Terre trouée

[frcfrc]

Bonjour,
A supposer que l'on puisse creuser un trou cylindrique d'environ 10 mts de diamètre
A supposer toujours que ce trou mesure 12000 Kms de distance (en passant naturellement par le centre de la terre)
A supposer encore que la paroi de ce tunnel soit formée d'une matière parfaitement rigide et résistante aux très hautes T°
A supposer enfin que chaque extrémité se trouve bien à l'air libre et donc non submergée,

Après un temps de latence indéterminé destiné à égaler les pressions (?), que va-t-il se passer si par une extrémité je jette
une sphère d'aluminium d'un poids de 1 tonne?
Peut-on penser qu'elle se stabilisera au centre de la terre et si c'est le cas peut-on calculer en combien de temps elle atteindrait cette stabilité

J'avoue que ce problème m'apparaît plus trivial et ludique que scientifique mais la qualité et la définition de ce forum me semblent s'y prêter.

Merci de vous amuser à me répondre
Question subsidiaire : Les résultats sont-ils équivalents si ce tunnel est vertical (Pôle-Pôle), horizontal (les 2 extrémités au niveau de l'équateur
ou de position indifférente (par exemple : France - Nouvelle Zélande)
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[Amanuensis]

Il y a eu plusieurs discussions dans le passé sur le sujet.

Une réponse directe sur un point: ce n'est pas équivalent dans le cas pôle-pôle ou autre: la différence est la rotation de la Terre, qui amène un frottement latéral minimal dans le cas pôle-pôle et maximal pour une traversée équatoriale ; on peut présenter cela avec la «force» de Coriolis.

Par ailleurs la question de la stabilisation est compliquée à cause de l'air (frottements là encore). Il est utile d'étudier d'abord le cas sans frottement (sans air et pôle-pôle), la seule force à prendre en compte étant alors la gravitation.

[iharmed]

Voir discution "vouyage au centre de la terre" 26/12/2017 puis revenir

[frcfrc]

Dois-je donc attendre encore 3 mois pour la réponse (forum du 26/12/2017 ?!!)

[A voir en vidéo sur Futura]

[iharmed]

Desole c'est 26/12/2016.

[masterclassic]

Voir discution "vouyage au centre de la terre" 26/12/2017 puis revenir

... puis revenir au 17/9/2017
:P

Je ne sais pas s' il est permis de citer une discussion dans un autre forum, mais il y a une discussion relative dans ce lien
http://www.webastro.net/forum/showthread.php?t=74314
Elle concerne la variation de la pesanteur à l' intérieur de la terre (regarder sutrout les 2 dernières pages).

Quant à moi, pour le cas du trou entre les poles et sous l' hypothèse d' une terre parfaitement homogène, je dirais d' après la nature symétrique du problème qu'il y aura un mouvement de type oscillation à amplitude se réduisant peu à peu à cause du frottement de l' air. Il faudra oublier aussi les éventuels courants d' ait dus aux différences de tempéture (on suppose donc que le matériau do revêtement du tunel sera non seulement super résistant, mais aussi super isolant.

Bonne nuit

[JPL]

Comme on discute sur une expérience de pensée on peut prendre l’hypothèse simplifiée du trou aux pôles et sans atmosphère, donc aucun frottement. La question est alors de savoir si on aurait à la fin une oscillation de part et d’autre du centre de la terre ou bien au contraire si l’objet n’arrive au centre de la terre qu’après un temps infini. Il y a certainement une formule mathématique simple, mais je ne sais pas la poser.

[iharmed]

Nous sommes miniscules paraport a la tere, elle nous tire vers son centre.
La force de ca traction diminue en se rapprochant du centre et la on resentira les forces de tractioń des autres objets principalement le soleil mais la terre est en rotation et firece centrifuge nous pousse en devient en aposenteur parraport au soleil comme dans une satelite

[masterclassic]

Comme on discute sur une expérience de pensée on peut prendre l’hypothèse simplifiée du trou aux pôles et sans atmosphère, donc aucun frottement. La question est alors de savoir si on aurait à la fin une oscillation de part et d’autre du centre de la terre ou bien au contraire si l’objet n’arrive au centre de la terre qu’après un temps infini. Il y a certainement une formule mathématique simple, mais je ne sais pas la poser.

