(a-b)2 = a2-2ab+b2

[invite986312212]

bonsoir,

j'aimerais bien connaître la solution de Mary.
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[mary.shostakov]

En remarquant que a² - 2ab + b² = a² -2(a-b)b - b², la réponse est évidente

J'affirme péremptoirement que votre affirmation péremptoire est fausse !

[mary.shostakov]

www.membres.lycos.fr/wolfgangouille/hein.JPG
j'ai peut être rien pigé mais pour moi ces deux figures ont exactement la même aire.

Elles ont peut être la même aire, mais je n'y ai rien pigé

[mary.shostakov]

bonsoir,

j'aimerais bien connaître la solution de Mary.

La solution s'apparente à la démonstration du dernier théormème de Pierre de Fermat. Ça paraît facile, mais ça ne l'est pas. Cette solution me prendrait trop de temps pour l'instant, alors je laisse mijoter, le temps de la tracer, de rédiger la description permettant de la re-tracer, et de voir si des malinmaticiens seraient capables de la trouver avant que je ne la publie

[badtaste]

http://www.membres.lycos.fr/wolfgangouille/hein.JPG

L'image illustre

(a-b)2 + 2ab = a2 +b2

[Médiat]

J'affirme péremptoirement que votre affirmation péremptoire est fausse !

Je ne pense pas qu'il y ait d'erreur dans l'équation a² - 2ab + b² = a² -2(a-b)b - b², or avec cette nouvelle formulation, le dessin utilisé pour (a+b)², fonctionne très bien.

Merci d'illustrer ma devise ! Je vous cite à nouveau :

[mary.shostakov]

Je ne pense pas qu'il y ait d'erreur dans l'équation a² - 2ab + b² = a² -2(a-b)b - b², or avec cette nouvelle formulation, le dessin utilisé pour (a+b)², fonctionne très bien.

Merci d'illustrer ma devise ! Je vous cite à nouveau :

Votre équation comprend 4 soustractions tandis que le dessin correspondant à (a+b)2 n'illustre que des additions.


Vous devinez donc que la solution du problème passe par la représentation graphique de l'opération consistant à soustraire des aires.

[mary.shostakov]

Indice :

La solution à ce problème passe par la représentation d'un espace-temps.

[Médiat]

Votre équation comprend 4 soustractions tandis que le dessin correspondant à (a+b)2 n'illustre que des additions.

Vous devriez y réfléchir encore ...

Allez, je vous aide (a - b) + b = a

Je vous cite à nouveau :

[mary.shostakov]

Vous devriez y réfléchir encore ...

Allez, je vous aide (a - b) + b = a

Je vous cite à nouveau :

En algèbre, il est certes permis d'ajouter une aire négative, mais en géométrie, si on le fait, il faut représenter le caractère négatif de l'aire.

[Médiat]

En algèbre, il est certes permis d'ajouter une aire négative, mais en géométrie, si on le fait, il faut représenter le caractère négatif de l'aire.

Où avez-vous vu que j'utilisais des aires négatives ?

J'en ai marre des smileys, je vous les laisse.

[mary.shostakov]

Où avez-vous vu que j'utilisais des aires négatives ?

L'équation
a² - 2ab + b² = a² -2(a-b)b - b²
comprend les aires négatives
- 2ab
-2(a-b)b
et
-b2

L'équation
(a+b)2 = a2+2ab+b2
ne comprend QUE des aires positives.

Je sais, c'est énervant

[invite986312212]

et alors?
-(a+b)^2 = -a^2 -b^2 -2ab ne comporte que des "aires négatives", comme vous dites, chère Mary.
Si on ne peut plus tabler sur l'équivalence
entre a+b=c et a=c-b où va-t-on?

[Médiat]

Je sais, c'est énervant

Là je vous donne raison !

Il ne faut pourtant pas être un bien grand mathématicien pour remarquer que

a² - 2ab + b² = a² -2(a-b)b - b²

peut aussi s'écrire :

(a² - 2ab + b²) + 2(a-b)b + b² = a²

Et il n'y a plus d'aire négative.

Equation qui est parfaitement illustrée par le dessin valable pour (a+b)², où la signification de "a" a un peu changée (mais pas le dessin) ; si là vous ne comprenez pas, je n'y peux plus rien !

[mary.shostakov]

Messieurs Ambrosio et Mediat, je comprends bien votre point de vue, mais si je reviens à la définition du problème, il n'est pas question de représenter des équivalences. Ça serait trop facile...

