[PCSI] Exercice de recherche, vitesse de libération.

[boomer901]

Bonjour,
Dans mon devoir de physique j'ai un exercice assez ardu mais plutôt passionnant, le sujet se résume à:
Quelle serait la longueur d'un canon permettant à un homme d'atteindre la vitesse de libération vivant?

Je commence par trouver la vitesse de libération:
Vlibération= SQRT(2GM/D)
G: cste de gravitation
M: masse de l'astre considéré (ici la terre)
D: distance au centre de l'astre (rayon terrestre)

On considère un tir vertical (ça doit être le plus pratique c'est comme ça que les fusées décollent ), on néglige les frottements dans le canon et en dehors de celui ci.

Selon la NASA, un homme résiste aux accélérations suivantes:

0,6 s 18g
1,8 s 14g
6 s 11g
18 s 9g
1 min 7g
3 min 6g
10 min 4.5g
30 min 3.5g

Pour des raisons de pratiques, on ne considère les données que pour un temps inférieur ou égal à 6 secondes, ce qui nous permet de modéliser une loi sous regressi:


On a donc notre loi de résistance aux accélérations: Accélération_supportable = A*exp(-t/to)+b = 105.86*exp(-t/1.47)+106.
Les écarts types sont négligeables (de l'ordre de 10^-4).

Bon maintenant la propulsion:
On considère que la propulsion se fera par combustion de poudre noire (qui libère des gaz générant une force de poussée), selon notre ami wikipedia qui ne cite pas sa source, elle se compose de:
15 % de charbon, 10 % de soufre, 75 % de salpêtre pour la poudre dite de guerre.

Équation de la combustion: 2KNO_3(s)+3C_(s)+S_(s) => K_2(s)+3CO_2(g)+N_2(g)

Le réactif limitant est donc le charbon, grâce au tableau d'avancement que je ne détaille pas ici, le nombre de mole de gaz créées est:
n_{gaz créé}=(n_C0)/3

Maintenant on utilise la loi des gaz parfaits: PV=NRT

Donc P=(NRT)/V
N=n_{gaz créé}
R: cste des gaz parfaits
T: 2000k (température de combustion de la poudre noire)

Et le plus drôle V, qui est donc notre inconnue car lié à la longueur du canon.

Disons que le canon fait 0.7m de diamètre (d) (je me suis mesuré je fais 60cm de largeur, on ajoute 10cm d'enveloppe).

Le volume du canon est donc (PI*d²/4)*x, avec x la hauteur du canon.

La force de poussée (pression*surface) est donc F_poussée=P*(PI*d²/4)= (NRT/(PI*d²/4)*x)*(PI*d²/4) = NRT/x

Tant que l'homme est dans le canon:

Référentiel: terrestre supposé galiléen
Système: {homme+enveloppe}
repère: on se contente d'un axe x gradué vers le haut d'origine la base du canon)
Bilan des forces: Poids P, F_poussée.

On applique le Principe fondamental de la dynamique:
Somme des forces extérieures = ma

-mg+NRT/x=m(d²x/dt²)
<=> m(d²x/dt²)-NRT/x+mg=0
<=> (d²x/dt²) -NRT/(mx) +g=0

Voilà une jolie équation différentielle. C'est ici que je suis coincé, je ne sais pas trop quoi en faire, j'ai deux inconnues (quantité de charbon initiale), la longueur du canon (modulée par une accélération limite et la vitesse de sortie qui doit être égale à la vitesse de libération)



Des pistes de résolution?
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[LPFR]

Bonjour.
Votre équation différentielle est encore trop simple.
L'expansion des gaz de combustion n'est pas isotherme mais adiabatique.
Donc, la dépendance de la pression avec le volume est un peu plus compliquée que ça. Avec des exposants fractionnaires.

Pour ce qui concerne la victime, il se comportera comme un météorite des la sortie du canon.
Au revoir.

[boomer901]

Pas de frottement, donc pas d'effet météorite...
Je sais bien que la température ne sera pas égale à 2000k tout au long du tir.
Le but n'étant pas ici de complexifier le problème, à la limite, je mettrai en remarque à la fin de la rédaction les éléments négligés, j'aimerais juste qu'on m'aide selon ce que j'ai posé...

[LPFR]

Pas de frottement, donc pas d'effet météorite...
Je sais bien que la température ne sera pas égale à 2000k tout au long du tir.
Le but n'étant pas ici de complexifier le problème, à la limite, je mettrai en remarque à la fin de la rédaction les éléments négligés, j'aimerais juste qu'on m'aide selon ce que j'ai posé...

Re.
Ce sera sans moi.
A+

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