lim x->a f '(x) = L => f '(a) = L

[invitef5f96025]

salut tout le monde!
voilà y a un truc que je comprend pas, j'y ait passer des heures et ça commence à me gonfler ...

voilà mon problème...
f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[
lim x->a f '(x) = L implique que f dérivable à droite de a (dans notre cas) et f '(a) = L

la réciproque est fausse
contre-exp:

f(x)= x²sin (1/x)
f '(x)=2x sin (1/x) - cos (1/x) : n'a pas de limite en zéro
f '(0) = lim f(x)-f(0)/x = lim x sin (1/x) = 0 donc f '(0) = 0

et là je comprends pas la fausseté de la réciproque "philophiquement parlant" puique bon le contre-exemple est trés compréhensible..

si quelqu'un peut m'expliquer...
merci d'avance!
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[invitebb921944]

f '(0) = lim f(x)-f(0)/x = lim x sin (1/x) = 0 donc f '(0) = 0

Je ne comprends pas cette ligne et je ne vois pas comment tu trouves f'(0)=0

[invitebb921944]

Euh si j'ai compris ta ligne et elle est fausse.
Tu n'as pas le droit de dire que f(0)=0 puisque f(0) n'est pas défini.
Toi tu remplaces le x par 0 et tu dis 0^2*sin(1/0)=0 car 0^2=0 mais tu n'as pas le droit de faire çà puisque f n'est pas définie en 0. (puisque 1/0 n'est pas défini)

[inviteca3a9be7]

f' n'est pas continue en 0, c'est des choses qui arrivent

A force de parler de fonction dérivée on a l'impression qu'une dérivée c'est un truc global, or ça décrit toujours d'abord un comportement local d'une fonction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef5f96025]

désolé.... j'avais oublié un petit pour le fameux contre exemple....

f(x) = { 0 si x=0
{ x²sin (1/x) si x =/= 0
voilà et effectivement là elle est définie en 0 et la dernière ligne prend tout son sens... forcément si je vous dis que la moitié des choses...
désolé...

[invitef5f96025]

sinon je crois que j'ai trouvé ma réponse...
théorême des accroissement finis
sur l'intervalle ]a,x[ => f '(c) = (f(x) - f(a))/(x-a) avec a<c<x
ainsi si lim f '(x) = L alors f '(c) tend forcément vers L
d'où lim x->a (f(x) - f(a))/(x-a) = L d'où f '(a) = L
mais la réciproque est fausse car f '(a) = L n'implique pas que tout les f '(c) soit "tendent" vers L mais qu'un seul ( en tout cas pas tous) soit égale à L...
CQFD non?
vous en pensez quoi?