lim (sin (x)/x)

[invite59975b60]

En même temps, c'est tiré par les cheveux, pour moi le TAF est un corrolaire de Rolle, donc par une chaîne logique d'implications, l'Hôpital est aussi un corrolaire de Rolle non ?

Oui, effectivement, toute cette bande de théorèmes se démontre à partir du théorème de Rolle. Mon but était uniquement de faire remarquer que la règle de l'Hospital était une conséquence immédiate de la généralisation du TAF. Pour démontrer l'Hospital à partir de Rolle, il faudrait de toute façon démontrer succesivement le TAF et sa généralisation. A quoi bon?
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[Gwyddon]

Ok ok, vu comme ça

[invite5f448492]

En ce qui concerne les histoires de nombre dérivé, je me souviens que pour monter que sin était dérivable, on avait commencé par montrer que la limite en 0 de sinx/x était 1.

[invite6b1e2c2e]

Oui, effectivement, toute cette bande de théorèmes se démontre à partir du théorème de Rolle. Mon but était uniquement de faire remarquer que la règle de l'Hospital était une conséquence immédiate de la généralisation du TAF. Pour démontrer l'Hospital à partir de Rolle, il faudrait de toute façon démontrer succesivement le TAF et sa généralisation. A quoi bon?

Et le TAF (même généralisé) est une conséquence immédiate de Rolle.
h(x) = (g(x) -g(a))(f(b)-f(a)) - (f(x)-f(a))(g(b)-g(a)) s'annule en a et en b et paf.

En gros, pour tous ces théorèmes et toutes leurs applications il y a toujours un moyen très simple de se ramener à Rolle. Ce que je veux donc dire, c'est qu'il faut mieux ne connaître que Rolle et certaines fonctions particulières qui redonnent les TAF et autres : Ca fait au moins quelques exemples d'application de Rolle.
Pour TAF classique, je pose h(x) = (f(x)-f(a))(b-a) - (f(b)-f(a)) (x-a), et je vérifie h(a) = h(b) =0.

Bref, le seul vrai théorème la dedans, c'est Rolle, et les autres n'en sont que des corollaires.
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rvz

[invite161a0bc8]

Je n'aime pas l'Hospital parce que la plupart des étudiants ne savent pas comment rédiger l'emploi de ce théorème - on trouve souvent la limite du rapport f/g, puis = lim f'/g' juste au dessous avec un "par Bernoulli - l'Hospital" alors qu'il faut vérifier que la limite du rapport des dérivées existe avant de pouvoir dire qu'il y a égalité.

La solution d'exprimer sinx/x comme (sinx - sin0)/(x-0) est très élégante

bah il suffit de faire un develuppement limite de la fonction sin(x) au voisinage de 0

[invite59975b60]

Et le TAF (même généralisé) est une conséquence immédiate de Rolle.
h(x) = (g(x) -g(a))(f(b)-f(a)) - (f(x)-f(a))(g(b)-g(a)) s'annule en a et en b et paf.

En gros, pour tous ces théorèmes et toutes leurs applications il y a toujours un moyen très simple de se ramener à Rolle. Ce que je veux donc dire, c'est qu'il faut mieux ne connaître que Rolle et certaines fonctions particulières qui redonnent les TAF et autres : Ca fait au moins quelques exemples d'application de Rolle.
Pour TAF classique, je pose h(x) = (f(x)-f(a))(b-a) - (f(b)-f(a)) (x-a), et je vérifie h(a) = h(b) =0.

Bref, le seul vrai théorème la dedans, c'est Rolle, et les autres n'en sont que des corollaires.
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rvz

Afin de clore ce débat qui commence à me paraître quelque peu stérile, permettez-moi de vous dire que l'effort (en termes strictement énergétiques) nécessaire à l'apprentissage du TAF et de sa généralisation est nettement inférieur (et infiniment plus utile pratiquement parlant) que celui de la fonction auxilliaire utilisée pour la démonstration, tout en sachant que l'idéal serait de connaître à la fois la propriété et sa démonstration.
Par ailleurs en poussant votre vision des choses dans ses derniers retranchements, on se retrouverait à devoir connaître uniquement les quelques défintions de base dont tous les lemmes/théorèmes/propositions (rayer la mention inutile) découlent, et puis de tout redémontrer le cas échéant.
A mon sens, c'est assez téméraire, puisque contrairement à ce que vous dites, le théorème de Rolle n'est pas une sinécure. Imaginez en effet que vous vous trouviez en face d'une limite résoluble par la règle de l'Hospital : d'où vous viendra l'idée de l'utiliser étant donné qu'à priori vous ne connaissez que le théorème de Rolle?

[invite5bc7b1f3]

Bonsoir ^^ ,

Sinon pour trouver la limite de sin(x) / x quand x -> 0 suffit de faire une approximation affine ...

f(0+x) = f(0) + f'(0) * x + E(x) *x
= 0 + x + E(x) *x
= x( 1+E(x) )

et donc :

Lim sin(x) / x = Lim x(1+E(x)) / x = Lim 1+E(x) = 1.
x->0

Et voila

[Duytan]

Bonjour,

on ne peut pas se servir du théorème de l'Hospital ou de n'importe quel théorème qui utilise la dérivée du sinus puisque pour montrer que la dérivée du sinus est consinus il faut se servir de la lim de sin(x)/x lorsque x tend vers 0...

Mon professeur m'a dit qu'il fallait utiliser des séries entières mais je ne vois pas ce que c'est, quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci

[Seirios]

Bonjour,

Si est une suite de fonctions, et si la limite existe pour tout (où est un intervalle), alors on peut définir la fonction , que l'on note plus simplement . C'est une série de fonctions. On parle de série entière pour les séries de la forme .

Usuellement, on définit et .

Mais série entière ont la bonne propriété qu'il est possible de les dérivées termes à terme : si alors (ce qui n'est pas vrai pour les séries de fonctions en général). En appliquant cette règle aux séries entières représentant le sinus et le cosinus, on retrouve bien les dérivées connues.