lim (sin (x)/x)

[invite87a1ce41]

Bonjour, ayant reçu aujourd'hui une ti-89, je m'émerveille de ses capacités, mais je constate bien vite que le calcul ne remplace pas la démonstration.

Ainsi, je voulais savoir par quel moyen on peut trouver que lim (sin(x)/x) quand x tend vers 0 égale 1.

En vous remerciant

[Bleyblue]

Avec le théorème de l'hospital c'est tout bête, tu dérives numérateur et dénominateur et ça devient


Ce théorème est une perle...
Il n'empêche que l'on peut y arriver par un autre moyen, me souvient plus comment, vais essayer de retrouver la démo dans mes notes ...

[invite16e12822]

Salut,

Tu peux toiut simplement utiliser le développement limité de sinu en0:
sin x = x -x^3/3 +x^5/25 +...
Remarque: le premier terme suffit

[invite11ca0426]

Plus simple : cette limite est le nombre dérivé de la fonction sinus en 0, car ta limite est égale à : lim[sin(x+0) - sin0]/x lorsque x tend vers 0. C'est donc égal à cos(0) soit 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

Salut,
Tu peux tout simplement voir que ...

EDIT Grillé par Benoît86 !

[invite8241b23e]

Le théorème de l'hospital est-il TOUJOURS applicable, quand un a une fraction ?

[invite87a1ce41]

ah oui, la méthode avec le nombre dérivé est très simple en effet. Merci. Par contre, le théorème de L'Hospital, bleyblue, et ta méthode, Gothal, je n'ai jamais vu ça donc je n'ai pas compris

[invite87a1ce41]

gothal, je viens de voir ça dans le manuel de ma calculatrice, ça s'appelle pas développement de Taylor ? J'ai juste remarqué que c'était une suite de nombre à la puissance n, divisé par n, mais après ça....

[invitef591ed4b]

L'Hospital n'est applicable qu'en cas d'indéterminations du type 0/0 ou infini/infini.

[invite51c9e6f8]

Bonjour,
ce theoreme a l'air pas mal, vous pourriez m'en donner un enoncé precis svp?
Merci d'avance

[invitef591ed4b]

- http://www.bibmath.net/dico/index.ph.../hospital.html

- http://serge.mehl.free.fr/chrono/Lhospital.html

[invite51c9e6f8]

d'accord merci. Je pense que ca peut etre utile pour trouver le resultat avant de le demontrer proprement, dans des questions du genre "quelle est la limite de ..." quand on n'a pas de calculatrice!
Merci en tout cas

[invitec314d025]

d'accord merci. Je pense que ca peut etre utile pour trouver le resultat avant de le demontrer proprement, dans des questions du genre "quelle est la limite de ..." quand on n'a pas de calculatrice!

Il s'agit d'un théorème, donc bien utilisé, il donne une démonstration rigoureuse.
Ceci-dit, on a vite tendance à le remplacer avantageusment par des developpements limités.

[invite51c9e6f8]

je suis en mpsi (plus pour longtemps, vive les vacances) et je ne me risquerai pas a citer un theoreme qui n'est pas dans le cours. en plus c'est tellement marrant les dl. A part que les erreurs de calcul plombent souvent les resultats...

[inviteab2b41c6]

Bizarre, ca se faisait en MPSI quand j'y étais.
C'est pas tellement compliqué à montrer en plus.
A+

[invite87a1ce41]

ce théorème est bien sympathique, ma foi, mais d'où découle t-il que lim f/g = lim f'/g' N

car ces deux fonctions ne sont pas égales, ça va de soi, et la dérivée de f/g n'est pas égale à f'/g', donc je ne vois pas ce que représente f'/g' et d'où L'Hospital a déduit cette charmante propriété

[inviteab2b41c6]

C'est un corollaire du théorème de Rolle.
Fais une petite recherche sur le net, tu trouveras ton bonheur.
A+

[invite87a1ce41]

bah j'ai trouvé le théorème de Rolle, bah bien compliqué, et je ne fais pas de lien direct et évident

[invite51f4efbf]

Je n'aime pas l'Hospital parce que la plupart des étudiants ne savent pas comment rédiger l'emploi de ce théorème - on trouve souvent la limite du rapport f/g, puis = lim f'/g' juste au dessous avec un "par Bernoulli - l'Hospital" alors qu'il faut vérifier que la limite du rapport des dérivées existe avant de pouvoir dire qu'il y a égalité.

