0,99999… = 1 ?

[invite6754323456711]

Bonsoir,

Si on pose : x = 0, 99999…, alors :

10 x = 9, 9999…
10 x – x = 9,9999… – x
9 x = 9,9999… – 0,9999…
9 x = 9
x = 1

d’où : 0,99999… = 1


Patrick
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[erik]

Bonsoir

voir :

http://forums.futura-sciences.com/ma...ematiques.html

[invite6754323456711]

Bonsoir

voir :

http://forums.futura-sciences.com/ma...ematiques.html

Oui. Mon intention était juste d'en donner une "démonstration" ludique.


Patrick

[invité576543]

Déjà cité dans le passé :

on pose x = ...999

10x = ...9990 = x-9

donc 9x = -9 donc

...999 = -1

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Ou encore

on pose x = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ....

1 - x = 1 - 1 - 1 + ... = x

donc 1 = 2x

donc x =1/2


N'est-ce pas une belle méthode de démonstration? Faut-il la conseiller à nos chères têtes blondes?

Cordialement,

[invité576543]

Toujours plus fort :

x = 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + ...

2x = 2 - 4 + 8 - ...

donc 1 - 2x = x

et x=1/3


Euler aurait même démontré par ce genre de méthode (un peu plus compliqué...) que

1! - 2! + 3! - 4! + 5! - 6! + ...

serait de l'ordre de 0.66

Cordialement,

[stefjm]

J'adore!
Par exemple :
http://irem.u-strasbg.fr/php/article..._divergent.pdf

Abel, Borel, Euler, Cesàro à propos de séries divergentes.

C'est très amusant et surtout très physique!

Perso, je n'ai jamais trop compris qu'on puisse remplir et peindre une infinité de cube sans trouver de hangard assez haut pour les empiler. (Enigme classique : Trouver une relation pour le coté des cubes qui permet cela...)

[invite6754323456711]

Bonjour,

L'infinité a vraiment un coté magique et poétique.

Patrick

[invite2ba75453]

Une fois en L1, un prof de math m'a posé la question, j'ai une démonstration plus rapide !!

1=1
1=3/3
1=3*(1/3)
1=0.999999 ^^ meme pas besoin de passer par une inconnue !!

[aligator427...]

salut,

a2 - a2 = a2 - a2

(a+a).(a-a) = a.(a-a)

2a.(a-a) = a.(a-a)

2a = a

2 = 1

dire que le zéro n'apparaît dans notre civilisation qu'au moyen âge

[invité576543]

Une fois en L1, un prof de math m'a posé la question, j'ai une démonstration plus rapide !!

Sauf qu'il faudrait démontrer que 0.333... = 1/3, ce qui est pas plus pas moins compliqué que démontrer que 0.9999...=1

Cordialement,

[Thomas markley]

Une fois en L1, un prof de math m'a posé la question, j'ai une démonstration plus rapide !!

1=1
1=3/3
1=3*(1/3)
1=0.999999 ^^ meme pas besoin de passer par une inconnue !!

1=1
1=3/3
1=3/1 * (1/3)
1=3 * 0,333_
1= 1

ton prof de math, fait un beau raccourcis

0.999l n'est pas 3 * 0.333l

3 * 0.333 = 1 hihihi pure illusions

0.999l est l'ecriture numérique d'une fraction impossible à ecrire, 0.000l ...1 ou le 1 est toujours le dernier chiffre après une suite infinis de zero.

si 0.999l est une fraction, alors nécéssairement il existe un second membre de la fraction permettant d'aller de 0.999l à 1 un peu comme 0.666l est le reste de la fraction de 0.333l (2/3 + 1/3)

une fraction est comme un pourcetage si l'on a 20% d'un coté l'on a forcément 80% de l'autre, et ce contrairement à une division qui consiste à extraire le numérateur ou le quotient. une fraction est une opérande relative a une quantité considéré comme tout, tendis que la division reste une recherche d'un diviseur logique.

impossible de confondre donc une écriture fractionnaire et une écriture numérique.

quand a 0.999l on ne peux l'obtenir qu'en lui soustrayant 0.000l...1 il me semble que ce nombre n'existe donc que sur le papier, et relève plus du jeu d'écriture qu'autre chose.


