Problème de relation cyclique

[laureloge]

Bonjour,

Etudiante en physique, je suis tombée sur un exercice de thermodynamique qui me semblait a priori simple mais qui finalement me donne du fil à retordre.
En effet, il s'agit simplement de démontrer, à partir de l'équation d'état, que le système vérifie la relation cyclique des dérivées partielles:



l'équation d'état est donnée par



où est le coefficient de dilatation thermique c'est à dire:
L la longueur du fil, T la température et F la tension exercée sur le fil.

Cela fait bien deux jours que je retourne ces formules dans tous les sens sans réussir à retrouver -1..

J'ai essayé de remplacer la dernière dérivée pour avoir une formule plus simple mais au final j'ai un produit cyclique qui vaut

Voila ce que j'ai fait:




Ensuite j'ai caluculé une a une les dérivées partielles:






Comme vous pouvez le voir, ça ne fait pas -1...

Il y a donc 2 hypothèses... la plus probable étant que je me soit trompée dans la dérivation et l'autre étant qu'une erreur se soit glissée dans cet exercice.

Si vous avez une idée concernant mon problème, merci de m'en faire part! Sinon, merci d'avoir pris le temps de me lire
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[petitmousse49]

Bonjour
La première relation que tu indiques entre les trois dérivées partielles est démontrée sur ce document, paragraphe 1.3 :
http://gte.univ-littoral.fr/workspac...=1275385699.17
Ce type de relation est aussi utilisée pour obtenir la relation entre les coefficients thermo-élastiques.

[laureloge]

Merci pour cette réponse rapide.
Oui en effet, j'ai vu cette démonstration mathématique dans le livre où se trouve l'exercice que je cherche à résoudre.

Mon problème est plutôt dû au fait que je ne retrouve pas ce résultat en appliquant la propriété au cas donné par l'équation d'état....

[petitmousse49]

Je trouve ton équation d'état plus que "suspecte", même après avoir ajouté la parenthèse finale que tu as oubliée, et cela pour deux raisons :
1° : tel que est défini dans l'énoncé, sa dimension physique est l'inverse d'une température ; est donc une grandeur sans dimension (grandeur de dimension 1) et non une force comme indiqué par l'énoncé.
2° : cette équation d'état ne me parait pas physiquement correcte. Elle devrait faire intervenir deux constantes caractéristiques du solide étudié : un paramètre caractérisant l'influence de la température sur la longueur : c'est et aussi un caractère caractérisant la "raideur" du solide, en référence à la loi de Hook ; ce paramètre n'est pas présent ici.

Il me semble possible de résoudre ce problème en considérant comme une constante caractéristique du métal qui dépend à la fois du coefficient de dilatation thermique et des caractéristiques élastiques du métal, ayant la dimension physique d'une force divisée par une température. Cette constante n'est pas le coefficient de dilatation thermique.

[A voir en vidéo sur Futura]