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lim (sin (x)/x)



  1. #1
    adrislas

    lim (sin (x)/x)


    ------

    Bonjour, ayant reçu aujourd'hui une ti-89, je m'émerveille de ses capacités, mais je constate bien vite que le calcul ne remplace pas la démonstration.

    Ainsi, je voulais savoir par quel moyen on peut trouver que lim (sin(x)/x) quand x tend vers 0 égale 1.

    En vous remerciant

    -----

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  3. #2
    Bleyblue

    Re : lim (sin (x)/x)

    Avec le théorème de l'hospital c'est tout bête, tu dérives numérateur et dénominateur et ça devient


    Ce théorème est une perle...
    Il n'empêche que l'on peut y arriver par un autre moyen, me souvient plus comment, vais essayer de retrouver la démo dans mes notes ...

  4. #3
    gothal

    Re : lim (sin (x)/x)

    Salut,

    Tu peux toiut simplement utiliser le développement limité de sinu en0:
    sin x = x -x^3/3 +x^5/25 +...
    Remarque: le premier terme suffit

  5. #4
    benoit86

    Re : lim (sin (x)/x)

    Plus simple : cette limite est le nombre dérivé de la fonction sinus en 0, car ta limite est égale à : lim[sin(x+0) - sin0]/x lorsque x tend vers 0. C'est donc égal à cos(0) soit 1.
    Pour trouver le haut de l'univers, c'est facile, regarde là où il perd ses cheveux.

  6. #5
    Coincoin

    Re : lim (sin (x)/x)

    Salut,
    Tu peux tout simplement voir que ...

    EDIT Grillé par Benoît86 !
    Encore une victoire de Canard !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    benjy_star

    Re : lim (sin (x)/x)

    Le théorème de l'hospital est-il TOUJOURS applicable, quand un a une fraction ?

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  10. #7
    adrislas

    Re : lim (sin (x)/x)

    ah oui, la méthode avec le nombre dérivé est très simple en effet. Merci. Par contre, le théorème de L'Hospital, bleyblue, et ta méthode, Gothal, je n'ai jamais vu ça donc je n'ai pas compris

  11. #8
    adrislas

    Re : lim (sin (x)/x)

    gothal, je viens de voir ça dans le manuel de ma calculatrice, ça s'appelle pas développement de Taylor ? J'ai juste remarqué que c'était une suite de nombre à la puissance n, divisé par n, mais après ça....

  12. #9
    Sephi

    Re : lim (sin (x)/x)

    L'Hospital n'est applicable qu'en cas d'indéterminations du type 0/0 ou infini/infini.

  13. #10
    Florette

    Re : lim (sin (x)/x)

    Bonjour,
    ce theoreme a l'air pas mal, vous pourriez m'en donner un enoncé precis svp?
    Merci d'avance

  14. #11
    Sephi
    Dernière modification par Sephi ; 25/06/2005 à 12h08.

  15. #12
    Florette

    Re : lim (sin (x)/x)

    d'accord merci. Je pense que ca peut etre utile pour trouver le resultat avant de le demontrer proprement, dans des questions du genre "quelle est la limite de ..." quand on n'a pas de calculatrice!
    Merci en tout cas

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  17. #13
    matthias

    Re : lim (sin (x)/x)

    Citation Envoyé par Florette
    d'accord merci. Je pense que ca peut etre utile pour trouver le resultat avant de le demontrer proprement, dans des questions du genre "quelle est la limite de ..." quand on n'a pas de calculatrice!
    Il s'agit d'un théorème, donc bien utilisé, il donne une démonstration rigoureuse.
    Ceci-dit, on a vite tendance à le remplacer avantageusment par des developpements limités.

  18. #14
    Florette

    Re : lim (sin (x)/x)

    je suis en mpsi (plus pour longtemps, vive les vacances) et je ne me risquerai pas a citer un theoreme qui n'est pas dans le cours. en plus c'est tellement marrant les dl. A part que les erreurs de calcul plombent souvent les resultats...

  19. #15
    Quinto

    Re : lim (sin (x)/x)

    Bizarre, ca se faisait en MPSI quand j'y étais.
    C'est pas tellement compliqué à montrer en plus.
    A+

  20. #16
    adrislas

    Re : lim (sin (x)/x)

    ce théorème est bien sympathique, ma foi, mais d'où découle t-il que lim f/g = lim f'/g' N

    car ces deux fonctions ne sont pas égales, ça va de soi, et la dérivée de f/g n'est pas égale à f'/g', donc je ne vois pas ce que représente f'/g' et d'où L'Hospital a déduit cette charmante propriété

  21. #17
    Quinto

    Re : lim (sin (x)/x)

    C'est un corollaire du théorème de Rolle.
    Fais une petite recherche sur le net, tu trouveras ton bonheur.
    A+

  22. #18
    adrislas

    Re : lim (sin (x)/x)

    bah j'ai trouvé le théorème de Rolle, bah bien compliqué, et je ne fais pas de lien direct et évident

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  24. #19
    Stephen

    Re : lim (sin (x)/x)

    Je n'aime pas l'Hospital parce que la plupart des étudiants ne savent pas comment rédiger l'emploi de ce théorème - on trouve souvent la limite du rapport f/g, puis = lim f'/g' juste au dessous avec un "par Bernoulli - l'Hospital" alors qu'il faut vérifier que la limite du rapport des dérivées existe avant de pouvoir dire qu'il y a égalité.

    La solution d'exprimer sinx/x comme (sinx - sin0)/(x-0) est très élégante

  25. #20
    martini_bird

    Re : lim (sin (x)/x)

    Salut,

    pour ma part, j'aime bien cette démonstration géométrique: elle repose simplement sur le fait que la longueur de l'arc PM est plus grande que celle du segment [HM] et plus petite que celle du segment [PN] (voir figure attachée).