3 * 0.333l = 1 et non 0.999l la volonté de vouloir démontrer l'impossible fait que l'on se mystifie soi-même... 0.999l n'existe que si on lui enlève un nombre quasi indescriptible, mais pensable, et si l'on accepte l'un alors l'on accepte aussi le 0.000l...1 comme valide.. il me semble que les deux sont imposibles, comme une division par zero. les tentatives de démonstration sont donc au moins fausse du moins savament tronqué pour contourner un problème qui n'existe pas ou du moins qu'en apparence.

1/ 3 = 0.333
donc 3 x 0.333 = 1

le 0.999l n'existe pas.

[Médiat]

0.999l est l'ecriture numérique d'une fraction impossible à ecrire

Je sais que je perds mon temps, mais il le faut bien ....

0.999l = 1/1 pas si impossible que ça comme fraction.

Pour les preuves, il suffit de faire une recherche sur ce forum ; cela peut être l'occasion de faire la différence entre un nombre et une écriture de ce nombre.

[Thomas markley]

ouaip, c'est une chinoiserie....

1 milliards de chinois sont tous d'accords, sauf un: l'empereur...

si 0.999l = 1 alors c'est faire l'impasse sur l'empereur, il a beau n'être qu'un reste, un être seul dans une fraction l'on ne peu lui passer dessus.

999 999 999 de chinois ça ne fait pas 1 milliard, mathématiquement il t'en manqueras toujours 1 pour avoir l'unanimité.

quand au nombre ainsi que les chiffres se ce ne sont que des idées, il n'y a que des quantités a mesurer... voir l'écriture cunéiforme et l'approximation des chiffre romain, ou encore les méthodhe de comptabilité avec un boulier.

les chiffres ne sont que des représentations(signes) plus ou moins bien ordonné, les nombres des arrangements normé de ses signes, comme la suite(soit disant) naturelle 1,2,3,4,5,6 etc... la suite naturelle etant (I,II,III,IIII,IIII,etc) celle que l'on trouve sur les dés 6faces, et les dominos

le plus difficiles pour moi est d'imaginer comment enlever une partie infiiment petite à 1 pour "pouvoir" écrire 0.999l
sinon comment justifier cette écriture? si elle est égale à 1 elle est inutile et relève plus du jeu d'esprit que de toute réalité mathématique pour peu qu'il y en ait une.

[invité576543]

le plus difficiles pour moi est d'imaginer comment enlever une partie infiiment petite à 1 pour "pouvoir" écrire 0.999l

Manifestement.

C'est par y arriver qu'il faudrait commencer, c'est à dire comprendre la notion de passage à la limite, ou de convergence d'une suite infinie.

sinon comment justifier cette écriture? si elle est égale à 1 elle est inutile

Certes. Mais comme des écritures comme 0.3333... sont usuelles, le cas 0.9999... se pose naturellement.

Il faudrait limiter l'écriture de nombres avec des chiffres après la virgule aux fractions décimales. Cela élimine aussi bien 0.999... que 0.333... Pourquoi pas, mais ce n'est pas très commode.

et relève plus du jeu d'esprit que de toute réalité mathématique pour peu qu'il y en ait une.

Ce genre de réflexion montre un manque de profondeur de réflexion sur le sujet.

Cordialement,

[invite765732342432]

0.999l n'est pas 3 * 0.333l

Pourquoi ?
si tu multiplies à la main 0.333l par 3 combien obtiens-tu ? Ca semble pourtant assez facile à calculer, il n'y a pas de retenue:
0.3*3 = 0.9
0.33*3 = 0.99
0.333*3 = 0.999
Pourquoi 0.333l serait-il différent de 0.999l ?

[Thomas markley]

Prend une tablette de chocolat faith divise-là en 3... 3 tiers donc
recompose là une tablette entière

tu n'est pas passé passé par le 0.999l

tu ne peux l'obtenir qu'en passant ton doigt sur la tablette de chocolat et en "enlevant" quelques atomes.. ainsi tu fractione 1 en 2 parties, l'une de 0.000l...1 et l'autre de 0.999l

de la même façon que l'on fait un pourcentage. a 80% correspond toujours 20% "de" quelques choses, et c'est ce qui différencie le fractionnement de la division.

