Energie cinétique d'un corps en rotation

[Jon83]

Bonjour à tous!
je travaille sur l'étude du mouvement d'un solide en rotation de vitesse angulaire Oméga autour d'un axe passant par le centre d'inertie (du livre Physique Théorique tome I "Mécanique" de Landau et Lifchitz page 136) et on calcule l'énergie cinétique de rotation sous forme vectorielle: j'ai refait le détail de tous les calculs, et je retombe bien sur la 1ere partie de l'expression (voir pj).
Par contre, pour passer à l'écriture indicielle (2ème partie de l'expression) de cette énergie cinétique en utilisant les indices i,k,l (je ne sais pas pourquoi le j a été zappé?) qui prennent les valeurs 1,2,3 et en utilisant la règle selon laquelle les signes "somme" sont omis et la sommation par rapport aux valeurs 1,2,3 est sous-entendue pour tous les indices qui se répètent deux fois (dits indices "muets") , on me donne (voir pj).
Pourquoi utilise t-on des indices différents i et l dans le 1er terme, et i et k dans le deuxième terme? Je ne comprend pas bien comment est construite cette expression ...
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[Sethy]

Le plus facile, je pense est de commencer par les indices qui se répètent, donc i.

Tu remplaces "i" par les différentes valeurs possibles (donc à la fin de cette opération tu dois avoir 2xi termes en tout). Ensuite, tu fais le membre avec l, et la aussi tu ajoutes un termes pour chaque valeur de l. A ce moment la, tu devrais avoir : ixl + i termes. Enfin tu fais pareil avec k et tu devrais donc avoir en tout : ixl + ixk termes.

[Sethy]

Etape 1 :

Si i peut aller de 1 à 2 :



Etape 2, si l peut aller de 1 à 3 :



Et ainsi de suite pour les k.

[Jon83]

Merci pour tes réponses!
Malheureusement, dans la 2ème, je ne peux pas lire ce qui est après les : suivant la phrase ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sethy]

A bon, j'ai ôté les balises TEX :

Etape 1 :

Si i peut aller de 1 à 2 :

TEX
m(\Omega^2_1x^2_l-\Omega_1x_1\Omega_k x_k) +m(\Omega^2_2x^2_l-\Omega_2x_2\Omega_k x_k)
/TEX

Etape 2, si l peut aller de 1 à 3 :

TEX
m(\Omega^2_1x^2_1+\Omega^2_1x^ 2_2+\Omega^2_1x^2_3-\Omega_1x_1\Omega_k x_k) +m(\Omega^2_2x^2_1+\Omega^2_2x ^2_2+\Omega^2_2x^2_3-\Omega_2x_2\Omega_k x_k)
/TEX

Et ainsi de suite pour les k.

[Jon83]

Bonjour!
OK, là j'arrive à lire ...
En fait ma question était: comment passe t-on de la formule vectorielle à la formule indicielle , et comment est établie le choix des indices ?

[jacknicklaus]

Etape 1 :

Si i peut aller de 1 à 2 :



Etape 2, si l peut aller de 1 à 3 :



Et ainsi de suite pour les k.

j'ai corrigé dans la citation. L'interpréteur Tex bugge si on met des balises tex ou /tex seules sur une ligne...

[Sethy]

Bonjour!
OK, là j'arrive à lire ...
En fait ma question était: comment passe t-on de la formule vectorielle à la formule indicielle , et comment est établie le choix des indices ?

Le mieux serait de détailler les termes en partant de l'expression vectorielle. Tu te rendrais compte que tu obtiens exactement les mêmes résultats qu'avec la formule.

A la limite, si ça t'aide, je pense (car ici je ne maitrise pas le fond du sujet, mais comme personne d'autre ne répond ...) que tu pourrais séparer la somme en 2 sommes distinctes et même remplacer le premier i, par j. Encore une fois, tu aurais les mêmes composants à l'arrivée.