Transformée de Fourrier

[steven_hawking]

Bonjour une question qui va vous paraître un peu bêtes je pense (pour le niveau de certains utilisateurs de FUTURA) mais je voudrais savoir clairement ce qu'est une transformée de Fourrier merci à vous
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[lippow]

Une transformée de fourier va te permettre de "transformer" une fonction qui dépend du temps en une fonction qui dépend de la fréquence

f(t)--[TF]--> f(w)

Cette transformée est valide pour des signaux périodiques ou non périodiques et il faut que ta fonction soit intégrable sur R.

[choom]

Voir http://www.futura-sciences.com/scien...fourier-11880/

Partant d'une fonction quelconque, non périodique mais intégrable, la transformée l'exprime comme somme de fonctions périodiques de différentes fréquences. Une somme infinie avec un 'pas' d'une fréquence à l'autre infiniment petit et donc une intégrale sur les fréquences.

[LPFR]

Bonjour.
Je pense que pour faire passer la transformée de Fourier, il vaut mieux la présenter comme le passage à la limite du développement en série de Fourier, quand la période du signal tend vers infini.
Bien sur, il faut que la série de Fourier ait été bien digérée et que, par exemple, le spectre d’un signal carré non symétrique soit « évident ». Alors on fait tendre la période vers l’infini, et on voit comment évolue le spectre discontinu de la série vers la transformée (continue).
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gwgidaz]

Bonjour,

La question de départ n'est pas "bête" du tout...
Il est toujours difficile de donner des exemples "intuitifs" à cette question.
Notamment le fait que les fonctions fréquentielles sont des densités: si le signal temporel possède une énergie finie, il ne peut être la somme de fonctions de durée infinie non nulles...

Et puis, il ne faut pas oublier que la TF ne s'applique pas qu'à la conversion temps /fréquence. Elle peut être une conversion longueur / angle, en optique, par exemple.

Bref, je crois qu'il faut appliquer la définition mathématique au problème posé, puis tenter de comprendre le résultat dans un deuxième temps.

[choom]

Bonjour.
Je pense que pour faire passer la transformée de Fourier, il vaut mieux la présenter comme le passage à la limite du développement en série de Fourier, quand la période du signal tend vers infini.
Bien sur, il faut que la série de Fourier ait été bien digérée et que, par exemple, le spectre d’un signal carré non symétrique soit « évident ». Alors on fait tendre la période vers l’infini, et on voit comment évolue le spectre discontinu de la série vers la transformée (continue).
Au revoir.

C'est en effet bien plus pédagogique. Je me demande même si commencer par la transformée de fourier discrète n'illustrerait pas de manière plus perceptible le lien entre les fonctions obtenues, leur somme, et la répartition des points de départ de la fonction à représenter... Mais à l'inverse de toi, LPFR je n'ai pas exercé de fonction dans l'enseignement et je te laisse juger de cette idée.

[andretou]

Bonjour à tous
Je profite de la question de steven pour essayer de comprendre moi aussi ce qu'est la TF et d'explorer ses implications...
Si j'ai bien compris, la TF permet d'attribuer à tout signal (sonore par exemple) une fonction dépendant de la fréquence du signal, fonction qui s'exprime par une somme infinie de sinus et de cosinus.
De ce fait, peut-on dire qu'à tout signal sonore correspond une fonction unique, donc une équation unique ?
Peut-on ainsi dire qu'à toute voix correspond une équation unique ? Donc qu'à tout individu (possédant une voix) correspond une équation unique dans la mesure où toutes les voix sont différentes ?
Merci pour vos réponses

[Nicolascou]

Bonjour!
L'idée de la transformée de Fourier est qu'on peut reconstituer d'importe quel signal, quelle que soit sa complexité, en additionnant une série de sinusoïdes simples qui ont chacune leur fréquence, leur amplitude et leur phase.
Le signal est alors "transformé" mathématiquement en une suite de sinusoïdes dont on connait la fréquence et l'amplitude de chacune.
On perd du coup l'information temporelle contenue dans le signal pour ne conserver que son spectre dans le domaine des fréquences.
Il faut réaliser la transformée inverse pour retrouver le signal et ses événements qui varient dans le temps.

[Nicolascou]

Bonjour!
L'idée de la transformée de Fourier est qu'on peut reconstituer d'importe quel signal, quelle que soit sa complexité, en additionnant une série de sinusoïdes simples qui ont chacune leur fréquence, leur amplitude et leur phase.
Le signal est alors "transformé" mathématiquement en une suite de sinusoïdes dont on connait la fréquence et l'amplitude de chacune.
On perd du coup l'information temporelle contenue dans le signal pour ne conserver que son spectre dans le domaine des fréquences.
Il faut réaliser la transformée inverse pour retrouver le signal et ses événements qui varient dans le temps.
Dans le cas de la transformée de Fourier, le résultat est sous forme de nombres complexes qui nécessitent des calculs supplémentaires pour connaître avec l'amplitude et la phase de chaque sinusoïde.

[Nicolascou]

Bonjour à tous
Je profite de la question de steven pour essayer de comprendre moi aussi ce qu'est la TF et d'explorer ses implications...
Si j'ai bien compris, la TF permet d'attribuer à tout signal (sonore par exemple) une fonction dépendant de la fréquence du signal, fonction qui s'exprime par une somme infinie de sinus et de cosinus.
De ce fait, peut-on dire qu'à tout signal sonore correspond une fonction unique, donc une équation unique ?
Peut-on ainsi dire qu'à toute voix correspond une équation unique ? Donc qu'à tout individu (possédant une voix) correspond une équation unique dans la mesure où toutes les voix sont différentes ?
Merci pour vos réponses

En effet, les cellules sensorielles qui sont à la base de l'oreille humaine ne sont, pour chacune d'entre elles, sensibles qu'à 3 choses: une fréquence de vibration, son amplitude et sa phase. L'oreille humaine réalise donc quelque chose qu'on pourrait comparer à un équivalent biomécanique d'une transformée de Fourier. C'est le cerveau qui reconstitue un son spécifique en additionnant ces vibrations élémentaires.

