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sin(n) ne tend pas vers zéro



  1. #1
    GuYem

    sin(n) ne tend pas vers zéro


    ------

    Bonjour à tous.

    Je cherche à démontrer de la manière la plus élémentaire possible le fait que la suite sin(n) ne tend pas vers 0.
    Ou encore mieux, le fait que la série de terme général sin(n) diverge.

    J'ai déjà une démonstration qui consiste à nier la définition de la convergence vers 0 de sin(n), mais elle est pénible à écrire, j'ai peur qu'elle passe mal pour ce que je veux en faire.

    Merci d'avance pour toutes vos suggestions.

    -----
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  3. #2
    invite43219988

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Salut
    Ca ne marche pas par l'absurde ?
    Du genre,

    On suppose qu'il existe Epsilon tel que (0=<Epsilon<0,...)

    Si sin(n) converge vers 0, alors il existe N tel que quelque soit n>N, alors
    |sin(n)|<Epsilon et on montre que c'est absurde (ça doit se faire en utilisant la 2Pi périodicité du sinus j'imagine).

    Enfin je lance ça comme ça et c'est surement plus compliqué que je ne l'imagine.

    P.S. : C'est peut etre deja ce que tu as fait en niant la convergence vers 0 du sinus mais vu que je n'ai pas trop compris ce que ça voulait dire...
    Dernière modification par invite43219988 ; 01/05/2006 à 17h42.

  4. #3
    IceDL

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Salut,

    Bon, on peut proposer plusieurs méthodes ; moi j'en ai une pas très fine mais bon.

    Supposons que (sin(n)) converge et notons "a" sa limite.

    on sait que sin(n+2)-sin(n)=2*cos(n+1)*sin(1) et un passage à la limite montre que (cos(n)) converge vers 0.

    Auquel cas cos(n+2)-cos(n)=-2*sin(n+1)*sin(1) et un passage à la limite montre que (sin(n)) converge vers 0.

    Seulement cos(n)^2+sin(n)^2 = 1 et donc après passage à la limite 0=1 et ceci n'est pas vrai...

    Voilà

  5. #4
    rvz

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Salut,

    Le preuve suggérée par Icedl est la plus simple que je connaisse aussi.

    __
    rvz, juste pour dire

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    matthias

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Citation Envoyé par rvz
    Le preuve suggérée par Icedl est la plus simple que je connaisse aussi.
    Pareil pour moi, même si je trouve toujours ça frustrant d'aborder cette question sans aller jusqu'à la densité dans [-1;1]

  8. #6
    IceDL

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Citation Envoyé par matthias
    Pareil pour moi, même si je trouve toujours ça frustrant d'aborder cette question sans aller jusqu'à la densité dans [-1;1]
    Oui parce que (sin(n)) dense dans [-1,1] implique directement que (sin(n)) diverge ; pour le prouver on a quand même besoin de quelques résultats supplémentaires :

    1-Les sous-groupes de (R,+) sont soit discrets de la forme aZ avec a réel positif, soit denses dans R.
    2-aZ+bZ est du type discret ssi le rapport a/b est un rationnel.

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  10. #7
    rvz

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Enfin le 2/ découle trivialement du 1/, et le 1/ est quand même assez gentillet à démontrer...

    __
    rvz

  11. #8
    GuYem

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    La méthode de IceDl me plait bien.

    En plus j'ai juste besoin de montrer que sin(n) ne tend pas vers 0, donc on peut conclure plus vite.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  12. #9
    GuYem

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Après relecture de la méthode de IceDl, je m'interroge sur la provenance des égalités ...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  13. #10
    matthias

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Pourquoi ? Tu ne supposes pas connues les formules sin(p)-sin(q) et cos(p)-cos(q) ?

