salut
pour calculer lim (x-> +inf) lnx / x
on pose (en choisissant x > e )
u(1) = lnx / x
u(n) = ln (x^n) / (x^n) = n lnx / (x^n)
on a u(n+1) = u(n) * (n+1) / (n*x)
cette suite est majorée par la suite v
v(1) = u(1)
v(n+1) = 2/x * v(n)
qui est une suite géométrique de raison 2/x < 1 (car x > e )
donc lim (n->+inf) v(n) = lim (n->+inf) u(n) = 0
et comme lnx / x est continue
lim (n->+inf) u(n) = lim (x-> +inf) lnx / x = 0
La démo ne suffit pas sur ce point.Envoyé par acx01b
La fonction inus est continue, sin(pi.n) tend vers 0 mais sin(x) ne tend pas vers 0.
Par contre la voie ln(x)/x (limite admise en Tle S) est plus simple que la voie "règle de l'Hospital"
Une démo en bonne et due forme pourrait être après s'être ramené à ln(x)/x x tend vers +inf à effectuer un changement de variable x=e^y, on est ramené à considérer y/e^y.
On pose f(y)=e^y-(1+y+y²/2)
f est continue dérivable car...
g(y)=f'(y)=e^y-(1+y) est continue et dérivable car...
h(y)=g'(y)=e^y-1 est continue et dérivale
h'(y)=e^y >0 donc h strictement croissante et donc positive si y>=0.
g est donc croissante dès que y>=0, or g(0)=0 donc g est positive...y>=0.
f est donc croissante...et f est positive dès que y>=0.
On a donc pour y>=0
Et on conclue par le théorème de comparaison.
On peut aussi compléter le manque de la démo précédente mais elle devient alors lourde.
salut
oui pardon j'aurais dû mettre
lnx / x est strictement décroissante et continue et strictement positive
sur ] e ; +inf [ la dérivée étant (1 - ln x) / x^2
et lim (n -> +inf) u(n) = 0
donc pour tout € > 0
on a N tel que pour tout n > N, u(n) < €
et ln x / x étant strictement décroissante et strictement positive sur ] e ; +inf [
on a pour tout y > x^n > e (le x^n de la suite) lny / y < u(n) < €
Dernière modification par acx01b ; 27/06/2007 à 09h53.
Oui d'ailleurs ta méthode peut être utilisé sans changement de variable.
f(x)=xln(x) continue dérivable sur ]0,+inf[ car produit...
f'(x)=1+ln(x) donc décroissante sur ]0;1/e[
La suitevérifie
v(n) tend donc vers 0, il en est ainsi de même de u(n).
Or e^{-n} tend vers 0 donc xln(x) tend vers 0 quand x tend vers 0.
Bonsoir à tous
lim (xln(x))=lim(x²ln(x)/x) lorsque x tend vers 0
lim(ln(x)/x)=1 lorsque x tend vers 0 et le tour est joué
Cordialement.
Manimal.
Bonsoir,
Je ne crois pas, cette limite est de la forme
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Salut,
Bien que tardive, voici une manière de répondre à votre question. (je m'inspire quelque peu des notations LateX dans ce qui suit)
La démonstration de \lim_{x \to 0}x*ln(x)=0 repose en fait sur l'encadrement de x*ln(x).
Un préalable : si sur un intervalle [a, b] on a : f(x) <= g(x), alors \int_{a}^{x}f(x')dx'<=\int_{a} ^{x}g(x')dx' pour tout a<x<b. Ceci découle du (et est équivalent au) fait qu'une fonction dérivable est croissante ssi sa dérivée est positive. Vue autrement, ceci ce traduit par le fait que l'intégration conserve le sens d'une inégalité.
Mettons nous dans l'intervalle [0, 1]. Soit alpha, tel que : 0<alpha^{1/2}<1 et x tel que : alpha^{1/2}<x<1.
Cette dernière (double) inégalité permet d'écrire :
1<\frac{1}{x}<\frac{1}{alpha^{ 1/2}}
En intégrant cette double inégalité entre alpha^{1/2} et 1, il vient :
\int_{alpha^{1/2}}^{1}(alpha^{1/2})dx<\int_{alpha^{1/2}}^{1}\frac{1}{x}dx<\int_{alp ha^{1/2}}^{1}dx, soit
(1-alpha^{1/2})<-ln(alpha^{1/2})<\frac{(1-alpha^{1/2})}{alpha^{1/2}}
En multipliant par (-alpha), le sens des inégalités change, on obtient alors :
alpha^{1/2}*(alpha^{1/2}-1)<alpha*ln(alpha)/2<alpha*(1-alpha^{1/2})
Lorsque alpha tend vers 0, le terme de gauche comme celui de droite tendent vers 0 ; il en est donc de même pour alpha*ln(alpha), CQFD.
Sinon, il y a la méthode de changement de variable en posant
On a donc :
On en déduit le résultat d'après la limite connue :
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