L'équation

(a-b)2 = a2-2ab+b2

est aussi équivalente à

x[(a-b)2]/-y = x[a2-2ab+b2]/-y

dans un autre domaine d'équivalence, par exemple, mais cette équivalence ne fait pas plus partie des données du problème que celle que vous proposez.

Alors, pas d'équivalence, hein !?

Représentez l'illustration de

(a-b)2 = a2-2ab+b2

et de rien d'autre, sinon ...

(Hé ! Ho ! Ce n'est qu'un jeu ...)

[invite18b0c053]

bonjour,
je suis nouveau et je ne sais pas si je comprends bien l'enjeu du problème. Cependant, j'essai quand même.

Pour commencer, supposer que la longueur a soit supérieure à la longueur b.
Ensuite, dessiner un simple carré (ABCD) de côté a.
Dans le coin A du carré (ABCD), dessiner un autre carré (AEFG) (les deux carrées dessinés ont un coin en commun) de côté b de telle sorte que le plus petit des 2 soit à l'intérieur du plus grand (cela impose que les côtés des carrés soient parallèles !).
Si le remplissage des formes géométriques est possible, colorier les 2 rectangles de dimensions a*b.
Les figures géométriques a^2, b^2, a*b (en 2 exemplaires) et (a-b)^2 figurent sur le dessin.

???

on peut aussi dessiner ABCD, soustraire une bande a*b, ajouter le petit carré AEFG, puis retirer la seconde bande a*b. Il reste (a-b)^2.

je ne sais pas ce que ça vaut ?

[mary.shostakov]

Pour commencer, supposer que la longueur a soit supérieure à la longueur b.
Ensuite, dessiner un simple carré (ABCD) de côté a.
Dans le coin A du carré (ABCD), dessiner un autre carré (AEFG) (les deux carrées dessinés ont un coin en commun) de côté b de telle sorte que le plus petit des 2 soit à l'intérieur du plus grand (cela impose que les côtés des carrés soient parallèles !).
Si le remplissage des formes géométriques est possible, colorier les 2 rectangles de dimensions a*b.
Les figures géométriques a^2, b^2, a*b (en 2 exemplaires) et (a-b)^2 figurent sur le dessin.

Il manque le tracé des 2 rectangles de dimension ab et la représentation de la soustraction de ces 2 rectangles.

on peut aussi dessiner ABCD, soustraire une bande a*b, ajouter le petit carré AEFG, puis retirer la seconde bande a*b. Il reste (a-b)^2

C’est la description d’une série d'actions successives mais pas celle d’une figure. C'est la figure qui doit représenter cette série d'actions.

[mary.shostakov]

Premier indice : La solution passe par la représentation d'un espace-temps.

Deuxième indice : Les actions successives doivent être représentées le long de l'axe t de cet espace-temps.

Troisième indice : Il est possible d'employer des couleurs pour faciliter la compréhension, mais ce n'est pas nécessaire.

[Médiat]

mais cette équivalence ne fait pas plus partie des données du problème que celle que vous proposez.

Je ne vois pas dans l'énoncé, l'interdiction d'utiliser l'égalité.

La solution passe par la représentation d'un espace-temps

Je ne vois pas dans l'énoncé l'autorisation d'utiliser le temps.

Je vous propose une autre énigme : devinez à quel cardinal je pense. Un indice : difficile de le considérer comme petit.

[mary.shostakov]

Je ne vois pas dans l'énoncé, l'interdiction d'utiliser l'égalité.

L'énoncé traite d'une seule égalité, celle qui est représentée, et pas une autre. Aucune manipulation algébrique n'est permise. L'égalité doit être représentée dans sa forme exacte.

Je ne vois pas dans l'énoncé l'autorisation d'utiliser le temps.

Le temps fait partie des éléments représentables en géométrie. Il n'est pas plus cité dans l'énoncé que la représentation coloriée, la translation des surfaces et l'utilisation des coordonnées cartésiennes, y compris celle qui exprime t (ce qui fait un paquet d'indices de plus...).

Je vous propose une autre énigme : devinez à quel cardinal je pense. Un indice : difficile de le considérer comme petit.

Attention ! Ici, c'est moi qui pose l'énigme !

[mary.shostakov]

Pour aller jusqu'au bout des raisons de la réfutation de toute équivalence :

(a-b)2 = a2-2ab+b2

(a-b)2 - a2-2ab+b2 = 0

0 = 0

Nous pouvons représenter cette équivalence par deux éléments vides (deux feuilles blanches par exemple), ce qui est absurde. Non ?

