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lim n sin (pi/n) quand n tend vers + infini



  1. #1
    .:Spip:.

    lim n sin (pi/n) quand n tend vers + infini


    ------

    bonjour

    j'ai besoin d'un coup de pouce

    je souhaite montrer que lim n sin(pi/n) = pi (n->+oo)

    j'ai tenté le changement de variable t=1/n, mais cela ne resoud pas le probleme.

    j'ai tenté aussi de transformer l'expression, mais sans succes...

    cette indetermination, me pose vraimant probleme

    alors , si vous avez une idée, un indice

    merci.

    -----
    Soyez libre, utilisez Linux.

  2. Publicité
  3. #2
    GuYem

    Re : lim n sin (pi/n) quand n tend vers + infini

    Salut physicien.

    Il est connu que sin(x) est éuqivalent à x pour x au voisinage de 0. Si tu utilises cela içi, tu obtiens que obtiens que sin(pi/n) est équivalent à pi/n pour n vers l'infini. Simplifie par le n qui est devant et tu obtiens ta limite.

    Maintenant si tu veux la preuve de l'équivalence il te faut faire un développement limité de sin en 0 :

    sin(a) = a + o(a) (il est trés con en fait le DL )
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    g_h

    Re : lim n sin (pi/n) quand n tend vers + infini

    Et si tu n'as pes encore vu les DL, contente toi de poser h = pi/n.
    tu as lim h (n -> +oo) = 0

    Et sachant que :
    lim (h -> 0) sin(0+h) = sin(0) + (h)*sin'(0)
    = 0 + h * cos(0)
    = h*1
    = h
    = pi/n

    Tu peux ensuite multiplier par n !

  5. #4
    .:Spip:.

    Re : lim n sin (pi/n) quand n tend vers + infini

    ah, merci à vous deux,

    en faite on a vu les dl en physique (et je les avais vu un peu avant), mais pas en math, donc je prefere pas l'utiliser, pour eviter qu'elle aille encore plus vite en cours :P
    Soyez libre, utilisez Linux.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    erik

    Re : lim n sin (pi/n) quand n tend vers + infini

    Si tu ne veux absolument pas parler de DL, tu peux faire comme ça :

    Soit f(x)=sin(Pix),
    Tu calcules la dérivée de f en 0 de deux façons :
    a/ en utilisant la définition de la dérivée d'une fonction en un point.
    b/ directement (en utilisant le fait que la dérivée de sin c'est cos)

    en a/ tu retrouve la limite que tu as à calculer (en posant x=1/n) et en b/ tu retrouves le résultat attendu (Pi*cos(Pi*0)=Pi).

    Est ce assez clair (si j'en dit plus je te fais l'exo) ?

  8. #6
    g_h

    Re : lim n sin (pi/n) quand n tend vers + infini

    Ce que j'ai écrit dans mon message #3 n'utilise pas les DL, mais juste des maths que l'on voit en classe de 1ere (nombre dérivé, dérivation, approximation affine)

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  10. #7
    GuYem

    Re : lim n sin (pi/n) quand n tend vers + infini

    Approximation affine c'est un surnom pour DL à l'ordre 1.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  11. #8
    .:Spip:.

    Re : lim n sin (pi/n) quand n tend vers + infini

    Citation Envoyé par g_h
    Ce que j'ai écrit dans mon message #3 n'utilise pas les DL, mais juste des maths que l'on voit en classe de 1ere (nombre dérivé, dérivation, approximation affine)
    oui, oui, c'est pour cela que ca me va tout à faire


    merci à tous.
    Soyez libre, utilisez Linux.

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