Physique du solide : densité d'états d'un gaz d'électrons

[lacudas]

Bonjour,

j'ai eu un petit problème pour la résolution d'un exercice de physique du solide, l'énoncé et le corrigé sont en pièces jointes, ma méthode n'est pas celle du professeur et je ne trouvais pas tout de suite la même solution. Après un peu de réflexion, j'ai fini par trouvé mais j'aimerai m'assurer que ce n'est pas de la chance puisque la technique ne fonctionne pas en 2 et 3 dimensions

Voici ma démarche pour le cas à une dimension :

-la densité d'électrons est donnée par n = N/L

-les électrons sont confinés dans la boite, par conséquent leur fonction d'onde sur les bords doit s'annuler, d'où : f(x+L) = f(x) <=> e^(ikL) = 1 <=> kL = 2*pi*n <=> k_n = 2*pi*n/L où n est un entier naturel
f(x) est la fonction d'onde de l'électron.

-les niveaux d'énergies à remplir sont au nombre de N/2 car les électrons possèdent 2 spins différents, ainsi l'état qui maximise l'énergie est k_N/4.

-car les niveaux d'énergie à remplir sont ceux correspondant à -N/4 jusqu'à N/4 parce que les électrons peuvent voyager d'un sens ou de l'autre

Et voilà je trouve la bonne réponse comme ça.
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[LPFR]

Bonjour.
Je pense que la condition 2 n’est pas f(x+L) = f(x) mais que l’onde associée doit former une onde stationnaire, comme dans une corde de guitare. C'est-à-dire que L doit être un multiple de λ/2 et non de λ. Ce qui donne k_n = pi*n/L.
De plus, il s'agit des ondes stationnaires. Donc, il n'y a pas des électrons dans une sens ou dans l'autre.
Au revoir.

[lacudas]

Oui, tu as raison puisque ma condition 2 doit être f(X+L) = f(X) =0.

[LPFR]

Oui, tu as raison puisque ma condition 2 doit être f(X+L) = f(X) =0.

Re.
Non. La condition est f(L) = f(0) =0.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[lacudas]

Oui merci,
j'ai écrit n'importe quoi, je viens de me réveiller désolé ^^.

Mais ça ne fonctionne toujours pas pour les dimensions 2 et 3.

En dimension 2, on est d'accord que le vecteur d'onde maximisant l'énergie k_max est bien composé selon x de k_x,N/2 = N*pi/(2*L) et y k_y,N/2 = N*pi/(2*L).

Ainsi k_max^2 = k_x,N/2^2 + k_y,N/2^2

[LPFR]

Re.
L’énergie est plus grande avec des longueurs d’onde plus courtes. Ce qui change en 3 dimensions n’est pas les hautes énergies mais les plus faibles. La plus faible correspond à une longueur d’onde deux fois la diagonale la plus grande.
A+

[lacudas]

Oui mais le problème est que je cherche le vecteur dont la norme maximise l'énergie donnée par :

E(k) = (h^2 / 8*pi*pi*m) * k^2

[LPFR]

Re.
Je ne vois pas le problème. Il n’y pas de maximum. ‘k’ peut être aussi grand que l’on veut et λ aussi petit que l’on veut.
A+

[lacudas]

Non, si k et lambda peuvent être aussi grand que l'on veut cela revient à dire qu'on peut remplir autant de niveaux d'énergie que l'on veut or il n'y a qu'un nombre N limité d'électrons, ainsi compte tenu du spin de l'électron et du principe d'exclusion ily aura N/2 niveaux d'énergie remplie en commençant par le plus faible.

[lucas.gautheron]

Bonjour,

Je suis en train de rédiger une réponse un peu longue. LPFR a raison dans un sens, mais l'énoncé est mauvais. Il ne dit pas qu'on s'intéresse à la situation qui rend l'énergie totale minimale, or sans cette hypothèse a priori on peut "remplir" les niveaux d'énergie de façon quelconque et donc l'exercice n'a plus de sens.

[lacudas]

Mais on cherche le vecteur d'onde qui maximise l'énergie sachant que les électrons "se placent" dans les niveaux d'énergie du plus petit au plus grand (il n'y a pas d'état excité) et donc les niveaux d'énergie occupés ne peuvent pas être infinis mais sont bien limités par le nombre d'électrons.

