Exercice : Physique des plasmas, système de deux équations différentielles

[JorisJojo]

Bonjour à tous,

Je n'ai pas vraiment pour habitude de poster mes exercices sur ce forum (ma dernière demande doit bien dater d'il y a 3-4 ans ) mais il s'avère que mes camarades et moi-même sommes vraiment bloqués. Avant toute chose, sachez que cet exercice m'est donné dans le cadre de mon M2 Physique (physique des plasmas plus précisément). Ne prenez pas peur, M2 ne veut pas forcément dire compliqué. Ici, je pense qu'il me manque juste la bonne idée pour résoudre le problème.

Le but de cet exercice est de trouver l'équation d'une onde se propageant dans une atmosphère stratifiée solaire. Je ne vais pas rentrer dans les détails physiques car mon problème est surtout de nature mathématique.

J'ai un système de deux équations différentielles :






Et je souhaite obtenir l'équation suivante à partir des deux dernières :






J'ai essayé deux méthodes :

(1) La première méthode consiste à dériver deux fois la deuxième équation puis à injecter grâce à la première équation. Comme dépend , je me retrouve avec des , ... et je ne m'en sors pas.

(2) La seconde méthode (qui semble plus fiable) consiste à dériver une première fois la deuxième équation pour faire apparaitre , à le remplacer grâce à la première équation puis redériver une seconde fois et refaire la même chose. Le souci c'est qu'il me reste des sur les bras, je n'arrive pas à les faire disparaitre.

J'en appelle donc à vos instincs mathématiques pour m'aider . Je vous remercie d'avance pour vos réponses et je vous laisse avec des informations qui vous serons peut-être (sûrement) utiles :


On se place dans le régime où ( est la vitesse du son)


Vitesse


Vitesse d'Alfvén :


Densité :


Hauteur caractéristique :


Accélération gravitationnelle :
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[gts2]

Bonjour,

Il y aurait deux techniques SI on n'avait pas le VA(z) qui vient mettre le bazar.

1- Passage en dérivation symbolique (Laplace p=d/dz) : résolution du système linéaire puis retour à la dérivée.
2- Dériver deux fois la deuxième équation pour obtenir (3) puis faire (2)*+(3) ce qui fera disparaitre les ux.

Problèmes de ces méthodes : cela donne une dérivée quatrième sans facteur multiplicatif, cela ne prend pas en compte VA(z) et je ne vois pas comment faire intervenir le carré du coeff. de ux.

Je ne comprends pas trop la condition cs/VA=0.

[stefjm]

Avec des matrices?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Expone...e#Applications

[JorisJojo]

Merci beaucoup pour vos réponses.
gts2 : Oui effectivement, ce serait tellement mieux si ne dépendait pas de z ... La condition devrait plutôt être formulée (c'est le régime pour lequel le champ magnétique est fort).

stefjm : Merci pour la technique. À vrai dire je n'ai jamais eu affaire à cette méthode. ça m'étonnerai tout de même qu'il faille faire intervenir des matrices, je m'y intéresserai en dernier recours.

J'ai refait la méthode (2) que j'ai décrite dans le premier post. Comme prévu, il y a des et des qui trainent. Aussi, difficile de trouver le terme de gauche recherché... :

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Je ne vois pas comment se débarrasser du ux du à VA(z) (remarque : pour cette dérivée il manque un -2 en facteur)

Et je ne vois toujours pas d'où pourrait sortir le terme en facteur de la dérivée d'ordre 4.

Vous êtes sûr de votre texte ?

[gts2]

Un lien que vous connaissez peut-être : https://etheses.whiterose.ac.uk/19463/1/thesis.pdf (chapitre III contenant d'autre lien ...)

[JorisJojo]

Merci pour votre réponse. Oui je suis sûr et certain de l'énoncé du problème, il est tiré du livre "Solar Magnetohydrodynamics" d'Eric Priest. Voici l'extrait en question (vous remarquerez que les membres de droite ont des signes différents, j'ai simplement pris l'autre convention lors de la résolution du problème) :



Effectivement, j'ai vu plusieurs résolutions incluant un changement de variable (votre lien, et ici https://www.researchgate.net/publica...ETIQUE_INCLINE partie 3.2), mais je n'arrive pas à m'en sortir non plus.