Dérivation d'une intégrale à paramètre

[Cyp]

Bonjour,
voilà j'ai plusieurs questions après avoir cherché l'exercice suivant : trouver toutes les applications f de IR dans IR continues telles que

J'ai cherché une équation différentielle vérifiée par f. On sait seulement qu'elle est continue mais il me semble que la présence de l'intégrale permet en écrivant l'égalité sous la forme de montrer que f est aussi dérivable, parce que l'intégrale dépendant de x l'est aussi. Mais alors dans ce cas quand on écrit dans le cas général est ce que cela impose aussi que f soit dérivable sur ]a,b[ ? Parce que si on prend l'exemple de x->|x| elle est continue sur ]a,b[ (si a<0 et b>0) mais pas vraiment dérivable en 0 donc...

La seconde (et dernière ) question c'est comment dériver correctement l'intégrale par rapport à x ? Quand on a c'est facile de même que quand c'est , mais là c'est un mix des deux qu'on doit dériver () par rapport à x et je sais pas trop comment faire... J'aimerais bien une réponse pour le cas général et pas juste sur l'exemple de l'exercice si possible...

Merci
Cyp
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[Bobby]

Salut à toi,
je vais tenter de répondre à ta deuxième question.
Pour dériver par rapport à une intégrale de la forme je pense qu'il te suffit de trouver une fonction telle que .
Après il n'y a plus qu'à intégrer entre et et le dériver par rapport à .


C'est à dire :
Dites-moi si je me trompe.

[Cyp]

Merci mais je pense pas que ça marche bizarement. Parce que on ici u'(x)=0 et v'(x)=1 donc on trouve d/dx(F(v(x))-F(u(x)) soit f(x,v(x)) ou encore f(x,x) si je garde les même notations que toi. Et en fait il en manque un morceau puisque c'est normalement qu'on doit trouver, enfin selon mon corrigé... (heu attention à ce qu'on confonde pas le f de dF/dt=f(x,t) et celui de l'exercice !)

[Gwyddon]

Oui il manque un morceau car la "primitive" par rapport à t dépend aussi de x, donc il faudra la dériver aussi par rapport à x.

Si je note F une "primitive" de f par rapport à t (ie F telle que ) j'ai (en notant D1F et D2F les dérivées partielles respectivement par rapport à la première et la deuxième variable, pour plus de clarté) :

[A voir en vidéo sur Futura]

[Cyp]

Oki merci 09Jul85 j'ai compris (il manque F(x,t)dt dans ton intégrale mais on le devine :d) aurais-tu une idée pour l'autre question (le lien intégrabilité / dérivabilité posée au début)... ?

[Cyp]

pour la première question étant donné que j'ai écrit une horreur c'est pas la peine d'essayer de la justifier on aurait plutôt (à supposer que f' existe et est continue sur [a,b]) et là forcément ya plus de question à se poser

[Gwyddon]

Pour la première ce qui te permet de conclure quant à la dérivabilité (et même mieux : au caractère est le fait que dès le départ la fonction f est continue (ce que tu avais saisi).

Donc plus de soucis pour l'exercice je présume