Mediat, au mieux, cette fraction 0.999 est asymptote quand elle tend ves 1 elle y tend mais ne l'atteind jamais. il reste toujours en supend le terme "annulateur" de la fraction, ou du pourcentage.

[Médiat]

Mediat, au mieux, cette fraction 0.999 est asymptote quand elle tend ves 1 elle y tend mais ne l'atteind jamais. il reste toujours en supend le terme "annulateur" de la fraction, ou du pourcentage.

Je savais que je perdais mon temps, mais de là à apprendre qu'un nombre est "asymptote"...

Cela ne vous dérange pas d'être en contradiction avec 100% (ou 99,999| %) des mathématiciens ?

[invite765732342432]

Prend une tablette de chocolat faith divise-là en 3... 3 tiers donc
recompose là une tablette entière

Et si tu répondais à la question ?
Parce que les tablettes de chocolat divisées en 5 et les tartes coupées en 3, c'est au CM1 qu'on fait ça. Après, on devient grand et on calcule "dans le vide" sans avoir besoin de découper dans sa tête des gâteaux ou des sacs de billes.

Donc, combien valent 0.333l * 3 ?

[Thomas markley]

cher mediat, les nombres infini sont par éssence infini, n'ayant pas de fin connue, leur représentation, leur approximations peuvent "tendre vers" et avoir des limites,

ici, l'on a afaire a deux principes infinis, l'un tendant a l'infini vers 1 et sa contrepartie tendant vers l'infiniment petit.

plus qu'a un nombre, c'est plutôt un dévellopement d'une suite tendant vers deux types d'infini, et l'un étant la fraction inverse de l'autre et ces deux nombres infinis sont égal à 1

il est impossible de poser une fraction a 1 seul terme, on la confond bien trop souvant avec une division.

c'est croire qu'une fraction, ou un pourcentage n'a qu'un seul terme qui peux donner a croire ou à réflechir que sur la partie visible "exprimé" de la fraction.

à 1/3 correspond toujours 2/3, comme à 80% corespond toujours 20% je ne vous apprend rien.

quand au argument d'autorité, 2+2 font toujours 4, et une fraction de 1 ne peux être, par éssence, par principe même du fractionement egal à 1.

avant l'heure c'est pas l'heure, et après non plus, et 1 c'est 1, si l'on fractionne cette unité, elle n'est plus entière, si l'on passe son doigt sur l'étalon du kilogramme au pavillon de sèvre, il ne feras plus 1 kilo.

si l'on peux ecrire la fraction 0.999l c'est que nécéssairement une partie non exprimé a été soustraite à 1, sinon cette écriture ne se justifie pas. mais comme cette écriture se justifie d'elle-même parceque simplement nous sommes dans la caapcité de l'écrire, il ne reste plus qu'a savoir à quoi elle correpond.

si c'est une fraction alors elle décrit une des parties d'une unité fractionné... d'un 1 quelconque.
or pour obtenir 1 il faut réunir toute les parties(fraction) de celui-ci.

et si l'on a pu écrire 0.999l c'est qu'une opérande a été effectué sur 1 que cette opérande est un fractionnement et qu'il y a nécéssairement d'autres termes pour obtenir 1. ici, 0.999l se combine avec 0.000l...1 pour obtenir 1

par principe cette écriture ne peut-être égale à un, c'est une question de principe, on les respecte ou pas. ou bien l'on se définie dans un espace ou il n'y a aucun principe ni règle, mais dans ce cas il n'y a pas de calcul non plus qui puisse-être valide.

0.999l ne saurait exister tout seul puisqu'il est le produit d'une fraction. 2/3 d'une tablette de chocolat il y a toujours 1/3 de reste a cette opérande sur l'unité de référence.

ultra-simple, mais il ne faut pas oublier le principe du fractionnement et surtout ne pas le confondre avec la division, ou l'on ne cherche a extraire qu'une racine (celle-ci pouvant être carré)

presque trop simple il me semble. quand l'on voit les devellopements pour faire que cette fraction 0.999l deveinne de force égale à 1 c'est assez amusant. (y manque quelqueschoses, mais quoi ) presque rien nous disent les mathématiciens, tellement pas grand chose qu'avec tout un tas de calculs complexe l'on fini par "user" ce petit rien, qui finit par disparaitre et permettre enfin de dire que cette fraction 0.999l est enfin égale à 1

le calcul que propose aurélien est tout a fait typique de cette volonté de démonstration qui finit par passer sur les principes même de l'opérande permettant d'ecrire ce nombre...

