Cinématique d'un point dans un solide en étirement

[sobriquet]

Bonjour,

J'essaie d'étudier la mécanique d'un solide, mais mes notions de physiques sont lointaines et sans doute pas suffisantes.

Il s'agit d'un solide linéaire uniforme que l'on va étirer. Il est infiniment étirable et ses propriétés mécaniques ne varient pas en fonction de l'étirement. La contrainte d'étirement se propage dans le solide à une vitesse finie, constante, significativement plus importante que la vitesse d'étirement. mon but est de trouver trajectoire d'un point de ce solide, dans deux situations :
1) dans le cas d'un étirement à vitesse constante,
2) dans le cas d'un étirement à vitesse uniformément accélérée,

Pour formaliser les choses, je note A et B les extrémités du solide et M le point dont je cherche la trajectoire. B est ancré et on exerce donc la contrainte d'étirement sur l'extrémité A.

Je souhaite connaître le mouvement d'un point M par la valeur de la distance AM(t). La contrainte se transmet à une vitesse c, significativement plus importante que la vitesse d'étirement v (dans le cas d'un étirement à vitesse constante) ou v(t) (dans la cas d'un étirement à vitesse uniformément accélérée).

J'imagine qu'il y a une équation différentielle à établir, mais je suis incapable de la poser, sans même parler de la résoudre. J'ai donc essayé de "cuisiner" le problème en travaillant avec un temps discret. Dans le cas (1), j'en sors alors la formule approchée :

Mais je ne suis pas convaincu qu'elle vaille grand chose.

Pouvez-vous m'aider à obtenir un résultat plus rigoureux ?
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[LPFR]

Bonjour.
Il faut imaginer l’objet comme une succession de petites masses séparées par des petits ressorts.
Il ne faut pas se mélanger avec la notation. La position d’une particule de l’objet est :

Où est le déplacement par rapport à sa position sans perturbation de la particule qui se situe à la position ‘x’ en absence de perturbation. Il faut bien comprendre que pour un point choisi de l’objet, ‘x’ ne varie pas dans le temps, c’est qui varie.
Maintenant il faut écrire, pour chaque petit bout de longueur ‘dx’ de l’objet la deuxième loi de Newton : F = ma.
La masse c’est simple : µ.dx, où µ est la masse totale divisée par la longueur.
L’accélération est la dérivée seconde de ξ par rapport au temps.
Et la force c’est plus subtil : elle dépend de la différence d’allongement entre le ressort de gauche et de droite. Cette différence est égale à la dérivée seconde de ξ par rapport à x, multiplié par dx² et par la constante k, égale à la constante de Hooke de l’objet entier (vu comme un ressort) divisée par dx.
(Si vous divisez un ressort en petits ressorts, al constante des petits ressorts est celle du ressort entier divisé par le nombre de petits ressorts).

On arrive à l’équation de d’Alembert :


N’importe quelle fonction de x et t de la forme g(t – x/c) est solution de l’équation.
Cela correspond à une onde qui se propage dans le sens des ‘x’ à vitesse ‘c’.
L’onde est crée par le mouvement de l’extrémité où vous appliquez le déplacement.
(Je n’ai pas détaillé plus le calcul volontairement. Je vous laisse le faire. C’est le meilleur moyen de le comprendre).

Au revoir.

[Chup]

Bonjour,
si la vitesse de propagation du son est très grande devant la vitesse d'étirement, on peut considérer que l'étirement est quasi-statique et la contrainte se "propage" instantanément. Si je comprends bien, l'extrémité est fixe, et A est déplacée soit à vitesse constante, soit à accélération constante ?
Chup

[sobriquet]

@Chup,

Oui, vous comprenez bien, mais je cherche justement à voir la différence entre le cas où la contrainte se déplace instantanément et le cas où elle n'est pas instantanée.

@LPFR

Merci pour ces éléments de réponse ! Cela m'a permis de réviser la formulation du problème de manière à ce qu'il soit plus conforme à ce que j'ai en tête. En effet, le corps auquel je pense n'a pas de masse significative et ses parties ne sont pas solidaires entre elles, donc je ne crois pas qu'on puisse avoir une constante de Hooke...

Du coup, il s'agit plutôt d'un gaz dans un piston linéaire d'extrémités A et B, subissant une décompression soit à vitesse constante, soit à accélération constante. Et je cherche la trajectoire du point M tel que n % du gaz se trouve entre A et M, pour un n donné.

J'imagine que ça change tout...

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Bonjour.
Pourquoi avez-vous caché la vraie nature du problème ?
Vous nous prenez pour des imbéciles.
Je regrette d’avoir perdu mon temps à vous répondre.
Je vous ajoute à la liste des gens auxquels je ne réponds pas.
Adieu.

[sobriquet]

Oh non, je n'ai rien voulu cacher, et je ne vous prends certainement pas pour des imbéciles !

Je suis vraiment désolé que vous le preniez ainsi

C'est de ma faute, je croyais que le matériau auquel je pensais se comportait comme un solide, mais votre réponse m'a permis de comprendre que je faisais fausse route. Si j'avais eu de meilleures connaissances, je ne vous aurais pas entraîné dans mon erreur.

Il ne s'agit pas d'un exercice scolaire ni d'un problème d'ingénierie, mais d'un élément d'une réflexion personnelle qui m'habite depuis un certain temps. Il est tout à fait possible que cette réflexion soit en définitive une impasse, et j'y aurais alors perdu beaucoup de temps. C'est pourquoi j'ai besoin d'un peu d'aide.

Quoi qu'il en soit, votre réponse m'a déjà fait avancer et je vous en remercie. Même si vous ne souhaitez plus me répondre, je vous serais reconnaissant de ne pas me tenir rigueur de tout cela.

Cordialement