Manège relativiste

[gwgidaz]

Bonjour,

Soit un manège de chevaux de bois tournant à vitesse relativiste. Le manège est composé de 20 chevaux, distants de 1 m . La circonférence du manège, est donc de 20 mètres.
Un observateur est situé au dessus du manège, dans l'axe de rotation de celui-ci. Il voit donc l'ensemble des chevaux disposés en cercle.
L'observateur mesure la distance entre deux chevaux en rotation, par exemple en notant les passages des chevaux au droit de repères demeurés immobiles autour du manège.
Question : Quelle distance l'observateur mesure-t-il entre chaque chevaux?.
.
1ère réponse : Du fait de la contraction des longueurs , il mesure moins de 1 mètre... Il voit donc un manège rapetissé, puisque pour lui les 20 chevaux respectent une symétrie...

2ème réponse : Nous ne sommes pas en RR, et l'accélération à laquelle est soumis chaque cheval compense le phénomène de contraction des longueurs, et le manège est vu avec le diamètre normal...

3ème réponse: Les chevaux sont immobiles dans le repère de l'observateur, donc pas de contraction des distances entre chacun. (Par contre, les repères fixes au sol sont plus rapprochés pour lui)...Des observateurs demeurés immobiles autour du manège voient des chevaux plus rapprochés. Voient-ils un manège plus petit?
Et si tout à coup, deux chevaux consécutifs se désolidarisent , et filent droit selon la tangeante, alors dés leur décrochage , ces deux chevaux seront mesurés plus proches par l'observateur situé dans l'axe.
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[Deedee81]

Salut,

Si le disque fait une circonférence de 20m, il lui correspond un rayon R bien précis. Si on suppose que ce rayon reste identique (il ne subit pas de contraction des longueurs) lors de la rotation (ce n'est pas une obligation vu les contraintes mécaniques) alors la distance entre les chevaux va rester de 1 mètre.

Par contre, on doit avoir une contraction des longueurs. Si on observe toujours 1 mètre, c'est que pour quelqu'un assis sur les chevaux, la distance est plus grande. Dans son référentiel où il est au repos, cela ne peut s'expliquer que par une déformation mécanique due aux accélérations centripètes et centrifuges.

si à l'inverse tu supposes que la distance entre les chevaux reste la même dans leur référentiel (car c'est assez rigide), alors on observera une contraction, moins d'1 m, dans notre référentiel inertiel.
Donc il y a diminution du rayon du manège, là aussi forcément sous les effets mécaniques.

Le comportement mécanique réel dépend du comportement des matériaux et est franchement difficile à calculer (j'ai essayé, je sais que Chaverondier l'a fait aussi).

Mais voilà une situation montrant que "infiniment rigide" est incompatible avec la relativité.

On a une situation analogue et un peu plus simple pour un train soumis à une force de poussée constante (accélération dans notre référentiel : a/gamma).

[chaverondier]

Soit un manège de chevaux de bois tournant à vitesse relativiste. Le manège est composé de 20 chevaux, distants de 1 m.

Distants de 1 m pour qui ?
1/ 1m entre chevaux pour les observateurs tournant à la même vitesse v que les chevaux ? Dans ce cas :

• la distance entre chevaux est de 1 m x (1-v²/c²)^(1/2) pour les observateurs au repos (dans le référentiel inertiel de l'axe du manège)
• Le diamètre du manège vaut 20 m x (1-v²/c²)^(1/2)/pi aussi bien pour les observateurs tournants que pour les observateurs au repos.

2/ 1m entre chevaux pour les observateurs au repos dans le référentiel inertiel de l'axe du manège ? Dans ce cas :

• la distance entre chevaux est de 1m/(1-v²/c²)^(1/2) pour les observateurs tournant à la vitesse v. En effet, leur mètre est contracté par la contraction de Lorentz.
  (contraction qui est constatée par l'observateur tournant comme par l'observateur non tournant. La relativité du mouvement et la réciprocité des effets concerne les mouvements inertiels).
• Le diamètre du manège vaut 20 m/pi aussi bien pour les observateurs tournants que pour les observateurs au repos dans le référentiel inertiel de l'axe du manège.