T.Markley assez amusé donc du foin fait autours de ce petit rien "l'irréductible empereur des chinois qui bien que 100% selon médiat, ne sont et ne seront jamais que 0.999l, il en manqueras toujours une infime et infinie partie"

question de principe, mais l'on ne passe pas sur l'empereur. puisque l'empereur a toujours le dernier mot même si il a tort (c'est pas démocratique les maths et la logique cher Médiat)

Envoyé par aurelien1558
Une fois en L1, un prof de math m'a posé la question, j'ai une démonstration plus rapide !!

1=1
1=3/3
1=3*(1/3)
1=0.999999 ^^ meme pas besoin de passer par une inconnue !!

[polo974]

...

0.999l n'est pas 3 * 0.333l

pourtant ma table de multiplication par 3 me dit bien 3 * 3 = 9
sans retenue, donc chaque décimale de .333| multipliée par 3 donne 9
et comme (a+b)*c= a*c+b*c
.999|= 3* .333|

3 * 0.333 = 1 hihihi pure illusions
....

étant donné que 1/3 = .333|, on peut assez raisonnablement dire que 3 * .333| = 1
(c'est mathématique comme dirait l'autre)

Ce n'est pas un problème de nombre,
c'est un problème de représentation de nombre!

[invite765732342432]

Et donc, Thomas markley, combien font 0.333l*3 ?

[Médiat]

cher mediat

Inutile d'ajouter des "cher" de pure inconvenance devant mon pseudo, surtout en incluant deux fautes d'orthographes sur 6 lettres, pour essayer de créer une fausse promiscuité qui n'a aucune chance d'être.

les nombres infini sont par éssence infini, n'ayant pas de fin connue, leur représentation, leur approximations peuvent "tendre vers" et avoir des limites,

Ah bon, je savais pas que 1 était infini, voilà de quoi révolutionner les mathématiques, ou plutôt de quoi révolter les mathématiciens.

et bla bla bal et bla bla bal

Comme je l'ai écrit dans mon premier post sur ce fil : cherchez les preuves sur ce sujet (sur ce forum ou sur tous les forums de mathématique), et si vous ne les comprenez pas, cherchez encore : c'est vous qui avez tort (et tant que vous ferez de l'arithmétique avec des tablettes de chocolat, vous n'aurez aucune chance de comprendre).

Juste un dernier conseil : continuez de vous amusez du foin si cela vous plait, mais arrétez de le fumer (c'est la seule excuse que je vous trouve).

Signé : l'Empereur !

[invité576543]

Bon... Ce n'est pas un sujet pour discuter. On peut aider ceux qui veulent apprendre et comprendre, mais les autres ne valent pas qu'on perde son temps.

Pour ma part, je n'interviendrai plus pour répondre à TM.

Cordialement,

[invite29879f34]

Bonjour!

salut,

a2 - a2 = a2 - a2

(a+a).(a-a) = a.(a-a)

2a.(a-a) = a.(a-a)

2a = a

2 = 1

dire que le zéro n'apparaît dans notre civilisation qu'au moyen âge

Euh, tu n'aurais pas diviser par zéro?

Ben on comprend pourquoi on a inventé le zéro et que les profs nous tapaient sur les doigts lors qu'on divise par zéro!

[manu3838]

Bonjour,

On m'a parlé de cette égalité il y a longtemps déjà, mais je n'arrive pas à m'y résoudre. Je suis pas un mathématicien, mais en regardant les différentes démonstration, je trouve à chaque fois des éléments qui me semblent litigieux (voir ci après). Alors si vous pouvez me dire ce qui cloche dans mes raisonnements !

1) D'un point de vu du vocabulaire, admettre que 0,999... = 1 revient donc à dire que l’infini est égal au fini, or, les définitions usuelles (Larousse) des termes infini et fini sont très clairement contraires….

2) Démonstration 1/3 = 0,333...

