Bonjour à tous.
Je cherche à démontrer de la manière la plus élémentaire possible le fait que la suite sin(n) ne tend pas vers 0.
Ou encore mieux, le fait que la série de terme général sin(n) diverge.
J'ai déjà une démonstration qui consiste à nier la définition de la convergence vers 0 de sin(n), mais elle est pénible à écrire, j'ai peur qu'elle passe mal pour ce que je veux en faire.
Merci d'avance pour toutes vos suggestions.
Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
Salut
Ca ne marche pas par l'absurde ?
Du genre,
On suppose qu'il existe Epsilon tel que (0=<Epsilon<0,...)
Si sin(n) converge vers 0, alors il existe N tel que quelque soit n>N, alors
|sin(n)|<Epsilon et on montre que c'est absurde (ça doit se faire en utilisant la 2Pi périodicité du sinus j'imagine).
Enfin je lance ça comme ça et c'est surement plus compliqué que je ne l'imagine.
P.S. : C'est peut etre deja ce que tu as fait en niant la convergence vers 0 du sinus mais vu que je n'ai pas trop compris ce que ça voulait dire...
Salut,
Bon, on peut proposer plusieurs méthodes ; moi j'en ai une pas très fine mais bon.
Supposons que (sin(n)) converge et notons "a" sa limite.
on sait que sin(n+2)-sin(n)=2*cos(n+1)*sin(1) et un passage à la limite montre que (cos(n)) converge vers 0.
Auquel cas cos(n+2)-cos(n)=-2*sin(n+1)*sin(1) et un passage à la limite montre que (sin(n)) converge vers 0.
Seulement cos(n)^2+sin(n)^2 = 1 et donc après passage à la limite 0=1 et ceci n'est pas vrai...
Voilà
Salut,
Le preuve suggérée par Icedl est la plus simple que je connaisse aussi.
__
rvz, juste pour dire
Pareil pour moi, même si je trouve toujours ça frustrant d'aborder cette question sans aller jusqu'à la densité dans [-1;1]Envoyé par rvz
Oui parce que (sin(n)) dense dans [-1,1] implique directement que (sin(n)) diverge ; pour le prouver on a quand même besoin de quelques résultats supplémentaires :
1-Les sous-groupes de (R,+) sont soit discrets de la forme aZ avec a réel positif, soit denses dans R.
2-aZ+bZ est du type discret ssi le rapport a/b est un rationnel.
Enfin le 2/ découle trivialement du 1/, et le 1/ est quand même assez gentillet à démontrer...
__
rvz
La méthode de IceDl me plait bien.
En plus j'ai juste besoin de montrer que sin(n) ne tend pas vers 0, donc on peut conclure plus vite.
Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
Après relecture de la méthode de IceDl, je m'interroge sur la provenance des égalités ...
Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
Pourquoi ? Tu ne supposes pas connues les formules sin(p)-sin(q) et cos(p)-cos(q) ?
Tout dépend de ce que tu prend comme définition, mais tu peux tout retrouver avec :
cos(z) = (1/2) [ eiz+e-iz ]
sin(z) = (1/(2i)) [ eiz-e-iz ]
et avec les propriétés de exp tout en découle (cos(a+b), cos(p) - cos(q), ...) ; bon il existe sûrement des moyens mnémotechniques plus efficaces.
Au passage, cela me fait penser que pour le 1, il y a des jolis résultats analogues en dimension n et notamment :
Tout sous groupe additif discret de Rn est isomorphe à Z^m pour un certain m.
Et celui-là est moins gentillet à démontrer
Euuuuh, disons que je ne les connais pas moi même
Bon en tous cas ça marche, merci de vos conseils à tous
Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
En partant des formules sin(a+b) et cos(a+b) (tu ne les as pas oubliées celles-là ?
On pose a = (p+q)/2 et b = (p-q)/2.
cos(p) = cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
cos(q) = cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
d'où : cos(p) - cos(q) = -2sin(a)sin(b)
et pareil pour les autres.
Il y a aussi la méthode qui utilise l'exponentielle :
si sin(n)->0 lorsque n->infini, alors sin(n+1) aussi et donc cos(n) aussi. Ainsi ein aussi et son module aussi!! Absurde!
Le must est la densité de sin(n), n€|N.
Dsl de reposter mais je viens de remarquer quelque chose dans un post d'IceDL: l'équivalence entre aZ+bZ discret et a/b rationnel entraine que sin(n),n€Z est dense et non sin(n),n€|N. Il faut rajouter une étape (qui, est vrai, est simple).
Oui, il faut encore montrer, par exemple que aN+bZ est dense lorsque a/b est irrationnel ; ça peut se faire à la main effectivement.
En fait, cela montre un résultat plus général à savoir que tout sous-groupe du cercle unité de C est soit dense dans le cercle unité, soit fini de cardinal n auquel cas c'est le groupe des racines n-ièmes de l'unité.
D'où le résultat sur (sin(n))...
Ca me plait bien aussi, juste une formule de trigo à retenir
Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
Ouais, je pense que ma méthode est la plus rapide.
C'est vrai, il faut bien le reconnaître
Mais j'arrête d'être mauvais joueur.
Pour ce qui est de ma question, la réponse de l'indien est appropriée, mais celle du développement limité de la glace (pourquoi un tel pseudo !?) est plus profonde.
Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.