[Médiat]

Vous n'avez toujours pas trouvé le cardinal auquel je pense.

[Médiat]

Plus gentiment :

Toute personne ayant un tout petit peu le sens de la géométrie peut voir que le dessin que je propose plus la petite astuce démontre graphiquement votre identité remarquable, ce que ne fait pas l'égalité 0 = 0 ; vous saisissez la diférence ?

[mary.shostakov]

Il ne faut pourtant pas être un bien grand mathématicien pour remarquer que

a² - 2ab + b² = a² -2(a-b)b - b²

peut aussi s'écrire :

(a² - 2ab + b²) + 2(a-b)b + b² = a²

Et il n'y a plus d'aire négative.

Premièrement, si, il reste une aire négative : - 2ab

Deuxièmement, lorsqu'on passe de la première égalité à la seconde égalité, on ne réécrit pas la même égalité, on se sert des même termes pour en écrire une autre, différente, et

(a-b)2 ≠ a2

sauf si

b = a/2

ce qui représente un cas particulier qui ne fait pas partie de l'énoncé.

[mary.shostakov]

Pour le cardinal, j'hésite entre Mazarin et Richelieu.

[Médiat]

Premièrement, si, il reste une aire négative : - 2ab

Et non, car l'équation que vous citez permet d'écrire :

(a-b)² + 2(a-b)b + b² = a², équation visible sur le dessin que j'ai proposé.

Deuxièmement, lorsqu'on passe de la première égalité à la seconde égalité, on ne réécrit pas la même égalité, on se sert des même termes pour en écrire une autre, différente,

Et alors ? Pourvu que ces égalités aient la même signification, je ne vois pas de problème.

et

(a-b)2 ≠ a2

sauf si

b = a/2

ce qui représente un cas particulier qui ne fait pas partie de l'énoncé.

Vous semblez penser que l'équation (a² - 2ab + b²) + 2(a-b)b + b² = a² est équivalente à (a-b)² = a², dans ce cas, je crois qu'il vous faudrait revoir les bases du calcul.

[Médiat]

Pour le cardinal, j'hésite entre Mazarin et Richelieu.

Non, mais cherchez encore. Un indice : vous n'approchez même pas de la réponse.

[mary.shostakov]

...l'équation que vous citez permet d'écrire :
(a-b)² + 2(a-b)b + b² = a², équation visible sur le dessin que j'ai proposé.

L’énoncé demande de représenter
(a-b)2 = a2-2ab+b2
Toute autre équation est donc proscrite.
L’équation
(a-b)² + 2(a-b)b + b² = a²
est une équation différente de celle qui est indiquée à l’énoncé. Elle est donc proscrite au même titre que n’importe quelle autre équation.

... lorsqu'on passe de la première égalité [a² - 2ab + b² = a² -2(a-b)b - b²], à la seconde égalité [(a² - 2ab + b²) + 2(a-b)b + b² = a²], on ne réécrit pas la même égalité, on se sert des même termes pour en écrire une autre, différente ...

Et alors ? Pourvu que ces égalités aient la même signification, je ne vois pas de problème.

L’énoncé demande de représenter
(a-b)2 = a2-2ab+b2
Toute équation différente est donc proscrite, quelle que soit sa signification.

Vous semblez penser que l'équation (a² - 2ab + b²) + 2(a-b)b + b² = a² est équivalente à (a-b)² = a²

Ce n’est pas ce que je dis, puisque j’emploie le signe d’inégalité (≠) entre le terme (a-b)2 et le terme a2.
Je dis :
(a-b)2 ≠ a2
Je dis par conséquent que l’équation
(a² - 2ab + b²) + 2(a-b)b + b² = a²
n’est pas équivalente à l’équation
(a-b)² = a²
Je dis q'elle est différente et qu’à ce titre, elle est proscrite.

[mary.shostakov]

Pour le cardinal, j’hésite maintenant entre Wojtyła et Ratzinger.

[Médiat]

Je dis :
(a-b)2 ≠ a2
Je dis par conséquent que l’équation
(a² - 2ab + b²) + 2(a-b)b + b² = a²
n’est pas équivalente à l’équation
(a-b)² = a²

C'est bien vous êtes en progrès, allez, je vous aide un peu elle n'est pas non plus équivalente à a²+c² = 12, mais si vous voulez la liste complète des équations à laquelle elle n'est pas équivalente, cela va prendre un un peu de temps !