1/3 = 0,333...
3 * 1/3 = 3 * 0,333...
1 = 0,999...

Points litigieux
- Est ce que 1/3 = 0,333...*? Car en admettant cela on admet ce que l’on veut démontrer*!
On peut en effet considérer que 0,333... n’est pas à proprement parler égal à 1/3, mais plutôt une valeur approchée qui ne l’atteint jamais, puisque infini (de même que 1 serait une valeur approchée de 0,999...).
S’il s’agit d’une approximation, il en va de même avec le résultat final.
- Par ailleurs, on peut se demander comment multiplier un nombre fini avec un nombre infini à un sens ?

3) Démonstration x = 0,999...

x = 0,999...
10 * x = 9,999...
10 * x - x = 9,999... - x
9 x = 9,999... - 0,999...
9 x = 9
x = 1
0,999... = 1

Points litigieux
- Ici encore on peut se demander comment multiplier un nombre fini avec un nombre infini à un sens*?
En effet, dire que 10 * 0,999... = 9,999... est litigieux car, si l’on considère que
d’un côté
10*0,999... = 0,999... + 0,999... + 0,999... + 0,999...+ 0,999...+ 0,999...+ 0,999...+ 0,999...+ 0,999...+ 0,999...

et que de l’autre
9,999... = 9 + 0,999... = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0,999...

On serait tenté de dire que l’on a discrètement remplacer neuf 0,999... gênants par des 1 puis, par un tour de magie, fait disparaître le dernier 0,999.... On en revient à la démonstration passant par 1/3 en admettant ce que l’on souhaite démontrer au lieu de le démontrer.

Est-il donc réellement possible d'utiliser la multiplication et soustraction sur des valeurs infinies*?

4) Démonstration des réels différents

"si 2 nombres réels sont différents, alors il en existe au moins un 3ème entre les deux, différent des deux autres". Or, on ne peut pas intercaler de nombre entre 0,999... et 1 ; ils sont donc égaux.

Points litigieux : Dire que l’on ne peut pas intercaler de nombre entre 0,999... et 1 ressemble plus à une affirmation qu'à une démonstration

5) Démonstration suite géométrique et limites

Sans reprendre toute la démonstration, l'élément qui me dérange c'est que, si j'ai bien compris, la somme d'une telle suite TEND vers une limite. La limite peut donc bien être égale à 1 sans pour autant qu’on l’atteigne ou que l’on puisse l’atteindre ! Une fois de plus, il me semble que l'on en revient à approximé le résultat par sa limite, mais pas à prouver que c'est une égalité stricte ?

[ansset]

bjr, je ne suis pas du tout un pro de la formalisation mathématique.
il me semble que l'écriture 0,9999........ n'est pas mathématique.
en revanche ce qu'on peut écrire c'est

[ansset]

je veux dire que si la série est convergente, l'écriture avec +l'inf signifie implicitement qu'il s'agit d'une limite.

[PlaneteF]

Bonsoir,

5) Démonstration suite géométrique et limites

Sans reprendre toute la démonstration, l'élément qui me dérange c'est que, si j'ai bien compris, la somme d'une telle suite TEND vers une limite. La limite peut donc bien être égale à 1 sans pour autant qu’on l’atteigne ou que l’on puisse l’atteindre ! Une fois de plus, il me semble que l'on en revient à approximé le résultat par sa limite, mais pas à prouver que c'est une égalité stricte ?

Par définition, l'écriture , ou mieux , est égale à :

--> Il n'y a pas la moindre approximation, c'est une égalité.

Or cette limite, elle est égale à --> Là encore pas la moindre approximation, c'est une égalité ... Au besoin je te laisse le soin de revoir la définition d'une limite.

Il n'y a rien d'autre à ajouter, on ne fait qu'appliquer les définitions de bases et les règles en vigueur.

Conclusion définitive :


Cordialement

[Olivzzz]

Bonsoir,

On pourrait ajouter que si 0.999... (périodique), n'était pas égal à 1 cela signifierait qu'entre ces 2 nombres il y a un intervale, et qu'on pourrait donc écrire un nombre situé à mi-chemin de cet intervale... un nombre plus grand que 0.999... (périodique) mais plus petit que 1 : (0.999... + 1) / 2, par exemple ?