Nota 1 : Il y a une petite erreur dans le nota de bas de page de la page de la BD de Jean Pierre Petit sur la Relativité concernant le manège relativiste.
En effet, son nota de bas de page signale que son dessin du manège et des chevaux ne doit pas être pris trop au sérieux car ce dessin ne respecte pas la réciprocité des effets relativistes. Il fait apparaître les chevaux et Einstein contractés selon la direction circonférentielle.

Or, en fait, le dessin de JPP est juste. En effet, en rotation, la contraction de Lorentz n'est pas relative.
Dans un mouvement de rotation, il y a bien contraction de Lorentz non relative en direction circonférentielle.
(c'est facile de le voir en multipliant par c/2 le temps d'aller retour de la lumière entre deux chevaux espacés d'1 mètre au sens des mesures dans le référentiel inertiel.
L'observateur tournant trouve, quant à lui, une distance de 1 m/(1-v²/c²)^(1/2) entre chevaux, une distance supérieure à un mètre donc.
Cela exprime le fait que le mètre de l'observateur tournant est plus court en direction circonférentielle
(donc les distances qu'il trouve en réalisant des mesures avec son mètre raccourci sont plus grandes)

Nota 2: on notera que c'est la combinaison de :

• l'anisotropie de la vitesse relative de la lumière vis à vis du référentiel tournant (en direction circonférentielle) (effet Sagnac)
• la contraction de Lorentz du mètre de l'observateur tournant (en direction circonférentielle)
  (la circonférence d'un cercle de rayon R vaut C = 2pi R/(1-v²/c²)^(1/2) pour des observateur tournant à vitesse v le long de ce cercle)
• le ralentissement du temps de l'horloge des observateurs tournants (paradoxe de Langevin)

qui explique pourquoi l'observateur tournant ne peut détecter sa vitesse de rotation s'il cherche à la mesurer à l'aide d'un Morley-Michelson.

On retrouve l'interprétation Lorentzienne de l'absence de possibilité de mesurer, avec un Morley Michelson,
la vitesse d'un observateur inertiel vis à vis d'un référentiel inertiel privilégié hypothétique
(mais cette fois dans le cas d'un observateur tournant, donc non inertiel, et où il y a bien, alors, un référentiel inertiel privilégié non détecté par cet appareil :
le référentiel inertiel où l'axe de rotation est immobile).

Cela dit, je ne crois plus à l'hypothèse d'un référentiel quantique privilégié objectif (ce que pourrait suggérer ce nota)
c'est à dire un référentiel quantique privilégié dont l'origine ne serait pas de nature thermodynamique statistique.

[gwgidaz]

"1/ 1m entre chevaux pour les observateurs tournant à la même vitesse v que les chevaux ? Dans ce cas :
la distance entre chevaux est de 1 m x (1-v²/c²)^(1/2) pour les observateurs au repos (dans le référentiel inertiel de l'axe du manège)
Le diamètre du manège vaut 20 m x (1-v²/c²)^(1/2)/pi aussi bien pour les observateurs tournants que pour les observateurs au repos."

Bonjour,
Si je comprends bien,
pour un manège construit avec des chevaux distants de 1m, et de diamètre 20m/pi,
pour les observateurs restés au repos ( référentiel inertiel ) ,
le diamètre du manège diminue quand il tourne?
comme je n'imagine pas que le manège "disparaisse en tournant, je suppose que l'"objet tournant" garde son diamètre...C'est cela?

[A voir en vidéo sur Futura]

[chaverondier]

Le diamètre du manège diminue quand il tourne?

Ca dépend des forces qu'on lui applique.
Si on ne lui en applique pas, son diamètre augmente en raison de la force centrifuge. Elle tend à le mettre en état de traction.
Cet état de traction augmente son diamètre, et donc aussi sa circonférence, d'une valeur environ 1000 milliards de fois plus grande que l'effet de contraction
circonférentielle de Lorentz due aux effets relativistes (à un facteur 10 à 100 près selon les données précises de matériau et de vitesse retenues).

