Structure fine de l'atome d'hydrogène (addition des observables moments cinétiques)

[Coccinelleamoustaches]

Bonjour à tous,

Je suis de retour, avec une question sur un cours de mécanique quantique chopé sur le web. Ma question porte sur le chapitre 13 (p.274) de l'ouvrage suivant (encore et toujours; je vais à mon modeste rythme ^^) : http://www.phys.ens.fr/~dalibard/Not.../X_MQ_2003.pdf

A vrai dire, je ne comprends pas du tout comment est obtenu le résultat de la fin de la page 274. On y étudie le terme d'interaction magnétique Wso entre le spin de l'électron et son moment orbital autour du proton. Cf p.273 pour son expression
Premièrement, il dit s'appuyer dans son calcul sur la méthode des perturbations (vue au chapitre 9), mais l'application rigoureuse de cette méthode dans notre cas (niveau d'énergie avec une dégénérescence de degré 6) impliquerait de résoudre un problème au valeurs propres sur une matrice 6x6 dont les termes ne sont pas évidents à calculer... Je doute donc qu'il passe pudiquement sous silence un calcul pareil en deux lignes : ça doit donc être une autre méthode, plus directe, qui est suivie pour obtenir le résultat.

Mon gros problème, c'est qu'on diagonalise le terme d'interaction des moments L.S dans la base propre au moment cinétique total J = L + S (où L est le moment orbital et S le spin) : |n,l,j,mj>.
Seulement, la première résolution approximée du problème de l'atome d'hydrogène sans effet de spin, sur laquelle on s'appuie, était faite dans la base |n,l,m> (qui peut s'écrire |n,l,m,sigma> en rajoutant le spin sigma, évidemment dégénéré dans la première approximation). On obtenait alors la fonction d'onde , qui constituait une première description approximée de l'atome d'hydrogène. L'idée est de repartir de cette connaissance acquise, en rajoutant le terme supplémentaire d'interaction (perturbation).

Du coup, je ne comprends pas du tout comment il arrive à son espèce de résultat hybride où on voit apparaître un , découlant évidemment de la première base |n,l,m,sigma>, mêlé à l'utilisation de l'autre base pour résoudre le terme en L.S. J'ai fait quelques essais pour détailler ce calcul mystérieux, mais je me heurte toujours à un problème. D'ailleurs, je ne comprends même pas le sens du "m" qui intervient dans le résultat final : quel "m" ?? On travaille sur la transition entre deux niveaux du moment cinétique total J. Il n'y a pas de "m" bien défini dans ce contexte... Bref, le résultat me rend vraiment très perplexe, je ne comprends ni la façon dont il est obtenu, ni comment il peut faire sens.

Voilà, je ne sais pas si c'est très clair, et si les notations sont standard. Je l'espère, mais n'hésitez pas à me demander plus de détails. Je suis bien conscient que la question est un peu technique et intervient en plein milieu d'un chapitre à recontextualiser, et je m'excuse d'avance s'il est trop pénible d'y répondre.

Merci de m'avoir lu !
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[Coccinelleamoustaches]

Pas de réponse ?
Je comprendrais, je dois dire. Mais l'espoir vit encore; je remonte.

[coussin]

Difficile de vous répondre sans question précise...
C'est l'idée de la théorie des perturbations de calculer l'élément de matrice de la perturbation dans l'état non perturbé. Dans ce sens, si L.S est traité comme une perturbation, on calcule effectivement des trucs comme <Psi_nlm | L.S | Psi_nlm>. C'est l'application "bête" de la théorie des perturbations.

[Coccinelleamoustaches]

Bonjour coussin, et merci pour votre réponse. Alors, rassure-vous, la question est précise même si elle est peut être mal formulée. La question est tout simplement : Par quelle calcul arrive-t-il au résultat final de deltaE(n,l) = A(n,l)*(l+1/2), avec le A(n,l) qu'il explicite en dessous.

