Démonstrations 1ereS

[invitea250c65c]

Bonjour a tous,

Alors voila, pdt les vacance, j'en profite pour démontrer des choses que l'on n'a pas démontré en classe.
Deja mes premieres questions, au sujet des dérivées:

Comment démontre-t-on que (uv)'(x)=(u'v)(x)+(v'u)(x)?

En fait j'ai trouvé une démo dans mon livre, mais je n'ai pas tres bien compris parce qu'a un moment, on rajoute dans le calcul deux termes qui s'annulent au final donc voila ce n'est pas tres clair et j'aimerai voir comment faire ca.

Moi, ce que j'ai fait, c'est que j'ai calculé le taux d'accroissement entre x et x+h de la fonction (uv)(x):

Pour tout h différent de 0:



mais apres je ne vois pas trop comment faire.

Pourriez vous me donner une piste svp.

Puis apres j'essayerai de faire pareil avec la dérivée d'un quotient.

Merci d'avance.

[Calvert]

Salut!

Tu as bien:

.

Par contre, il est erroné d'écrire que (uv)(x+h) = u(x+h)v(x+h).

Par exmple, prends la fcontion composée f(x) = (2x)² = u(v(x)), avec v(x) = 2x et u(y) = y². Ainsi, f(x+h) = (2(x+h))² = 4x² + 8xh + 4h².

Ceci n'est pas égal à u(x+h)v(x+h) = (2(x+h))²2(x+h).

Pour poursuivre ta démonstration, tu peux essayer de poser une variable intermédiaire: y₀ = v(x), y=v(x+h), et de multiplier ta définition de la dérivée par

[invitea250c65c]

Bonjour et merci,

J'ai peut etre mal compris ta reponse, mais dans mon cas, il s'agit non pa d'une fonction composé (v°u)(x) mais d'une fonction produit (u*v)(x).
Et on a bien (u*v)(x)=u(x)v(x) (donc (u*x)(x+h)=u(x+h)v(x+h)) non?

[Calvert]

Oui, désolé, je l'ai remarqué en rentrant chez moi... J'ai mal lu ton problème, et du coup mal répondu.
Alors, reprenons.

On a donc:



Tu avais parfaitement raison.

Ensuite, l'idée est d'écrire le numérateur comme:



Avec ceci, tu devrais pouvoir t'en sortir!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Je ne vois pas ce que tu veux dire Calvert, tu as dû confondre avec les fonctions composées.
(uv)(x)=u(x).v(x) par définition.
de même que (u+v)(x)=u(x)+v(x).

Si tu développes, tu peux remarquer que:


donc


Je sors v(a) [ car ta fonction exige quand même un minimum d'être continue] D'où


Ici, on a donc ajouté 0, ça peut sembler stupide, mais en fait celà permet de faire apparaître un nouveau nombre dérivé, on fera la même chose pour les dérivées des fonctions continues (sauf que là on multipliera par 1 )

[invitec053041c]

la même chose pour les dérivées des fonctions continues

COMPOSEES pas continues...
décidemment, ça se voit que c'est la fin de la semaine

[Calvert]

D'ailleurs, autant mon premier poste parlait effectivement des fonctions composées, autant mon deuxième fait la même chose que le tien, avec la notation f(x+h)-f(x) avec h tend vers 0 au lieu de f(x) - f(a) avec x tend vers a...

[invitec053041c]

Oui je me suis rendu compte que tu l'avais montré aussi en postant,car j'avais pas actualisé la page =)
Ouf on arrive au meme resultat! héhé

[invitea250c65c]

Bonjour et merci,

J'ai réussi la demo je vous remercie.
Sinon la on fait la trigo et donc je me disais que je pourrais essayer de montrer une ou deux choses.
Pour les formules d'addition et de duplication, j'ai bien compris.
On l'a fait avec les sinus et cosinus, et j'ai démontré chez moi de telles formules pour les tangentes.
En fait j'ai
Soit , puis je divise le numérateur et le dénominateur par cos(a)cos(b) (ce qui revient a diviser par 1) et au final je trouve puis j'en déduis tan(a-b) et tan(2a).