    En d'autres termes, pour un angle x dans le premier quadrant, et l'on en tire les inégalités et .

    Cordialement.
    Images attachées Images attachées

  26. #21
    Le lyceen59155

    Re : lim (sin (x)/x)

    Expliquer mieux comment vous avez proceder pour trouver 1 quand sinx/x tend vers 0 avec la methode (sinx-0)/(x-0)

  27. #22
    Coincoin

    Re : lim (sin (x)/x)

    Il suffit de reconnaître le nombre dérivé...
    Encore une victoire de Canard !

  28. #23
    Gwyddon

    Re : lim (sin (x)/x)

    Au fait, bonjour et merci ne font jamais de mal à personne ...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  29. #24
    Le lyceen59155

    Re : lim (sin (x)/x)

    sinx-0/x-0 est le nombre derive de sinx , donc quand x tend vers 0 alors sinx tend vers 1 car cos(0)=1, mais comment tu conclut que sinx/x tend vers 1 quand x tend vers 0

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  31. #25
    Gwyddon

    Re : lim (sin (x)/x)

    On va le refaire lentement.

    Définition : dire qu'une fonction f est dérivable en un point a signifie l'existence d'un réel l tel que




    Ce réel est noté f'(a).

    Si f est dérivable sur un intervalle I, on notera f' la fonction dérivée sur I qui associe à tout a de I le réel f'(a) tel que défini plus haut.

    Pour ton problème, quelle est la dérivée de sinus sur [0;1], quelle est l'interprétation que tu peux donner à la limite que l'on te demande ? Ensuite, conclus.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  32. #26
    Lari

    Re : lim (sin (x)/x)

    Petite réponse tardive qui peut aider consultations ultérieures...

    on remarque que sin(x)<x<tan(x) (tracez la figure en cas de besoin)

    Divisons par sin(x) :

    sin(x)/sin(x) < x/sin(x) < tan(x)/sin(x)
    donc
    1 < x/sin(x)/<sin(x)/cos(x)sin(x)
    1 < x/sin(x) < 1/cos(x)

    comme lim(x->0)(1/cos(x)) = 1 on a donc un bel encadrement (gendarmes si mes souvenirs sont bons ?)

    donc

    lim(x->0)(x/sin(x)) = 1 = lim(x->0)(sin(x)/x)

    Ouf. Pas trop rouillé...

  33. #27
    omar.essaid

    Re : lim (sin (x)/x)

    Salut tout le monde

    Sans vouloir être tatillion, deux petites précisions :
    - la première est d'ordre historique : le théorème de l'Hospital serait en fait du au mathématicien Jean Bernouilli, qui l'aurait vendu au Marquis de Sainte-Mesme (de l'Hospital).
    - la seconde est d'ordre formel : il s'agit d'une corollaire du théorème des accroissements finis généralisé (pour deux fonctions), et non pas du théorème de Rolle.

    Cordialement

  34. #28
    rvz

    Re : lim (sin (x)/x)

    Citation Envoyé par omar.essaid Voir le message
    - la seconde est d'ordre formel : il s'agit d'une corollaire du théorème des accroissements finis généralisé (pour deux fonctions), et non pas du théorème de Rolle.
    Salut,

    Si l'un n'est pas équivalent à l'autre, c'est que je ne sais pas ce qu'est le théorème des accroissements finis généralisé. Un petit rappel ?

    __
    rvz

  35. #29
    omar.essaid

    Re : lim (sin (x)/x)

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Salut,

    Si l'un n'est pas équivalent à l'autre, c'est que je ne sais pas ce qu'est le théorème des accroissements finis généralisé. Un petit rappel ?

    __
    rvz
    Pour rappel :
    - Théorème de Rolle : si la fonction f est continue sur le segment [a,b], dérivable sur ]a,b[, et telle que f(a)=f(b), alors on en conclut qu'il existe un certain c appartenant à ]a,b[ tel que f '(c)=0. Graphiquement : entre a et b, la courbe représentative de f atteint un extrémum local (la tangente à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses).
    - Ce théorème trouve sa généralisation dans le TAF (théorème des accroissements finis) : si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, alors il existe c appartenant à ]a,b[ tel que f(b)-f(a)=(b-a)f '(c). Graphiquement : entre a et b, il existe un point où la tangente à la courbe est parallèle à la droite passant par A(a,f(a)) et B(b,f(b)).
    - Le TAF se généralise lui même à deux fonctions : si f et g sont deux fonctions continues sur [a,b] et dérivables sur ]a,b[, alors il existe un certain c appartenant à ]a,b[ tel que (f(b)-f(a))g '(c)=(g(b)-g(a))f '(c).
    (Notons cependant que cela se démontre à l'aide du théorème de Rolle et d'une fonction auxilliaire).

    Remarque : de ce dernier théorème, et par une rapide pirouette, on obtient la règle de l'Hôpital sous sa forme originelle, c'est à dire :
    soient f et g continues sur I, dérivables sur son intérieur, et a appartenant à l'intérieur de I. On suppose que g' ne s'annule pas sur I\{a}, et que f'/g' admet une limite l en a. Alors :

    f(x)-f(a)
    lim --------- = l
    x->a g(x)-g(a)

  36. #30
    Gwyddon

    Re : lim (sin (x)/x)

    En même temps, c'est tiré par les cheveux, pour moi le TAF est un corrolaire de Rolle, donc par une chaîne logique d'implications, l'Hôpital est aussi un corrolaire de Rolle non ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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