Que le L.S soit le terme de perturbation, pour commencer, je ne suis pas entièrement d'accord. Le terme de perturbation Wso est exprimé en (13.23) et dépend aussi de r. Ca rajoute un peu de piment.

Qu'on calcule "des trucs comme <Psi_nlm | L.S | Psi_nlm>", dans la théorie des perturbations j'en suis bien convaincu (à ceci près qu'i faut prendre en compte la dépendance en r également, pour moi) : c'est là simplement le calcul des termes qui remplissent la matrice 6x6 que j'évoquais dans le premier message. Cependant ça ne répond pas vraiment à la question de savoir comment est obtenu le résultat final. Encore une fois, ce n'est pas dans le style du bouquin de passer sous silence un calcul conséquent sans au moins prévenir. il doit donc y avoir un moyen rapide de parvenir au résultat annoncé, que je ne vois pas. Ma question est donc : quel est ce moyen, quel est le calcul qui donne le résultat donné par l'auteur en fin de page 274 ?

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Mes années d'étudiant sont loin derrière moi, je ne saurais pas refaire ce calcul en détail. Tout d'abord, la dépendance en r se factorise. Tout ce qui dépend de r dans Psi_nlm et W_SO donne la constante A_nl. C'est le cas, c'est la formule au bas de la page 274 : la partie de W_SO dépendante de r sandwichée entre deux Psi_nlm.
Il reste L.S dont les élément sont j(j+1)-l(l+1)-3/4 (j'omets les facteurs numériques). Eh bien cette quantité pour j=l+1/2 moins cette quantité pour j=l-1/2 donne l+1/2. Ce qui conclue et donne le résultat final.

[coussin]

Il y a un détail que j'ai passé sous silence : c'est la passage entre les états |n,l,m> et |n,l,j,mj>. Tout d'abord, le lien entre ces états est connu et ne fait intervenir que les Clebsch ad hoc. Ensuite, on utilise des relations semblables à des relations de fermeture portant sur ces Clebsch parce que L.S ne dépend pas de mj. Ce passage est un peu technique et, c'est vrai, n'est pas du tout détaillé.

[Coccinelleamoustaches]

Merci beaucoup !

J'avais effectivement suivi un raisonnement similaire au votre, seulement ce qui me dérangeait beaucoup, c'était le passage d'une base propre à l'autre, pour avoir d'un côté les psi_nlm qui conviennent à la dépendance en r et, de l'autre, la base |n,l,j,mj> pour diagonaliser L.S. J'avais bien pensé aux coefficients de Clebsch-Gordan, mais vu que ça menait à des calculs quand même bien lourds, j'avais supposé qu'il y avait une autre façon de faire. Surtout parce que l'auteur semble le présenter comme un résultat évident.

Bon, votre réponse me rassure. Il n'y a donc pas de solution miracle, mais bien des calculs assez techniques glissés sous le tapis. Merci beaucoup d'avoir pris le temps de m'éclairer ! Si j'ai la foi, j'essayerai peut-être de mener le calcul pour voir si je retombe sur mes pattes.

Bonne soirée.

[coussin]

Bon, c'est pas non plus super dur. De manière grossière :
On part de <n,l,m|L.S|n,l,m>, c'est ce qu'on veut calculer.
Chaque |n,l,m> est Somme_mj C(l,m,j,mj) |n,l,j,mj>
Ensuite, l'important est que L.S ne dépend pas de mj et donc sort de la somme. On aboutit à qqchose comme <n,l,j,mj|L.S|n,l,j,mj> * Somme_mj |C(l,m,j,mj)|² et en fait la dernière somme est une sorte de relation de fermeture et vaut 1.

[lippow]

N'oublie pas que J=L+S --> J²=(L+S)² = L²+S²+2LS (les opérateurs agissant sur des espaces différents commutent) --> L.S= 1/2(J²-L²-S²)

(Je n'ai pas tout lu ce que vous avez écrit)