Je me demandais donc s'il existait d'autrs formules interessantes que je puisse démontrer, je pensais par exemple, comme j'ai les formules d'addition et de soustraction, a exprimrer cos(ab) et sin(ab) en fonction de cos(a), cos(b), sin(a) et sin(b), même si dans la pratique je ne pense pas que ca me servira bcp, sauf si j'ai des lignes trigo avec des a calculer.
Evidemment, je pensais aussi a expimer cos(a/b) en fonction de cos(a) et cos(b), ca ca peut etre bcp pluspratique, par exemple si je veux calculer un cosinus sans pi dedans.
Mais je ne sais pas si de telles formules existent et si je peux a mon niveau les démontrer, car j'en ai trouvé pas mal mais aucune sur les produits et les quotients.

Je vous demande donc votre aide, ou si vous avez un lien interessant ou il y ait des démonstrations de formules de trigo.

[invite7d436771]

Bonjour,

on utilise aussi cos(p)cos(q) qiuse déduit des formulkes d'additions et de même sin(p)cos(q) ...
sinon je n'en connais pas d'autres ...

Cordialement,

Nox

[invitea250c65c]

Bonsoir et merci,

J'ai trouvé d'autres formules et j'ai réussi a en démontrer.
Sinon tant que j'y pensepour revenir sur les dérivées je voudrais savoir cmt faire pour deriver . En fait je connais le résultat mais je ne sais pas cmt on le demontre.
Est ce que ca utilise la récurrence? Parce qu'on l'a pas encore vu mais on devrait bientot le faire.

Merci d'avance.

[invite43bf475e]

je viens de finir ma TS, je passe en MPSI, mais il me semble que la démonstration de l'unicité des fonctions trigo se ft plus tard, à ton niveau, c'est quasi impossible de comprendre ca... même moi je ne pourrait le faire...

[invite751056e1]

je viens de finir ma TS, je passe en MPSI, mais il me semble que la démonstration de l'unicité des fonctions trigo se ft plus tard, à ton niveau, c'est quasi impossible de comprendre ca... même moi je ne pourrait le faire...

J'aime bien le "même moi"!!!
Bon, sur ce, messieurs les mathematiphiles, je vous laisse vous amuser!

[inviteec581d0f]

Bonjour à tous

Cette idée de regrouper toutes les démonstrations mathématiques de 1ereS m'a l'air pas mal. Mais, en lisant, je trouve que les outils utilisés pour la démonstration sont quelque peu "avancées" (exponontielle, factorielle etc..) par rapport au niveau de première. Donc je vous propose si vous voulez de faire les démonstrations les plus importantes de tel ou tel chapitre du programme en utilisant les outils de première (c'est possible ). Ensuite, si vous le voulez, je pourrais regrouper toutes celles-ci sous forme .pdf et le mettre à la disposition de tous.

a+++

[invitec053041c]

Bonjour à tous

Cette idée de regrouper toutes les démonstrations mathématiques de 1ereS m'a l'air pas mal. Mais, en lisant, je trouve que les outils utilisés pour la démonstration sont quelque peu "avancées" (exponontielle, factorielle etc..) par rapport au niveau de première. Donc je vous propose si vous voulez de faire les démonstrations les plus importantes de tel ou tel chapitre du programme en utilisant les outils de première (c'est possible ). Ensuite, si vous le voulez, je pourrais regrouper toutes celles-ci sous forme .pdf et le mettre à la disposition de tous.

a+++

C'est une bonne idée. Je reste à disposition .

[inviteec581d0f]

MOi aussi Mais j'éspère sincèrement que ce topic ne va pas couler SNIF il est super je trouve

[invite05d0a348]

Tres bonne idée ... Je suis aussi intéréssé

[invitea250c65c]

Bonjour et merci,

Oui si vous voulez on peut faire ca, mais j'aurai surement d'autres questions a poser qui sortiront du programme qui viendront se caler entre les démos.
Je propose de faire ca dans ce post (on dispose de Latex sur le forum, c'est bien pratique), chapitre par chapitre, et d'une autre couleur pour bien différencier avec mes questions (ou celles des autres).

