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démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0



  1. #1
    cabz

    démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0


    ------

    démontrer que lorsque x tends vers 0 alors lim x*ln(x)=0

    comen le démontrer svp ??????

    -----

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  3. #2
    Calvert

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Salut!

    Une possibilité est d'écrire:



    qui est du type . On peut donc appliquer le théorème de l'Hospital, si tu les connais.

  4. #3
    Hamb

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    on peut aussi poser le changement de variable X=ln x et donc x = e^X
    la limite devient donc lim (X-> -oo) Xe^X

  5. #4
    prgasp77

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    La fonction exponentielle est une bijection continue de dans . Ainsi, converge vers si et seulement si converge vers .

    Soit
    qui converge vers et vaut 1 en 0. Ainsi, f converge vers en zéro.

  6. #5
    Médiat

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Citation Envoyé par prgasp77 Voir le message
    Soit
    qui converge vers et vaut 1 en 0. Ainsi, f converge vers en zéro.
    Tu écris que tu ne crois pas qu'il y a une petite confusion ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    dododo

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Salut,




    Et tu en éduit la limite par composée.

    Je vois que plus haut on t-a proposé l'utilisation du théoréme de l'Hospital mais celui ci est toujours à utiliser de préférence en dernier recourt, tu va à l'hopital quand tu ne peux pas faire autrement lol .


    @+ dodo
    Dernière modification par dododo ; 25/06/2007 à 09h57.

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  10. #7
    Calvert

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Pourquoi se refuser l'utilisation d'un théorème simple lorsque c'est possible? La vérification des hypothèses permettant d'appliquer l'Hospital est aisée, mettre une fonction sous la forme permettant son emploi également.

  11. #8
    dododo

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Bien sur je te dit pas le contraire Calvert mais à ma connaissance les prof n'aime pas trop ce théoréme ils préférent largement l'utilisation de joli tranformations ... Mais bien sur que l'on peut l'utiliser il n'y a pas de probléme sur ça, mais c'est juste une vision personnelle " tu va à l'hopital quand tu ne peux pas faire autrement " et souvent beaucoup de prof préférent qu'on utilise l'Hospital quand on a vraiment pas d'idée . Ce théoréme sert parfois à se sortir de limite plutôt coriace, ce qui est loin d'être le ca pour celle ci qui est tout a fait triviale, donc c'est un peu abusé d'utliser l'Hospital dans ce cas (c'est comme si tu utilisé un missile intercontinental pour écraser une mouche ).

  12. #9
    Follium

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Tu ne l'écrases pas dans ce cas-là (au sens tu appliques une force mécanique dessus), tu l'as fait fondre. C'est bon, je

    Citation Envoyé par dododo Voir le message
    Bien sur je te dit pas le contraire Calvert mais à ma connaissance les prof n'aime pas trop ce théoréme ils préférent largement l'utilisation de joli tranformations ... Mais bien sur que l'on peut l'utiliser il n'y a pas de probléme sur ça, mais c'est juste une vision personnelle " tu va à l'hopital quand tu ne peux pas faire autrement " et souvent beaucoup de prof préférent qu'on utilise l'Hospital quand on a vraiment pas d'idée . Ce théoréme sert parfois à se sortir de limite plutôt coriace, ce qui est loin d'être le ca pour celle ci qui est tout a fait triviale, donc c'est un peu abusé d'utliser l'Hospital dans ce cas (c'est comme si tu utilisé un missile intercontinental pour écraser une mouche ).
    Follium

  13. #10
    lolouki

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    bonjour tout le monde,
    Hum ... le théoreme de l'hospital en terminale ... C'est pas au programme vous savez

    Si je me rapelle bien, en Ts j'avais demontré ca en etudiant la limite de ln(x) / (racine(x)) d'abord .

