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lim x->a f '(x) = L => f '(a) = L



  1. #1
    Chrno63

    lim x->a f '(x) = L => f '(a) = L


    ------

    salut tout le monde!
    voilà y a un truc que je comprend pas, j'y ait passer des heures et ça commence à me gonfler ...

    voilà mon problème...
    f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[
    lim x->a f '(x) = L implique que f dérivable à droite de a (dans notre cas) et f '(a) = L

    la réciproque est fausse
    contre-exp:

    f(x)= x²sin (1/x)
    f '(x)=2x sin (1/x) - cos (1/x) : n'a pas de limite en zéro
    f '(0) = lim f(x)-f(0)/x = lim x sin (1/x) = 0 donc f '(0) = 0

    et là je comprends pas la fausseté de la réciproque "philophiquement parlant" puique bon le contre-exemple est trés compréhensible..

    si quelqu'un peut m'expliquer...
    merci d'avance!

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    invite43219988

    Re : lim x->a f '(x) = L => f '(a) = L

    f '(0) = lim f(x)-f(0)/x = lim x sin (1/x) = 0 donc f '(0) = 0
    Je ne comprends pas cette ligne et je ne vois pas comment tu trouves f'(0)=0

  4. #3
    invite43219988

    Re : lim x->a f '(x) = L => f '(a) = L

    Euh si j'ai compris ta ligne et elle est fausse.
    Tu n'as pas le droit de dire que f(0)=0 puisque f(0) n'est pas défini.
    Toi tu remplaces le x par 0 et tu dis 0^2*sin(1/0)=0 car 0^2=0 mais tu n'as pas le droit de faire çà puisque f n'est pas définie en 0. (puisque 1/0 n'est pas défini)

  5. #4
    µµtt

    Re : lim x->a f '(x) = L => f '(a) = L

    f' n'est pas continue en 0, c'est des choses qui arrivent

    A force de parler de fonction dérivée on a l'impression qu'une dérivée c'est un truc global, or ça décrit toujours d'abord un comportement local d'une fonction.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Chrno63

    Re : lim x->a f '(x) = L => f '(a) = L

    désolé.... j'avais oublié un petit pour le fameux contre exemple....

    f(x) = { 0 si x=0
    { x²sin (1/x) si x =/= 0
    voilà et effectivement là elle est définie en 0 et la dernière ligne prend tout son sens... forcément si je vous dis que la moitié des choses...
    désolé...

  8. #6
    Chrno63

    Re : lim x->a f '(x) = L => f '(a) = L

    sinon je crois que j'ai trouvé ma réponse...
    théorême des accroissement finis
    sur l'intervalle ]a,x[ => f '(c) = (f(x) - f(a))/(x-a) avec a<c<x
    ainsi si lim f '(x) = L alors f '(c) tend forcément vers L
    d'où lim x->a (f(x) - f(a))/(x-a) = L d'où f '(a) = L
    mais la réciproque est fausse car f '(a) = L n'implique pas que tout les f '(c) soit "tendent" vers L mais qu'un seul ( en tout cas pas tous) soit égale à L...
    CQFD non?
    vous en pensez quoi?

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