Bonjour.

Je pense au scenario des oscillations.
Depuis la surface jusqu' au centre, il y a toujours une force (resultante) qui dirige l' objer vers le centre. Cette force diminue le long du trajet, donc l' accélération sera de plus en plus faible, jusqu' à devenir 0 au centre. Mais accélération 0 ne veut pas dire vitesse 0, ca veur dire tout simplement vitesse constante. Jusqu'à ce point il n' y a rien qui freine le mouvement, la vitesse ne peut donc pas diminuer.

Lorsque l' objet passe au delà du centre, une force de pesanteur e direction inverse commence à s' exercer sur l' objet, on aura donc une décélération légère au debut, qui augmentera au fur et à mesure. C' est alors une question de calcul différentiel, comme au cas de la pendule.

[frcfrc]

Merci Masterclassic , c'est effectivement le début de la réponse à laquelle je m'attendais.
Mais je voudrai plus : comment calculer , à la suite de nombreux aller-retours avec perte progressive d'amplitude, le moment où ma sphère s'immobilisera enfin au centre terrestre.
(nous sommes bien entendu toujours dans un cadre hypothétique dont la trivialité n'a d'égale que la curiosité !)
Par ailleurs une même idée en prenant la lune comme référence et non plus la terre rendrait peut être un peu plus plausible le contexte pseudo expérimental !

[Amanuensis]

S'il n'y a pas de frottements, les oscillations durent indéfiniment (conservation de l'énergie).

S'il y a des frottements, c'est compliqué à calculer et cela demande pour commencer la formule précise donnant les frottements en fonction de la position et de la vitesse.

Le problème est équivalent à celui d'un pendule ou d'un système masse-ressort, la différence est l'expression de l'énergie potentielle en fonction de la position.

[invite36041331]

Salut,

Réponse : on en sait rien tant qu'on aura pas fait l'expérience, tout le reste n'est que spéculation ou prédiction ratée.

Bonne journée.

[ansset]

bjr, je rajoute qu'il faut certainement au préalable un modèle de g(h) ( gravité en fct de la profondeur ) avant de proposer une équation.
même en commençant par écrire que F=-Kv ( frottements )

[frcfrc]

A Amanuensis :
Vous voulez dire que si on élimine les frottements , on obtient un mouvement perpétuel de la sphère d'aluminium entre les deux ouvertures du tunnel et donc que ceci serait réalisable peut être pas sur la lune (trop grosse) mais sur un petit astre sphérique évoluant dans le vide et ayant une gravité non négligeable . Je reste sceptique mais sans savoir pourquoi !

[Amanuensis]

A Amanuensis :
Vous voulez dire que si on élimine les frottements , on obtient un mouvement perpétuel de la sphère d'aluminium entre les deux ouvertures du tunnel et donc que ceci serait réalisable peut être pas sur la lune (trop grosse) mais sur un petit astre sphérique évoluant dans le vide et ayant une gravité non négligeable .

Oui .

[ansset]

bjr, je rajoute qu'il faut certainement au préalable un modèle de g(h) ( gravité en fct de la profondeur ) avant de proposer une équation.
même en commençant par écrire que F=-Kv ( frottements )

il fallait lire plutôt -Kv² ( pardon )
quand à la variation de g, elle n'importe que s'il y a frottements.
et si la resistance ( frottements et autres) sont important, il me semble probable que la vitesse limite soit atteinte assez vite, ( facteur plus important que les variations de g)

[masterclassic]

il fallait lire plutôt -Kv² ( pardon )
quand à la variation de g, elle n'importe que s'il y a frottements.
et si la resistance ( frottements et autres) sont important, il me semble probable que la vitesse limite soit atteinte assez vite, ( facteur plus important que les variations de g)

Pour le frottement à l'air, c'est bien v². Pour d'autres formes de frottement (par exemple sur les parrois) ce sera probablement différent, je n'en sais pas.