La solution d'exprimer sinx/x comme (sinx - sin0)/(x-0) est très élégante

[invite5756bcb3]

Petite réponse tardive qui peut aider consultations ultérieures...

on remarque que sin(x)<x<tan(x) (tracez la figure en cas de besoin)

Divisons par sin(x) :

sin(x)/sin(x) < x/sin(x) < tan(x)/sin(x)
donc
1 < x/sin(x)/<sin(x)/cos(x)sin(x)
1 < x/sin(x) < 1/cos(x)

comme lim(x->0)(1/cos(x)) = 1 on a donc un bel encadrement (gendarmes si mes souvenirs sont bons ?)

donc

lim(x->0)(x/sin(x)) = 1 = lim(x->0)(sin(x)/x)

Ouf. Pas trop rouillé...

[invite59975b60]

Salut tout le monde

Sans vouloir être tatillion, deux petites précisions :
- la première est d'ordre historique : le théorème de l'Hospital serait en fait du au mathématicien Jean Bernouilli, qui l'aurait vendu au Marquis de Sainte-Mesme (de l'Hospital).
- la seconde est d'ordre formel : il s'agit d'une corollaire du théorème des accroissements finis généralisé (pour deux fonctions), et non pas du théorème de Rolle.

Cordialement

[invite6b1e2c2e]

- la seconde est d'ordre formel : il s'agit d'une corollaire du théorème des accroissements finis généralisé (pour deux fonctions), et non pas du théorème de Rolle.

Salut,

Si l'un n'est pas équivalent à l'autre, c'est que je ne sais pas ce qu'est le théorème des accroissements finis généralisé. Un petit rappel ?

__
rvz

[invite59975b60]

Salut,

Si l'un n'est pas équivalent à l'autre, c'est que je ne sais pas ce qu'est le théorème des accroissements finis généralisé. Un petit rappel ?

__
rvz

Pour rappel :
- Théorème de Rolle : si la fonction f est continue sur le segment [a,b], dérivable sur ]a,b[, et telle que f(a)=f(b), alors on en conclut qu'il existe un certain c appartenant à ]a,b[ tel que f '(c)=0. Graphiquement : entre a et b, la courbe représentative de f atteint un extrémum local (la tangente à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses).
- Ce théorème trouve sa généralisation dans le TAF (théorème des accroissements finis) : si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, alors il existe c appartenant à ]a,b[ tel que f(b)-f(a)=(b-a)f '(c). Graphiquement : entre a et b, il existe un point où la tangente à la courbe est parallèle à la droite passant par A(a,f(a)) et B(b,f(b)).
- Le TAF se généralise lui même à deux fonctions : si f et g sont deux fonctions continues sur [a,b] et dérivables sur ]a,b[, alors il existe un certain c appartenant à ]a,b[ tel que (f(b)-f(a))g '(c)=(g(b)-g(a))f '(c).
(Notons cependant que cela se démontre à l'aide du théorème de Rolle et d'une fonction auxilliaire).

Remarque : de ce dernier théorème, et par une rapide pirouette, on obtient la règle de l'Hôpital sous sa forme originelle, c'est à dire :
soient f et g continues sur I, dérivables sur son intérieur, et a appartenant à l'intérieur de I. On suppose que g' ne s'annule pas sur I\{a}, et que f'/g' admet une limite l en a. Alors :

f(x)-f(a)
lim --------- = l
x->a g(x)-g(a)

[invite9c9b9968]

En même temps, c'est tiré par les cheveux, pour moi le TAF est un corrolaire de Rolle, donc par une chaîne logique d'implications, l'Hôpital est aussi un corrolaire de Rolle non ?

[invite59975b60]

En même temps, c'est tiré par les cheveux, pour moi le TAF est un corrolaire de Rolle, donc par une chaîne logique d'implications, l'Hôpital est aussi un corrolaire de Rolle non ?