[lucas.gautheron]

Je reprends donc

Je pense que le raisonnement de l'énigmatique correction est le suivant :

On part de ceci :

1. On étudie la configuration fondamentale (énergie totale minimum) donc tous les niveaux SOUS le niveau d'énergie maximum sont occupés
2. Pour une particule dans une boite, l'équation de schrodinger nous dit que chaque état quantique stationnaire est décrit par entiers naturels ou la dimension de la boite, notés que j'appelerai nombres quantiques. C'est un résultat qui demande un peu de travail, et qui nécessite en partie la condition aux limites que vous mentionnez, mais il est admis dans le raisonnement. Ces états sont dégénérés : l'énergie d'un niveau ne dépend que de la somme des carrés des nombres :
   et d'autre part puisque . On remarque par ailleurs que chaque état peut être décrit par le vecteur de façon non ambigue.
3. On remplit la boite avec N particules (et donc la densité de particules est
4. les particules ont un spin 1/2 donc chaque état propre à la boite peut être occupé deux fois

De là :

L'hypothèse 1) signifie que l'énergie maximale est celle de la particule dans l'état de plus haut énergie après avoir rempli tous les états de plus faible énergie.
Le but est de savoir quelle est cette énergie pour un quantité donnée.
Pour cela on détermine , le nombre d'onde de l'état de plus haute énergie.

On appelle le vecteur d'onde de la j-ième particule pour j allant de 1 à N bien sur.
Par construction de kmax :


Ce qu'on peut réécrire :

où .

On peut interpréter cela en disant que tous les vecteurs (qui sont au nombre de N) sont contenus dans :

• un segment de longueur si d = 1
• un cercle de rayon si d = 2
• une sphere de rayon si d = 3

N est alors la somme des populations de chaque état vérifiant cette égalité. Ici deux particules occupent chaque état donc sommée sur toutes les valeurs vérifiant que la norme du vecteur n est inférieure à

C'est là que ça devient assez approximatif : dans la limite des "grandes boites", (donc L "très grand"), chaque état est alors séparé d'un vecteur infinitésimal (k est inversement proportionnel à L). On peut alors réécrire la somme précédente en effectuant un changement de variable en tant qu'intégrale :


(on oublie pas le deux qui traduit que chaque état est occupé deux fois à cause du spin de l'électron)

L'intégrale est très simple : c'est le volume d'une d-boule de rayon k max, donc si d=1, si d=2, pour d = 3.

Donc pour résumer :



Le reste se fait très facilement.
Mais au début j'ai eu du mal aussi, parce qu'il y a des non dit dans l'énoncé et que la correction est vraiment pas très explicite si on n'a pas déjà fait tout ça. Ce qui m'a mis la puce a l'oreille ce sont les expressions qui ressemblaient à des volumes de d-spheres. J'ai vérifié si mon idée était correcte et j'ai trouvé un PDF sur ce sujet, apparemment on appelle cette sphère dans l'espace de k la sphère de fermi.

A+

[lacudas]

Merci bien pour ta réponse très complète mais c'est en effet ce que fait le prof dans la correction. Il travail dans l'espace des vecteurs d'onde. Je voulais essayer de trouver la solution par un autre raisonnement. Mais je me rend compte grâce à toi que ce que j'ai écris est effectivement faux puisque je ne travail qu'avec la norme du vecteur d'onde et non le vecteur d'onde lui-même ce qui me conduirait.

[lacudas]

Et j'ai considéré que une norme de vecteur d'onde donnée pouvait être "attribué" uniquement à deux électrons alors que (si j'ai bien compris) si on prend ce que tu as écrit c'est totalement faux puisque plus la norme de k est grande plus le nombre d'électrons "ayant" cet état sont grands.

Ais-je bien tout compris ?

[lucas.gautheron]

Et j'ai considéré que une norme de vecteur d'onde donnée pouvait être "attribué" uniquement à deux électrons alors que (si j'ai bien compris) si on prend ce que tu as écrit c'est totalement faux puisque plus la norme de k est grande plus le nombre d'électrons "ayant" cet état sont grands.

Ais-je bien tout compris ?

Oui, c'est-ça il faut tenir compte de la dégénérescence des niveaux d'énergies, càd qu'une énergie peut correspondre à plusieurs états.

A+

[lacudas]

Merci beaucoup à tout le monde