Par contre, ce que l'on peut dire, c'est que :

• le diamètre D' d'un cercle (1), mesuré par les observateurs tournant sur ce cercle, est le même que le diamètre D mesuré par les observateurs non tournants (D'=D).
• La circonférence du cercle vaut bien sûr C = pi D pour les observateurs non tournants.
• Cette même circonférence vaut, par contre, C' = pi D/(1-v²/c²)^(1/2) > pi D pour des observateur tournant à la vitesse v le long de ce cercle.

La raison en est qu'il mesurent cette circonférence C' avec un mètre ayant, en réalité, une longueur L'. L' vaut du fait de sa contraction de Lorentz, L' = 1m (1-v²/c²)^(1/2) < 1m
Bien sûr, la mesure par des mètres matériels tournant à vitesse v (en état libre de contrainte donc contractés par la contraction de Lorentz), et placés bout à bout le long
de la circonférence du cercle, peut avantageusement être remplacée par une mesure du temps d'aller-retour laser, de proche en proche, entre observateurs tournant
à la même vitesse v le long de la circonférence de ce cercle (cercle bien sûr fixe, quant à lui, par rapport à un référentiel inertiel).

(1) pas la peine que ce soit un manège. La déformation d'un disque tournant élastique, linéaire, isotrope, même dans le cas où des forces centripètes
annulent exactement l'effet de la force centrifuge, est un problème plus difficile quand on tient compte de l'effet relativiste de contraction de Lorentz.
En effet, la déformation élastique induite par cet effet relativiste est la combinaison :

• d'une contrainte de traction circonférentielle induite par la tendance à la contraction circonférentielle de Lorentz.
• D'une contrainte de compression radiale s'opposant à la contraction induite dans cette direction par la contraction circonférentielle de Lorentz.

Mathématiquement, le problème est assez simple (du moins à l'approximation où (v²/c²)² est négligé devant 1, au delà, ça devient beaucoup plus compliqué)
mais physiquement, c'est un calcul élastique relativiste qui demande d'avoir bien compris la contraction de Lorentz.
Une visualisation "Lorentzienne" des effets relativistes facilite beaucoup l'obtention du résultat.

[gwgidaz]

Bonjour,
Je vous remercie pour ces explications. Il me reste un paradoxe :

"Cette même circonférence vaut, par contre, C' = pi D/(1-v²/c²)^(1/2) > pi D pour des observateur tournant à la vitesse v le long de ce cercle."

Cet observateur tournant tient entre ses mains un mètre pour mesurer les longueurs . S'il mesure une circonférence supérieure à Pi D , cela veut dire que la distance entre deux chevaux consécutifs a augmenté, donc il ne pourra plus la superposer avec son mètre étalon. ( cette distance était de 1 mètre au repos) .

Problème de rigidité incompatible avec la RR ?

( bien sur, les "chevaux" et le manège physique sont des images, on pourrait aussi bien prendre des particules tournant dans un anneau...)

[chaverondier]

Bonjour, il me reste un paradoxe :

"Cette même circonférence vaut, par contre, C' = pi D/(1-v²/c²)^(1/2) > pi D pour des observateur tournant à la vitesse v le long de ce cercle."

Cet observateur tournant tient entre ses mains un mètre pour mesurer les longueurs. S'il mesure une circonférence supérieure à Pi D,
cela veut dire que la distance entre deux chevaux consécutifs a augmenté,

ou diminué (si on exerce des efforts de compression radiale appropriés sur le manège).
Ca n'empêchera pas les observateurs tournant à vitesse v le long d'un cercle de diamètre D (égal, plus grand ou plus petit qu'une valeur initiale de ce diamètre)
de trouver la circonférence C' qu'ils mesurent sur ce cercle de diamètre D supérieure à pi D.