  14. #11
    IceDL

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Citation Envoyé par GuYem
    Après relecture de la méthode de IceDl, je m'interroge sur la provenance des égalités ...
    Tout dépend de ce que tu prend comme définition, mais tu peux tout retrouver avec :

    cos(z) = (1/2) [ eiz+e-iz ]
    sin(z) = (1/(2i)) [ eiz-e-iz ]

    et avec les propriétés de exp tout en découle (cos(a+b), cos(p) - cos(q), ...) ; bon il existe sûrement des moyens mnémotechniques plus efficaces.

    Citation Envoyé par rvz
    Enfin le 2/ découle trivialement du 1/, et le 1/ est quand même assez gentillet à démontrer...
    Au passage, cela me fait penser que pour le 1, il y a des jolis résultats analogues en dimension n et notamment :

    Tout sous groupe additif discret de Rn est isomorphe à Z^m pour un certain m.

    Et celui-là est moins gentillet à démontrer

  15. #12
    GuYem

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Citation Envoyé par matthias
    Pourquoi ? Tu ne supposes pas connues les formules sin(p)-sin(q) et cos(p)-cos(q) ?
    Euuuuh, disons que je ne les connais pas moi même

    Bon en tous cas ça marche, merci de vos conseils à tous
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  17. #13
    matthias

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    En partant des formules sin(a+b) et cos(a+b) (tu ne les as pas oubliées celles-là ? ), ça se retrouve facilement :

    On pose a = (p+q)/2 et b = (p-q)/2.

    cos(p) = cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
    cos(q) = cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
    d'où : cos(p) - cos(q) = -2sin(a)sin(b)

    et pareil pour les autres.

  18. #14
    indian58

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Il y a aussi la méthode qui utilise l'exponentielle :

    si sin(n)->0 lorsque n->infini, alors sin(n+1) aussi et donc cos(n) aussi. Ainsi ein aussi et son module aussi!! Absurde!

  19. #15
    indian58

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Le must est la densité de sin(n), n€|N.

  20. #16
    indian58

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Dsl de reposter mais je viens de remarquer quelque chose dans un post d'IceDL: l'équivalence entre aZ+bZ discret et a/b rationnel entraine que sin(n),n€Z est dense et non sin(n),n€|N. Il faut rajouter une étape (qui, est vrai, est simple).

  21. #17
    IceDL

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Citation Envoyé par indian58
    Dsl de reposter mais je viens de remarquer quelque chose dans un post d'IceDL: l'équivalence entre aZ+bZ discret et a/b rationnel entraine que sin(n),n€Z est dense et non sin(n),n€|N. Il faut rajouter une étape (qui, est vrai, est simple).
    Oui, il faut encore montrer, par exemple que aN+bZ est dense lorsque a/b est irrationnel ; ça peut se faire à la main effectivement.

    En fait, cela montre un résultat plus général à savoir que tout sous-groupe du cercle unité de C est soit dense dans le cercle unité, soit fini de cardinal n auquel cas c'est le groupe des racines n-ièmes de l'unité.

    D'où le résultat sur (sin(n))...

  22. #18
    GuYem

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Citation Envoyé par indian58
    Il y a aussi la méthode qui utilise l'exponentielle :

    si sin(n)->0 lorsque n->infini, alors sin(n+1) aussi et donc cos(n) aussi. Ainsi ein aussi et son module aussi!! Absurde!
    Ca me plait bien aussi, juste une formule de trigo à retenir
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  24. #19
    indian58

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Ouais, je pense que ma méthode est la plus rapide.

  25. #20
    IceDL

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Citation Envoyé par indian58
    Ouais, je pense que ma méthode est la plus rapide.
    C'est vrai, il faut bien le reconnaître . Mais elle prouve juste que (sin(n)) ne converge pas vers 0 tandis que ma méthode prouve que (sin(n)) ne converge pas du tout .

    Mais j'arrête d'être mauvais joueur.

  26. #21
    GuYem

    Re : sin(n) ne tend pas vers zéro

    Pour ce qui est de ma question, la réponse de l'indien est appropriée, mais celle du développement limité de la glace (pourquoi un tel pseudo !?) est plus profonde.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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