Question de MQ : théorème de Bloch

[freemp]

Bonjour à tous

Je souhaiterai juste que quelqu'un m'explique simplement l'argument de la page 3, "9.9".

http://www.phys.ens.fr/cours/cours-mip/MagCh09.pdf

Pourquoi le commutateur est nul ?

De préférence sans parler de notions de groupes de symétries avec lesquelles je ne suis pas familières.

Comment le démontrer simplement ?

Car je suis d'accord que le potentiel est periodique de période R, mais comment traiter le terme en p²/2m, pour moi le commutateur ne se simplifie pas.

Merci beaucoup !
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[Resartus]

Dans la transformation par un opérateur de symétrie S, l'opérateur O devient SOS-1. S'il est invariant, cela implique que O=SOS-1 donc SO=OS

Peut-être ceci pourra-t-il vous aider?

https://cours.espci.fr/site.php?id=200&fileid=759

[freemp]

Salut.
OK merci.
En fait je viens de voir que pour résoudre mon problème il faut que l'opérateur de translation agisse sur les kets et les opérateurs.

Du coup juste pour vérifier : si j'applique T à un opérateur A qui dépend de r, A dépendra t il de r-R ?

[freemp]

En fait après réflexion j'ai répondu à ma question :

Si l'opérateur agit comme ceci :
Soit

On a donc :

Donc en gros si il agit sur un ket il agit aussi forcément sur tous les opérateurs de la même manière.

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Bonsoir, soit les valeurs propres des opérateurs: ,



dans l'autre sens


donc :

[freemp]

Rebonjour,

En fait je ne comprends pas trop votre démo car vous présupposez que le hamiltonien commute avec T pour le démontrer non ?
Car on a pas forcément une base de vecteur propre commune à priori.

Et en fait je pensais avoir compris mais en fait non...

Car :



En effet, je calcule le nabla PUIS j'évalue en r-R.

Ce qui ne reviens pas à remplacer r en r-R dans le nabla et dans la fonction d'onde (ce qui donnerait le bon résultat).

Voila, merci d'avance pour votre aide.

[azizovsky]

Bonsoir, le commutateur , tu'as .

il suffit de remplacer dans et de faire la différence.

on simplifie la fonction\psi(\vec{r}) d'onde (comme une séparation de variable) avant de l'injecter dans l'opérateur.

[freemp]

Bonsoir,

Pardonnez moi je comprends peut être très mal, mais ce que je n'arrive pas à comprendre c'est ceci :

Dans votre système avec accolades vous dites que est vecteur propre de H et T en même temps.

Une condition nécessaire à ceci est qu'ils commutent, sinon on ne peut pas avoir de base de vecteur propre commune aux deux opérateurs "en même temps".

Donc ce que j'ai du mal à voir c'est que j'ai l'impression que vous partez du principe qu'ils commutent (en disant que est vecteur propre de H et T en même temps) pour montrer qu'ils commutent.

Donc pourriez vous m'expliquer pourquoi on peut bien trouver une fonction d'onde qui soit à la fois vecteur propre de H et de T(R) ? Pourquoi cette fonction existe bien ?

Merci et désolé !

[azizovsky]

Bonsoir, la première implique la deuxième mais la réciproque et faux, on laisse tomber les mathématiques, on prend deux carreaux de carrelage identique juxtaposer (dimension (x,x)), mon opérateur (hamiltonien) est ma disqueuse, si je veut couper le premier en deux et je le pousse par le deuxième d'une distance x, la disqueuse va couper le deuxième au même endroit que le premier.(la disqueuse et la translation agissent sur les carreaux (identiques) :fonction d'onde )

[freemp]

Rebonsoir,

D'accord le fait de commuter est une condition suffisante pour trouver une base de vecteurs propres mais elle n'est pas nécessaire.

Donc on peut avoir un vecteur propre commun aux deux observables sans pour autant qu'elles commutent à priori.
Néanmoins il faut bien justifier que ce vecteur propre commun existe ?

Et je visualise votre exemple de disqueuse, mais je ne vois pas trop le lien.

Ok, on coupera votre deuxième carreau au milieu, mais quel est le lien ?
Car si vos carreaux représentent la fonction d'onde, le fait que vous disiez que le premier carreau et le second sont identique veut implicitement dire que la fonction d'onde est périodique de période x non ?
Or on ne le sait pas à ce stage (d'ailleurs elle n'est pas vraiment périodique en raison du facteur de phase qui va se mettre).

Merci.

[azizovsky]

Bonjour, pour ne pas compliquer le problème, j'ai consulté un livre de MQ: tome2 de Claude Aslangul,page 1366, il dit:

la symétrie de translation caractéristique de (potentiel) entraîne que le Hamiltonien COMMUTE avec tous les opérateurs de translation discrète associés chacun à une translation géométrique .
De ce seul fait résulte le théorème de Bloch.

physiquement, on'a supposé n systèmes identiques (mailles ou cristal ).

, ceci montre que la fonction est propre avec la valeur propre , tous comme l'est .(j'ai du travail qui m'attend, à ce soir ).

PS: ce n'est pas les maths qui font les'équations, mais les idées physiques (simplificatrices) mathématisés, leurs résultats (ce que nous observons) qui nous indique leurs 'réalités ou viracité'.

[gatsu]

Rebonsoir,

D'accord le fait de commuter est une condition suffisante pour trouver une base de vecteurs propres mais elle n'est pas nécessaire.

Non non c'est une condition nécessaire et meme pas suffisante d'ailleurs.

[gatsu]

Salut.
OK merci.
En fait je viens de voir que pour résoudre mon problème il faut que l'opérateur de translation agisse sur les kets et les opérateurs.

Salut,

Je ne suis pas sur que cela soit ni vrai ou en tout cas nécessaire. Dans le formalisme quantique en representation de Schrodinger, on a un espace des états et des opérateurs agissant sur ces états; pas besoin d'imaginer ce qu'un opérateur fait a un autre, normalement ce qu'ils font l'un l'autre a un vecteur d'état est suffisant pour tirer toutes les conclusions qu'il y a a tirer.


Si, par definition, la seule chose que fait l'opérateur translation peut être caractérisé très simplement en regardant comment il agit sur un ket i.e. via :

(et

)

alors, il n'y a rien d'autre a ajouter pour trouver ce que tu cherches a montrer.

En l'occurence tu peux developper n'importe quel état quantique sur la base des positions et appliquer les règles ci-dessus.

En se focalisant sur une composante, on sait, par definition de la representation , que

et que, en particulier (mais ca c'est assez emmer$%$&t a montrer) que



Ce qui donne que :



et, c'est un petit plus long mais on peut voir que :



Il est alors facile de montrer que

en reconstruisant les relations de fermeture que j'ai introduit dans la derniere equation et en appliquant la definition de la representation position on obtient que



L'opérateur impulsion commute donc avec l'opérateur de translation (quelque soit la translation d'ailleurs).

Enfin, une manière beaucoup plus simple de voir que l'opérateur de translation commute avec l'opérateur impulsion est de savoir que l'impulsion est le générateur du groupe de Lie des translations spatiales et comme commute avec , le tour est joue.