Cela dit, pourquoi se compliquer la vie avec un manège qui tourne alors qu'on trouve la même chose avec un manège qui ne tourne pas et des observateurs
qui tournent autour (avec leur horloges qui retardent et leurs mètres étalon raccourcis (en direction circonférentielle) par la contraction de Lorentz).

Que le diamètre D du cercle ait augmenté, diminué ou soit resté le même, la circonférence C' d'un cercle de diamètre D vaut,
pour des observateurs tournant à vitesse v le long de ce cercle :

C' = 2 pi D/(1-v²/c²)^(1/2)

C'est un "calcul" beaucoup plus simple que celui de la déformation élastique relativiste d'un disque élastique mis en rotation.
Dans ce cas bien plus complexe, la mécanique des milieux continus entre en jeu.

Les observateurs tournants ne pourront plus superposer leurs mètres étalon sur les mètres étalon des observateurs au repos.

Heureusement, puisque le mètre étalon des observateurs tournants a raccourci en raison de la contraction de Lorentz. Ce n'est en rien plus paradoxal que le fait d'avoir,
entre deux tours du cercle parcourus à la vitesse v, une durée mesurée par le jumeau de Langevin tournant plus courte que celle mesurée par le jumeau de Langevin non tournant.

[gwgidaz]

Bonjour,
OK, c'est clair qu'il est équivalent de faire tourner les observateurs , on revient à un cas d'école.
Merci pour vos réponses.

[azizovsky]

[*]Le diamètre du manège vaut 20 m x (1-v²/c²)^(1/2)/pi aussi bien pour les observateurs tournants que pour les observateurs au repos. [/LIST]
.

dans le volume IV ,physique théorique :théorie des champs ,L.Landau/E.Lifchitz, page 297:

...en observant ce processus de mesure depuis le référentiel K, nous constaterons que l'échelle apliquée le long de la circonférence subit une contraction de Lorentz, tandis que la régle graduée appliqué suivant un rayon ne varie pas, il s'ensuit que le rapport de la longeur de la circonférence au diamètre, que l'on a déterminé dans ces condition est supérieur à

[azizovsky]

il a un rapport avec le paradoxe d'Ehrenfest http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_d%27Ehrenfest

[gwgidaz]

Bonjour,
C'est en effet proche de mon interrogation de départ...

[azizovsky]

Bonjour, chaverondier a dit la même chose, j'ai évoqué le point culminant de son analyse.

[C2H5OH]

Bonjour à tous,

Pour s'affranchir des problèmes de rigidité, et se rapprocher d'une expérience réelle, supposons que je remplace les 20 chevaux par vingt particules tournant dans un anneau. Si je mesure la distance entre chaque particule, en restant extérieur au manege, je vais trouver que la distance entre chaque particule va se réduire quand la vitesse des particules augmente. Mais alors, j'ai du mal à croire que l'anneau va rétrécir!

[chaverondier]

Si je mesure la distance entre chaque particule, en restant extérieur au manège, je vais trouver que la distance entre chaque particule va se réduire.

Non. Si je reste immobile, cette distance entre particules ne va pas changer.

Par contre (peu importe les particules, elles ne font qu'embrouiller les choses) l'anneau fixe (ou tournant) va voir sa circonférence augmenter (pour moi) et son diamètre rester constant si je me mets à faire des mesures en tournant de plus en plus vite le long de cet anneau fixe ou tournant.

La rotation de l'anneau n'a pas d'effet sur mon résultat de mesure de son diamètre et de sa circonférence. Seul compte :

• le diamètre de l'anneau (diamètre qui est le même pour des observateurs fixes ou pour des observateurs tournant le long de l'ombre circulaire de cet anneau) d'une part
• la mise en mouvement de rotation des mètres des observateurs tournants d'autre part (ces mètres se contractent en direction circonférentielle, suivant la contraction de Lorentz, quand les observateurs se mettent en rotation) .

[C2H5OH]

Bonjour à tous,

OK, merci pour la réponse. J'imaginais que la distance entre particule , c'était équivalent à une règle.