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sin x ~x quand x tend vers 0



  1. #1
    dolmaf

    sin x ~x quand x tend vers 0


    ------

    pourquoi on simlifier sinx par x lorsque x tend vers 0 alors que le dévelopement limité de sin x quand x tend vers 0 aboutit a un reste qui est différent de zéro.on utilise souvent ça pour rendre les eq différentielles linéaires.merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    labostyle

    Re : sin x ~x quand x tend vers 0

    le dévelopement limité de sin x quand x tend vers 0
    pour rectifier, on dit le développement limité de sinx autour du point x=0.
    Il vaut x à l'ordre 1.

  4. #3
    gimini

    Re : sin x ~x quand x tend vers 0

    Bonjour,
    Tu peux aussi voir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 vaut 1...
    C'est d'ailleurs la définition des equivalents.

  5. #4
    homotopie

    Re : sin x ~x quand x tend vers 0

    Citation Envoyé par dolmaf Voir le message
    pourquoi on simlifier sinx par x lorsque x tend vers 0 alors que le dévelopement limité de sin x quand x tend vers 0 aboutit a un reste qui est différent de zéro.on utilise souvent ça pour rendre les eq différentielles linéaires.merci d'avance.
    Parce que les équations différentielles qui peuvent aussi être vues comme des fonctionnelles implicites sont en général continues.
    Si on a l'équation y'=f(x,y) avec y(a)=b la solution unique sur un intervalle I est noté z alors si :
    i) fn tend convenablement vers f la solution unique de y'=fn(x,y) zn tend vers z
    ii) si g est une approximation de f alors la solution de y'=g(x,y) est une approximation de z.
    Ainsi tant que l'on est sûr que x sera proche de zéro, la solution de y'=sin(y), par exemple, est proche de la solution de y'=y.
    De même, mais là on peut vérifier directement, la solution de y'=-sin(x) valant 1 en 0 (cos(x)) est proche de la solution de y'=-x vlant aussi 1 en 0 (1-x²/2). En effet, 1-x²/2 est une bonne approximation de cos(x).

  6. #5
    invite34596000666

    Re : sin x ~x quand x tend vers 0

    Trace sur ta calculette la fonction f(x)=sin(x) et f(x)=x.
    Tu vois que autour de zéro, elles se confondent

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ksilver

    Re : sin x ~x quand x tend vers 0

    Salut !


    je sais pas si c'est de ca que tu parle, mais c'est une approximation tres courante dans les sciences appliqué (physique applique, SI etc...) de considérer les équations linéariser autour du point d'équilibre (en utilisant des dévelopement limité à l'ordre 1), donc par exemple de remplcer sin(x) par x, si l'équilibre est au voisinage de x=0 pour obtenir un système linéaire qui a le meme comportement.

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