En ce qui concerne le modèle de la force de pesanteur, regardez un peu le lien webastra que j'ai déjà posté. Il y a une méthode présentée à la dernière page (ou les 2 dernières pages) de la discussion. Il faut maitriser un peu les dérivées partielles. Je l'ai vu un peu trop vite, je n'ai pas suivi les détails. Dans ces calculs on voulait tenir compte du changement de densité de la terre avec la profondeur: la différence de densité des couches influence la force selon la position.

[masterclassic]

Une autre chose encore:

si le frottement est très grand, il est possible que notre boule ne pourra pas réussir à faire une oscillation complète.
C'est le cas du mouvement d' un liquide très visqueux dans un tube de forme U. Si on met de l'eau, il y aura des oscillations de plus en plus faibles à cause des pertes d'énergie. Si on met un liquide très visqueux il n'y aura qu' une oscillation incomplète.

Cela n' est pas probable dans l'air, mais je pensais à Cassini très à la mode les dernières semaines à Saturne, où il a rencontré une atmosphère de méthane avec une pression atmosphérique bien plus importante que celle de la terre (1 bar déjà à une très grande altitude).

[ansset]

si le frottement est très grand, il est possible que notre boule ne pourra pas réussir à faire une oscillation complète.
.

j'en suis bien d'accord, c'est le pourquoi de mon dernier post.
rappel , le post inital parle d'un trou assez large / taille de l'objet lâché.
donc pour simplifier le modèle, je ne prend que les résistances à l'air , telles qu'elles sont présentées.

dans ce cas même "réduit" , la résistance à l'air suffit il me semble à atteindre une vitesse limite assez vite.
et de surcroit la gravité baisse , ce qui n'arrange pas "l'affaire".

[masterclassic]

dans ce cas même "réduit" , la résistance à l'air suffit il me semble à atteindre une vitesse limite assez vite.
et de surcroit la gravité baisse , ce qui n'arrange pas "l'affaire".

Autre problème:
Si on a une boule minuscule dans un trou très large, ça va. Mais autrement il y aura une résistance supplémentaire à cause de la surpression par la présence de la boule dans le conduit. C'est un peu le problème du mouvement d'un train ou autre véhicule dans un tunnel.

[iharmed]

Ne pas oublier si l'attraction de la terre devient nulle l'attraction du soleil est la

[ansset]

cela a peu de chose à voir avec l'exercice de pensée.
comment intervient-il ?

[JPL]

Je pense que dans un exercice de pensée on doit considérer une sphère homogène sans atmosphère et hors de toute autre influence gravitationnelle. Ce n’est qu’après qu’on peut compliquer.

[Tawahi-Kiwi]

Cela n' est pas probable dans l'air

A quelques dizaines de bars, l'air est supercritique. Donc a mon avis, au dela de quelques dizaines de kilometres a pression aerostatique, ca devient quand meme fort "visqueux".

Comme je l'avais dit en son temps dans cette discussion, je pense qu'on finit vite engluer dans une atmosphere supercritique (surtout si on garde le tunnel a une temperature humainement viable, l'air devient alors probablement solide a quelques centaines de kms ).

et de surcroit la gravité baisse , ce qui n'arrange pas "l'affaire".

Elle ne baisse qu'au dela de 2900km de profondeur; avant cela, elle augmente jusqu'a l'interface manteau-noyau

Credit: Wikimedia

Je pense que dans un exercice de pensée on doit considérer une sphère homogène sans atmosphère et hors de toute autre influence gravitationnelle. Ce n’est qu’après qu’on peut compliquer.

