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Valeur d'une intégrale si un paramètre tend vers l'infini



  1. #1
    Lévesque

    Valeur d'une intégrale si un paramètre tend vers l'infini


    ------

    Bonjour,

    dans un livre de physique, j'ai la relation suivante sans étape intermédiaire:



    Je me rappelle vaguement un calcul que mon prof avait fait, en réécrivant la fonction à intégrer comme un polynôme en t... Si ça vous dit quelque chose, peut-être pourriez-vous m'aider.

    Sinon, j'aurais intuitivement le gout de résoudre comme suit. Pourrais-je écrire quelque chose du genre:

    ?

    J'ai l'impression que la fonction exponentielle écrase tellement la racine quand t est grand, que le comportement de la fonction à intégrer selon E est presque celui de l'exponentielle. Mais bon, tout ça n'est pas trop rigoureux. Vous en pensez quoi?

    Merci!

    Simon

    mots clés : Peskin & Schroeder equation (2.51)

    -----
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

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  3. #2
    Coincoin

    Re : Valeur d'une intégrale si un paramèetre tend vers l'infini

    Salut,
    J'ai l'impression que la fonction exponentielle écrase tellement la racine quand t est grand, que le comportement de la fonction à intégrer selon E est presque celui de l'exponentielle. Mais bon, tout ça n'est pas trop rigoureux. Vous en pensez quoi?
    Je dirais quelque chose du genre. La fonction exponentielle tue tout quand t tend vers l'infini, il ne reste que le tout premier point. Mais c'est clairement très sale comme raisonnement.
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    Médiat

    Re : Valeur d'une intégrale si un paramèetre tend vers l'infini

    Que représente le i dans l'intégrale ? S'il s'agit de l'imaginaire i (i² = -1), l'exponentielle n'écrase plus grand-chose.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    cyberantoine

    Re : Valeur d'une intégrale si un paramèetre tend vers l'infini

    Si il s'agit de l'imaginaire i, la fonction à intégrer ne converge pas vers 0 quand E tend vers l'infini, ce qui est une condition nécessaire pour que l'intégrale existe.

    Si i n'est pas un imaginaire, tu peux faire un changement de variable, v²=E²-m², et tu te rameneras à l'intégrale d'une fonction de la forme v*exp(-v) (tout au moins par équivalence) et tu trouves facilement la valeur de l'intégrale avec une intégration par parties.

  6. #5
    Lévesque

    Re : Valeur d'une intégrale si un paramèetre tend vers l'infini

    Citation Envoyé par cyberantoine Voir le message
    Si i n'est pas un imaginaire, tu peux faire un changement de variable, ... et tu trouves facilement la valeur de l'intégrale avec une intégration par parties.
    Bonjour,

    i est racine(-1)...

    J'ai pensé peut-être faire un graphique de la fonction à intégrer, et le comparer au graphique de l'exponentielle seule lorsque t est très grand... déjà ça pourrait être plus propre si les fonctions sont visuellement très proches.

    Sinon, personne n'a d'idée pour approximer rigoureusement cette intégrale?

    Cordialement,

    Simon
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gwyddon

    Re : Valeur d'une intégrale si un paramètre tend vers l'infini

    Une idée en passant, vite fait : il n'y aurait pas un coup de méthode du col derrière ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  10. #7
    Lévesque

    Re : Valeur d'une intégrale si un paramètre tend vers l'infini

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Une idée en passant, vite fait : il n'y aurait pas un coup de méthode du col derrière ?
    Oh, je ne connaissais pas cette méthode, mais ça m'a l'air tout à fait approprié!

    Merci beaucoup Gwyddon
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

  11. #8
    gatsu

    Re : Valeur d'une intégrale si un paramètre tend vers l'infini

    Citation Envoyé par Lévesque Voir le message
    Oh, je ne connaissais pas cette méthode, mais ça m'a l'air tout à fait approprié!

    Merci beaucoup Gwyddon
    Euh..je vois pas trop comment utiliser la méthode du col de façon rigoureuse là . J'y avais pensé mais je vois pas.
    Usuellement cette méthode s'utilise pour des intégrales dans le plan complexe du type

    est analytique sur chemin d'intégration.
    Ce qui n'est pas trop le cas ici (en tout cas ce n'est pas explicite).
    En outre je crois que dans le plan complexe la partie en pose problème, il doit y avoir des lignes de branchements ou un truc comme ça.

  12. #9
    Lévesque

    Re : Valeur d'une intégrale si un paramètre tend vers l'infini

    Citation Envoyé par gatsu Voir le message
    Euh..je vois pas trop comment utiliser la méthode du col de façon rigoureuse là . J'y avais pensé mais je vois pas.
    J'ai seulement regardé sur wikipédia, et la forme de l'intégrale me semblait exactement celle qui m'occupe:

    http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_du_point_col

    non?

    Cordialement,

    Simon
    PS: je n'ai pas encore eu le temps de m'y pencher sérieusement.
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

  13. #10
    edpiste

    Re : Valeur d'une intégrale si un paramètre tend vers l'infini

    J'ai toujours pas compris quel sens était donné à cette intégrale. Partie finie ? Transformée de Fourier d'une distribution tempérée ?

  14. #11
    rvz

    Re : Valeur d'une intégrale si un paramètre tend vers l'infini

    Salut,

    Sauf erreur, via des intégrations par parties, on peut donner un sens à cette intégrale au sens des intégrales oscillantes (cf n'importe quel cours d'analyse microlocale). Après, c'est assez technique, et je ne me souviens plus assez des détails pour les raconter ici.

    __
    rvz

  15. #12
    Lévesque

    Re : Valeur d'une intégrale si un paramètre tend vers l'infini

    Citation Envoyé par edpiste Voir le message
    J'ai toujours pas compris quel sens était donné à cette intégrale. Partie finie ? Transformée de Fourier d'une distribution tempérée ?
    Salut,

    il s'agit du produit scalaire de deux états de Fock :



    est l'opérateur (lié à un champ scalaire réel) qui crée une particule à la position x.

    Voir Peskin et Schroeder, p. 27, pour plus de détails.

    Cordialement,

    Simon
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

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  17. #13
    invite54165721

    Re : Valeur d'une intégrale si un paramètre tend vers l'infini

    Citation Envoyé par Lévesque Voir le message
    il s'agit du produit scalaire de deux états de Fock :



    est l'opérateur (lié à un champ scalaire réel) qui crée une particule à la position x.

    Voir Peskin et Schroeder, p. 27, pour plus de détails.

    Cordialement,

    Simon
    Bonjour Lévesque

    Avez vous trouvé une réponse à la question?

    J'ai bien relancé le pb sur le forum de physique, mais il n'y a pas eu de réponse.

    On peut se demander pourquoi le problème physique qui se pose d'une façon simplissime (probabilité de trouver une particule au meme endroit plus tard) ne trouve pas une réponse.
    Même si le problème a une solution complexe (fonctions de bessel?) c'est quand même inquiétant pour des jeunes gens, curieux de mécanique quantique, de voir qu'on met sous le tapis des questions de base et qu'on passe à la suite.

  18. #14
    Lévesque

    Re : Valeur d'une intégrale si un paramètre tend vers l'infini

    Salut,

    je n'ai toujours pas eu le temps d'y revenir. J'ai emprunté trois livres à la bibli sur les expansions asymptotiques, mais ça m'a l'air relativement compliqué. On ne pourrait pas résoudre exactement cette intégrale à l'aide de fonctions de Bessel? (Voir par exemple le problème 2.3 de Peskin et Schroeder).

    Cordialement,

    Simon
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

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