  14. #11
    astzckwiq

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    peuton ne pas écrire xlogx =logx^x et comme x^x tend vers 0^0=1 (convention) et comme log est strictement croissante sur R+-{0},on fera avec ca le xlogx tend vers log1 = 0.ensuite avex x=1/X si X tend vers +00. 1/Xlog1/X = 1/X(log1-logX) = 1/X(-logX)=-log(X)/X tend vers 0 quand X tend vers +00 (connu hihihi)

  15. #12
    Ledescat

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Citation Envoyé par astzckwiq Voir le message
    peuton ne pas écrire xlogx =logx^x et comme x^x tend vers 0^0=1 (convention) et comme log est strictement croissante sur R+-{0},on fera avec ca le xlogx tend vers log1 = 0.ensuite avex x=1/X si X tend vers +00. 1/Xlog1/X = 1/X(log1-logX) = 1/X(-logX)=-log(X)/X tend vers 0 quand X tend vers +00 (connu hihihi)
    C'est en fait très maladroit.
    En effet, on montre que x^x tend vers 1 lorsque x tend vers 0 (et on pose 0^0=1 pour prolonger par continuité) grâce à la limite que l'on cherche.
    Cogito ergo sum.

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  17. #13
    astzckwiq

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    en effet x^x = exp(xlogx).mais comme on sait par convention que x^x tend vers 0^0=1 quand x tend vers 0, celza reésoud la question avec droiture et justesse!

  18. #14
    Médiat

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Citation Envoyé par astzckwiq Voir le message
    en effet x^x = exp(xlogx).mais comme on sait par convention que x^x tend vers 0^0=1 quand x tend vers 0, celza reésoud la question avec droiture et justesse!
    Ce que dit Ledescat avec juste raison, c'est que comme on est capable de démontrer que x^x tend vers 1 quand x tend vers 0, alors, par convention (et prolongement par continuité) on pose 0^0 = 1. Il ne reste plus qu'à démontrer ... il ne suffit pas de dire que les gens qui ont décidé de la convention ont déjà fait le boulot.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #15
    Ledescat

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Citation Envoyé par astzckwiq Voir le message
    en effet x^x = exp(xlogx).mais comme on sait par convention que x^x tend vers 0^0=1 quand x tend vers 0, celza reésoud la question avec droiture et justesse!
    On ne sait pas pas par convention que x^x tend vers 1 . Il tend vers 1 car x.logx tend vers 0.
    D'ailleurs rien ne tend vers quelque chose par convention, ça ne signifie rien du tout. Du fait que la fonction x^x tendait vers 1 en 0, et qu'il est en général plus pratique de travailler avec des fonctions continues, on a posé que 0^0 était égal à 1 (par convention ici).
    Tu te mords la queue en utilisant comme hypothèse une conclusion.

    EDIT: grillé comme une brochette
    Cogito ergo sum.

  20. #16
    astzckwiq

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    ce quio veut dire que la question est de démontrere que x^x tend vers 1 ce qui est la question de démontrer que xlogx=log(x^x) tend vers 0 quand x tend vers 0, x>0.la question est la même, mais si on sait que x^x tend vers 1 quand x tend vers 0, x>0, alors la question de xlogx=log(x^x) tend vers 0 quand x tend vers 0, x>0,est résolue.donsc on peut montrer que x^x tend vers 1 quand x tend vers 0,x>0, pour répondre droitement à la question qui est posée.

  21. #17
    Ledescat

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Je crois qu'on ne s'est pas bien compris.
    Je vais donc te dire l'ordre dans lequel on doit raisonner et dans lequel il faut raisonner.

    1èrement:

    On démontre que x.lnx tend vers 0 en 0 en utilisant par exemple l'exponentielle.

    2èmement:

    x^x=exp(x.lnx)
    Lorsque x tend vers 0, x.lnx tend vers 0, donc x^x tend vers 1 (car au passage, l'exponentielle est continue).

    3èmement:

    Comme x^x tend vers 1 en 0, on a posé par convention 0^0=1 car , je me répète, c'est plus pratique de travailler avec des fonctions continues. (même sort que pour la fonction x->sinx/x)


    Ton raisonnement fait exactement l'inverse, c'est-à-dire 3-2-1
    C'est pour cela queje te dis que tu pars des conclusions pour en arriver à ce que l'on cherche.

    Cordialement.
    Cogito ergo sum.

  22. #18
    astzckwiq

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    comprends pas bien, mais je vais essayer de comprendre.de toute facon avec le dévelloppment limité du log au voisinage de 0 c'est évident que xlogx tend vers 0 quand x tend vers 0 (x>0).si on a oublié le DL de log au vois de 0, revoir les DL as soon as possible

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  24. #19
    Ledescat

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Citation Envoyé par astzckwiq Voir le message
    comprends pas bien, mais je vais essayer de comprendre.de toute facon avec le dévelloppment limité du log au voisinage de 0 c'est évident que xlogx tend vers 0 quand x tend vers 0 (x>0).si on a oublié le DL de log au vois de 0, revoir les DL as soon as possible
    Tu peux me donner le développement limité du log au voisinage de 0 ? Simple curiosité .
    Cogito ergo sum.

