, avec la fonction de distribution, (dn/n) il faut calculer la moyenne des vitesses vz pondérée par la fonction de distribution.
Au revoir.

[kmilln]

ok merci beaucoup,