Abscisse curviligne d'un astroïde

[The_Anonymous]

Bonjour à tous,

C'est la première fois que je poste dans cette section, j'espère ne pas me tromper d'endroit. Pour être honnête, j'ai posté ma question dans la section mathématiques, sans trop de succès, et comme l'abscisse curviligne est apparemment une notion qui relève également de la physique, je tente ma chance

Je bloque sur la dernière partie de mon exercice qui consiste, pour l'astroïde de courbe (périodique et ) dans : , à trouver l'abscisse curviligne et donner le paramétrage naturel au point initial .

Par la définition de mon livre, je calcule l'abscisse curviligne comme étant

Voilà toutes les expressions que j'ai pu trouvé pour l'intégrale de l'abscisse curviligne. Malheureusement je n'arrive en aucun cas à trouver une fonction convaincante pour elle-même. Comme on sait que , j'ai trouvé que si on exprimait , où et , alors on trouvait . Ceci dit, j'ai besoin d'une expression en fonction de , afin de pouvoir trouver l'inverse de cette fonction pour pouvoir trouver le paramétrage naturel. En effet, on me suggère de trouver comme une fonction afin de trouver le paramétrage naturel .

Ma question est donc : est-il possible de trouver une fonction convenable pour l'abscisse curviligne, en calculant l'intégrale? Si oui, comment y arrive-t-on? Si non, est-il satisfaisant de donner l'abscisse curviligne sous forme d'intégrale? Si non, comment trouve-t-on le paramétrage naturel?

Quoi qu'il en soit, j'ai creusé un peu, avec un succès mitigé. J'ai fouillé de fond en comble internet à la recherche de sources, mais ce n'est apparemment pas une notion à part entière dans la documentation anglophone, et il n'y a que très peu de sites sérieux proposant une solution performante. La seule source que j'ai trouvée se trouve ici, mais comme expliqué à la page 28, il n'est pas possible d'obtenir un changement de paramètres, même en découpant la fonction en 4 parties correspondant aux 4 quarts du cercle trigonométrique. Ceci dit, ce raisonnement relève de l'astroïde définit par le paramétrage de courbe

,

qui donne la vitesse

.

Or, en utilisant l'équation cartésienne , alors j'ai trouvé le paramétrage .
Avec ceci, je calcule

.

J'obtiens alors

.

Si on prend alors , on trouve , et ceci nous amène donc au reparamétrage suivant

.

Or, la vitesse de ce paramétrage est bien égal à 1, et le graphique paramétrique de cette courbe représente bien l'astroïde de base.

Il me reste cependant deux questions :

• Est-il correct de définir une courbe ainsi, avec un signe plus ou moins? Le raisonnement ci-dessus est-il approprié?
• Y a-t-il une autre façon de trouver un paramétrage naturel de la courbe, en partant de la définition utilisant les fonction trigonométriques?

Merci d'avance pour les réponses
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[Resartus]

Vous vous êtes compliqué inutilement la vie en écrivant racine(sin²(2t)), au point de perdre de vue que c'est tout simplement |sin(2t)|

Si t reste entre 0 et Pi/2; sin(2u) est positif. C'est pour cela qu'on commence par faire les calculs dans ce quadrant et qu'on reproduit ensuite sur les trois autres.

[The_Anonymous]

Vous vous êtes compliqué inutilement la vie en écrivant racine(sin²(2t)), au point de perdre de vue que c'est tout simplement |sin(2t)|

Si t reste entre 0 et Pi/2; sin(2u) est positif. C'est pour cela qu'on commence par faire les calculs dans ce quadrant et qu'on reproduit ensuite sur les trois autres.

Il est clair que .

Cependant, l'intégrale est difficile à calculer pour , donc que je pensais qu'il existait une fonction valable .

En effet, on peut décomposer en , où et .

Mais visiblement, un tel paramétrage n'est pas possible pour obtenir le paramétrage naturel c'est pourquoi je me suis aidé de l'équation cartésienne.

Ceci dit, je reste intéressé si vous avez une suggestion pour trouver le paramétrage naturel à partir de la définition de la courbe avec les fonctions trigonométriques.

Cordialement

[coussin]

L'intégrale se fait et la fonction inverse est analytique (y a des arccos). Mais, comme l'a dit Resartus, y a un peu de boulot quand même car il faut "recoller les morceau" entre les 4 quadrants.
Je donne juste le début :
Dans le premier quadrant; on a .
Dans le deuxième quadrant, ce sera (3/2 étant f(pi/2)...)
Etc...
Pour la fonction inverse, c'est un peu la même chose (on inverse quadrant par quadrant). Faut réfléchir un peu pour recoller les morceaux comme il faut.

[A voir en vidéo sur Futura]

[The_Anonymous]

Bonjour,

Merci pour la réponse! Vos indications m'ont bien aidé, mais je bloque pour la fin du raisonnement.

L'intégrale se fait et la fonction inverse est analytique (y a des arccos). Mais, comme l'a dit Resartus, y a un peu de boulot quand même car il faut "recoller les morceau" entre les 4 quadrants.
Je donne juste le début :
Dans le premier quadrant; on a .

Je comprends bien le raisonnement. Il est similaire à celui du document que j'avais cité plus haut. Voici d'ailleurs la partie pertinente de celui-ci.



Je trouve bien le même résultat pour l'intégrale :

Et comme , alors il fait sens que pour , alors

Dans le deuxième quadrant, ce sera (3/2 étant f(pi/2)...)
Etc...
Pour la fonction inverse, c'est un peu la même chose (on inverse quadrant par quadrant). Faut réfléchir un peu pour recoller les morceaux comme il faut.

Je crains que ne soit pas défini, mais je comprends le principe. Sauf erreur, il s'agit de faire une translation verticale (dans ) de pour le deuxième quadrant par rapport au premier, de pour le troisième par rapport au deuxième, etc. Ceci donne donc l'abscisse curviligne :

Ceci correspond bien au document. Ceci dit, qu'en est-il pour ? Est-ce que l'abscisse curviligne est strictement croissant? On aurait donc , où , avec et . Mais si c'est le cas, alors il faudrait décomposer l'abscisse curviligne en une infinité de morceaux, vu que l'utilisation de est problématique. Si ce n'est pas le cas, alors on peut redéfinir les 4 ensembles comme , où , etc...

En ne regardant uniquement pour , le système ci-dessus me semble convenable et on calcule alors l'inverse :

Mais, une fois l'inverse obtenu sous forme de système, comment définir le paramétrage naturel? Faut-il proposer différentes définition de la courbe reparamétrée suivant la valeur de ?

On obtiendrait finalement :

Les questions qui me restent sont les suivantes :

• Que se passe-t-il quand ?
• Est-il correct de définir ainsi l'inverse de l'abscisse curviligne et la paramétrage naturel, en séparant les cas?
• Une question qui traîne, mais est-il correct de définir une courbe avec un signe plus ou moins? Peut-on par exemple définir la courbe d'équation cartésienne comme ceci : ?

Merci pour l'aide!

Cordialement

[The_Anonymous]

J'imagine que j'y suis pas tout à fait...