  25. #20
    astzckwiq

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    y'en a pas comme log est définie sur R+\{0}.c'était pour rire.il faut trafiquer avec les DL usuels:
    http://folium.eu.org/analyse/dl/dl.html bon courage

  26. #21
    Ledescat

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Citation Envoyé par astzckwiq Voir le message
    y'en a pas comme log est définie sur R+\{0}.c'était pour rire
    Dommage que je n'aie pas le même sens de l'humour .
    Je pense que tu parlais du développement asymptotique.
    Cogito ergo sum.

  27. #22
    prgasp77

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Tu écris que tu ne crois pas qu'il y a une petite confusion ?
    Arf ! J'aimerais que l'on m'interdise de poster quoi que ce soit après 1h du matin

  28. #23
    acx01b

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    salut

    lim (x->0, x>0) x lnx
    = lim (x-> +inf) ln(1/x) / x
    = lim (x-> +inf) - lnx / x
    = 0

    (cette limite étant connue et facile à démontrer)

  29. #24
    astzckwiq

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    ah bon et comment on fait pour calculer lim log(x)/x qud x tend vers +00 alors
    la sollution a été dite par calvert:

    Citation Envoyé par Calvert Voir le message
    Salut!

    Une possibilité est d'écrire:



    qui est du type . On peut donc appliquer le théorème de l'Hospital, si tu les connais.
    la règle de l'ôpital est la : http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_de_L'H%C3%B4pital
    voila qui devrait clore la discussion
    (on dérive logx ca donne 1/x;puis on dérive 1/x ca donne -1/x^2;puis le quotient des dérivées donne -x qui tends vers 0 quand x tends vers 0 cqfd)

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  31. #25
    astzckwiq

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    la règle de l'hopital dit ceci:"Soit a un réel ou même \pm\infty, tel que les fonctions réelles f et g soient définies sur un voisinage de a, g ne s'y annulant pas. Si nous essayons de déterminer la limite en a du quotient f / g, où le numérateur et le dénominateur tendent soit les deux vers zéro, soit les deux vers l'infini, alors nous pouvons dériver le numérateur et le dénominateur et déterminer la limite du quotient des dérivées. Si elle existe, la règle affirme que cette limite sera égale à la limite cherchée."
    la question c'est alors de savoir si on peut dire que log est définie sur un voisinage de 0il faut savoir ce qu'on appelle un voisinage de 0

  32. #26
    Calvert

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Oui, les conditions du théorème sont vérifiées. Par voisinage, on entend "aussi proche de 0 que l'on souhaite" (en tout cas dans ce cas, je sens que les mathématiciens vont me raper dessus sous peu...)

  33. #27
    astzckwiq

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    mouaip je sais pas si il faut pas un intervalle centré sur le centre de l'intervalle; donc ici centré sur 0; et pour log c'est mal barré!
    (logx tend vers -00 quand x tend vers 0+)

  34. #28
    Calvert

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Non, je ne pense pas que cela soit nécessaire.

    un intervalle centré sur le centre de l'intervalle
    Je suis certain que cette condition est remplie pour tous les intervalles...

  35. #29
    astzckwiq

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    Voisinage d'un point:
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Voisinage

    Dans R, un voisinage d'iun point a est tout sous ensemble V de R tel qu'il existe un k réel tel que ]a-k,a+k[ est inclu dans V.
    Mais c'est peut être pas "voisinage" qu'il fallait dire dans la règle de l'hôpital, peut être qu'il y a une erreur dans le textye de Wikipédia

  36. #30
    Ledescat

    Re : démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

    L'hospital utilise en fait l'apparition cachée d'un nombre dérivé. Le fait qu'il faille s'assurer que l'on puisse parler d'un intervalle centré sur le point considéré, c'est pour pouvoir trouver un nombre dérivé à gauche et à droite, donc sur le point considéré .Ici, implicitement, on souhaite forcément la limite en 0 par valeur supérieure, donc on n'a besoin d'un nombre "dérivé implicite" qu'à droite de 0.
    Donc l'hospital a bien son mot à dire ici.
    Cogito ergo sum.

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