Oui, mieux vaut commencer par simple: http://tumourrasmoinsbete.blogspot.c...partie-11.html

T-K

[ansset]

re-
merci pour la courbe, je l'avais vu il y a qcq temps ( sans me souvenir de sa forme ) mais ne la retrouvais pas.
par ailleurs, j'ai "zappé" l'évolution de la pression ( facteur important ).
du coup effectivement, tel que décrit au départ un trou "rempli d'air" induit probablement que l'objet n'attendrait même pas le centre....., si ?
cordialement.

[invite36041331]

Bonjour,

J'ai interprété cette énoncé comme un énoncé de maths, avec des hypothéses judicieuses à choisir pour simplifier et répondre aux problèmes.

1/ La Terre est une sphére homogéne
2/ Le trou (cylindirque) passe par le centre de la Terre
3/L'objet est lancé au milieu du cylindre que forme le trou
4/ Seul les lois de Newton s'applique (pas de frottements)

Questions :
1/L'objet va-t-il être attirée par l'une des parois et le freiner ?
2/Les forces de Newton en s'approchant du centre vont-il former un point attracteur vers le centre ?

Réponses :
1/Non, à cause de la symétrie axiale (au centre du trou) de la distribution de la masse.
2/Non, pour les même raisons de symétrie, en se rapprochant du centre les forces de Newton s'annule.

Description de la trajectoire :
début de la chute / Accélération (due à la chute)
Approche du centre / l'Accélération diminue jusqu'au centre.
Au centre / Sans accélaration
Aprés le centre / L'énérgie cinétique en magaziner par l'objet lui permet de tomber de l'autre côté
Symétrique du point de chute / l'énergie cinétique est épuisée, les forces d'attraction reprennent le dessus, puis on refait une chute en sens inverse...ect

Ajout d'hypothése :
5/ Avec des frottements

Alors on a l'énergie cinétique qui s'épuise avec les frottements, et donc un objet qui tend à osciller de plus en plus proche du centre.

Bonne journée.

[vgondr98]

ceci serait réalisable sur un petit astre sphérique évoluant dans le vide et ayant une gravité non négligeable

Si on fait cela sur un astéroïde, c'est-à-dire de percer un tunnel passant par le centre de gravité de l’astéroïde, il faudra enlever de la matière au niveau du centre de gravité et donc ce centre de gravité changera d'emplacement.

[ansset]

Si on fait cela sur un astéroïde, c'est-à-dire de percer un tunnel passant par le centre de gravité de l’astéroïde, il faudra enlever de la matière au niveau du centre de gravité et donc ce centre de gravité changera d'emplacement.

non, pas s'il est symétrique et que l'axe du trou correspond à un axe de symétrie.

[vgondr98]

non, pas s'il est symétrique et que l'axe du trou correspond à un axe de symétrie.

Dans ce cas, je peux imaginer une trajectoire en ligne droite où les forces de gravités s'annulent (il faut que l’astéroïde soit homogène) ce qui permettrai à la boule de jouer au yoyo mais il suffirait d'un léger décalage dans le positionnement de la boule au départ (théorie du chaos) pour que la trajectoire de la boule soit aléatoire.

[ansset]

Dans ce cas, je peux imaginer une trajectoire en ligne droite où les forces de gravités s'annulent (il faut que l’astéroïde soit homogène) ce qui permettrai à la boule de jouer au yoyo mais il suffirait d'un léger décalage dans le positionnement de la boule au départ (théorie du chaos) pour que la trajectoire de la boule soit aléatoire.

certes, mais on est ici dans l'exercice de pensée théorique.
d'ailleurs si le trou est assez large/boule , le risque de collision est largement diminué.
je ne pense pas que le but était de faire un modèle "complet" ( assez difficile d'ailleurs )

ps : de surcroit un astéroïde totalement symétrique ( même du type "ballon de rugby ) n'existe pas