Oui, effectivement, toute cette bande de théorèmes se démontre à partir du théorème de Rolle. Mon but était uniquement de faire remarquer que la règle de l'Hospital était une conséquence immédiate de la généralisation du TAF. Pour démontrer l'Hospital à partir de Rolle, il faudrait de toute façon démontrer succesivement le TAF et sa généralisation. A quoi bon?

[invite9c9b9968]

Ok ok, vu comme ça

[invite5f448492]

En ce qui concerne les histoires de nombre dérivé, je me souviens que pour monter que sin était dérivable, on avait commencé par montrer que la limite en 0 de sinx/x était 1.

[invite6b1e2c2e]

Oui, effectivement, toute cette bande de théorèmes se démontre à partir du théorème de Rolle. Mon but était uniquement de faire remarquer que la règle de l'Hospital était une conséquence immédiate de la généralisation du TAF. Pour démontrer l'Hospital à partir de Rolle, il faudrait de toute façon démontrer succesivement le TAF et sa généralisation. A quoi bon?

Et le TAF (même généralisé) est une conséquence immédiate de Rolle.
h(x) = (g(x) -g(a))(f(b)-f(a)) - (f(x)-f(a))(g(b)-g(a)) s'annule en a et en b et paf.

En gros, pour tous ces théorèmes et toutes leurs applications il y a toujours un moyen très simple de se ramener à Rolle. Ce que je veux donc dire, c'est qu'il faut mieux ne connaître que Rolle et certaines fonctions particulières qui redonnent les TAF et autres : Ca fait au moins quelques exemples d'application de Rolle.
Pour TAF classique, je pose h(x) = (f(x)-f(a))(b-a) - (f(b)-f(a)) (x-a), et je vérifie h(a) = h(b) =0.

Bref, le seul vrai théorème la dedans, c'est Rolle, et les autres n'en sont que des corollaires.
__
rvz

[invite59975b60]

Et le TAF (même généralisé) est une conséquence immédiate de Rolle.
h(x) = (g(x) -g(a))(f(b)-f(a)) - (f(x)-f(a))(g(b)-g(a)) s'annule en a et en b et paf.

En gros, pour tous ces théorèmes et toutes leurs applications il y a toujours un moyen très simple de se ramener à Rolle. Ce que je veux donc dire, c'est qu'il faut mieux ne connaître que Rolle et certaines fonctions particulières qui redonnent les TAF et autres : Ca fait au moins quelques exemples d'application de Rolle.
Pour TAF classique, je pose h(x) = (f(x)-f(a))(b-a) - (f(b)-f(a)) (x-a), et je vérifie h(a) = h(b) =0.

Bref, le seul vrai théorème la dedans, c'est Rolle, et les autres n'en sont que des corollaires.
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rvz

Afin de clore ce débat qui commence à me paraître quelque peu stérile, permettez-moi de vous dire que l'effort (en termes strictement énergétiques) nécessaire à l'apprentissage du TAF et de sa généralisation est nettement inférieur (et infiniment plus utile pratiquement parlant) que celui de la fonction auxilliaire utilisée pour la démonstration, tout en sachant que l'idéal serait de connaître à la fois la propriété et sa démonstration.
Par ailleurs en poussant votre vision des choses dans ses derniers retranchements, on se retrouverait à devoir connaître uniquement les quelques défintions de base dont tous les lemmes/théorèmes/propositions (rayer la mention inutile) découlent, et puis de tout redémontrer le cas échéant.
A mon sens, c'est assez téméraire, puisque contrairement à ce que vous dites, le théorème de Rolle n'est pas une sinécure. Imaginez en effet que vous vous trouviez en face d'une limite résoluble par la règle de l'Hospital : d'où vous viendra l'idée de l'utiliser étant donné qu'à priori vous ne connaissez que le théorème de Rolle?

[invite5bc7b1f3]

Bonsoir ^^ ,

Sinon pour trouver la limite de sin(x) / x quand x -> 0 suffit de faire une approximation affine ...

f(0+x) = f(0) + f'(0) * x + E(x) *x
= 0 + x + E(x) *x
= x( 1+E(x) )

et donc :

Lim sin(x) / x = Lim x(1+E(x)) / x = Lim 1+E(x) = 1.
x->0

Et voila