[LPFR]

Bonjour à tous
Je profite de la question de steven pour essayer de comprendre moi aussi ce qu'est la TF et d'explorer ses implications...
Si j'ai bien compris, la TF permet d'attribuer à tout signal (sonore par exemple) une fonction dépendant de la fréquence du signal, fonction qui s'exprime par une somme infinie de sinus et de cosinus.
De ce fait, peut-on dire qu'à tout signal sonore correspond une fonction unique, donc une équation unique ?
Peut-on ainsi dire qu'à toute voix correspond une équation unique ? Donc qu'à tout individu (possédant une voix) correspond une équation unique dans la mesure où toutes les voix sont différentes ?
Merci pour vos réponses

Bonjour.
Oui. On peut exprimer (presque) tout signal par une somme (souvent infinie) de sinus et cosinus de ωt. Dans le cas de la transformée de Fourier il s’agit d’un signal unique (non répétitif).
Donc, un signal de durée limitée dans le temps est égal à la somme d’un infinitude de sinusoïdes qui ont commencé avant le Big-Bang et qui continueront après la fin de l’Univers. Il s’agit, évidement, d’une représentation purement mathématique. Mais qui a une énorme utilité en pratique.
Tout signal (sonore ou non) peut être représenté comme une fonction du temps. Mais pas toujours comme une équation.
Ni un son ni la voix d’un individu ne peuvent être représentés par des équations.
La seule représentation « complète » d’un son est un sonograme.
Pour une même phrase, les sonogrammes varient d’individu à individu, et même pour un même individu à des occasions différentes.
Un sonagramme n’est pas une transformée de Fourier. Mais une suite de développements en série de Fourier de petits bouts du signal
Au revoir.

[andretou]

Tout signal (sonore ou non) peut être représenté comme une fonction du temps.

Faut-il comprendre par "Tout signal" tout phénomène ondulatoire ?

[LPFR]

Re.
Non : tout signal, ondulatoire ou non.
Cela peut être, par exemple, un impulsion unique à un certain moment.
A+

[andretou]

Re.
Non : tout signal, ondulatoire ou non.
Cela peut être, par exemple, un impulsion unique à un certain moment.
A+

Pourrais-tu STP donner un exemple de signal qui ne serait pas de nature ondulatoire ?

[LPFR]

Re.
Le son produit par le signal que j’ai décrit qui alimente un haut-parleur ou un écouteur.
Les sons produits par des objets ou les claquement de doigts ou de mains ou celui d’un fouet, ont tous une partie qui oscille pour le retour à l’équilibre. Même le son d’un pétard.
A+

[andretou]

Re.
Le son produit par le signal que j’ai décrit qui alimente un haut-parleur ou un écouteur.
Les sons produits par des objets ou les claquement de doigts ou de mains ou celui d’un fouet, ont tous une partie qui oscille pour le retour à l’équilibre. Même le son d’un pétard.
A+

Mais tous les sons sont des vibrations de l'air, donc de nature ondulatoire, non ?...

[LPFR]

Re.
Non. Uniquement la plupart.
A+

[stefjm]

Bonjour,

Une autre façon d'appréhender la transformée de Fourier est de considérer qu'un signal s en tant que tel (mathématique) admet plusieurs représentations (physiques), de la même façon qu'un vecteur admet plusieurs représentations suivant la base choisie.
Les deux façons les plus classiques de décrire un signal sont :
1) sa représentation temporelle s(t), projection sur l'espace (au sens mathématique) des temps.
2) sa représentation fréquentielle S(f), projection sur l'espace des fréquences.

Les deux types de projections représentation) contiennent autant d'informations l'une que l'autre et décrivent aussi bien le signal en tant que tel. Selon le contexte, on privilégie une représentation ou une autre car chaque représentation présente des défauts que n'apprécient pas les physiciens. En particulier, les temps très grand (passé ou futur) pose le problème de l'expérimentation (déjà souligné par LPFR). Les fréquences très grandes (positives ou négatives) pose le problème de l'infinitude de l'énergie et de la résolution.

Les transformées de Fourier (directe et inverse) sont les opérations mathématiques qui permettent de passer d'une représentation temporelle s(t) à une représentation fréquentielle S(f).

Il y a une très grande symétrie entre la représentation temporelle et fréquentielle.
En particulier, t=1/f.
Un signal temporellement constant (cos(0.t), très basse fréquence) est une impulsion (échantillonée) en 0 en fréquence (une seule fréquence nulle).
Un signal fréquentiellement constant (toute fréquence présente de façon identique) est une impulsion temporelle en 0.
Un signal temporellement sinusoïdal (fréquence unique f0) présente deux impulsions fréquentielles en + et -f0.

Un signal périodique temporellement est échantillonné fréquentiellement (impulsions).
Un signal périodique fréquentillement est échantillonné temporellement (impulsions).

Un signal échantillonné et périodique en temporel est échantillonné et périodique en fréquentiel.

Cordialement.

[Nicolascou]

Mais tous les sons sont des vibrations de l'air, donc de nature ondulatoire, non ?...

Dans la mesure où ils peuvent être reproduits par la vibration de la membrane d'un haut-parleur, et se propagent ensuite comme une onde, oui...
Par contre, ils ne sont pas tous périodiques

[steven_hawking]

Merci à tous pour vos reponses