Je commence alors par le premier chapitre (il n'y a pas grand chose), et puis comme ca vous pourrez me dire ce que vous en pensez et si nous continuons comme ca :

Chapitre 1 : Généralités sur les fonctions : démonstrations

Variations de la fonction :

Soit et deux fonctions définies respectivement sur et et à valeurs dans .
Pour tout de , on a (par définition).
Si et sont croissantes sur un intervalle de , alors est croissante sur : et croissantes sur signifie que pour tous nombres et de tels que , on a et donc et . On peut donc écrire que (somme de deux nombres négatifs) et donc soit .
f est donc croissante sur .
De même, on peut montrer que si et sont decroissantes sur , sera également décroissante sur .
Dans le cas ou et n'ont pas les mêmes variations sur , on ne peut pas conclure diretement.


Variations de la fonction , avec k réel :

Soit une fonction définie sur un intervalle et à valeurs dans . Soit avec k réel. est donc définie sur .
Si , a les mêmes variations que , en effet, soit et deux réels de tels que a<b. Si est croissante sur (ou un intervalle de , il faut alors prendre et de cet intervalle), alors soit soit donc est croissante sur cet intervalle. Donc si est croissante sur , le sera également. On montre de même que étant décroissante sur , f sera également décroissante sur cet intervalle.
On peut procéder de même dans le cas ou (attention à ne pas oublier de changer le signe de l'égalité!), et nous trouvons que a des variations opposées à sur .
Dans le cas ou , est la fonction nulle.


Variations de la fonction :

Soit et deux fonctions à valeurs dans et définies respectivement sur deux intervalles et .
Soit . f est donc définie pour tout et . On note cet ensemble .
Si et sont croissantes sur un intervalle de , alors est croissante sur : en effet, soit deux réels et de tels que , on a et . On pose et , donc, et étant croissante sur , soit soit . f est donc croissante sur .
De même, on montre que si et sont décroissantes sur , est croissante sur , et que si et ont des variations contraires sur (l'une est croissante, l'autre est décroissante), est décroissante sur .


Fonction associée et translation : :

Soit u une fonction définie sur (nous prenons pour simplifier, nous aurions très bien pu prendre un intervalle de ) et à valeurs dans et soit (donc définie et a valeurs dans ).
Soit et les courbes représentatives de et dans un repere .
Cf est la translatée de Cu par la translation de vecteur :
Soit le point d'abcisse et le point d'abcisse (, et réels).
On a alors et c'est à dire .
Donc soit donc .
Cf est donc la translatée de Cu par la translation de vecteur .



Voila, c'était le premier chapitre, il n'y a pas beaucoup de démonstrations je crois que je n'ai rien oublié, enfin on peut montrer qu'une fonction paire admet comme axe de symétrie l'axe des ordonnées et qu'une fonction impaire admet comme centre de symétrie l'origine, mais c'est presque déjà une définition.
C'est un peu répétitif il faut le dire (soit deux fonctions de dans ... ), mais bon au moins c'est fait les autres chapitres sont plus sympas.

Qu'en pensez vous? On continue comme ca? Je laisse à d'autre le plaisir de faire les chapitres suivants (beaucoup de Latex pour la factorisation du trinome du second degré ) et je reste également à disposition si vous avez besoin d'une démo.
Une fois que tout sera fini nous pourrons tout regroupper (avec l'option citer on récupère le code Latex) dans un seul topic si vous le voulez.

A+

[invitec053041c]

Chapitre 2: résolution d'équations du second degré

Quelques Rappels préliminaires:

Pour tout a,b réels:

Pour , si AB=0, alors A=0 et/ou B=0
Pour a non nul, ax+b=0 =>

Mise sous forme canonique:

Pour a non nul, la seconde identité remarquable (2) permet d'écrire:



En d'autres termes, on reconnaît le début de l'identité remarquable (2), et l'on retranche ce que l'on n'avait pas au départ ( On pourra tout développer pour vérifer que l'égalité est bien vérifiée).

Equation du second degré:

On souhaite résoudre,pour a,b,c réels donnés, l'équation d'inconnue x:


Avec a non nul, sinon l'on retombe sur une équation du premier degré.

(a un sens car a non nul)
(mise sous forme canonique)
(mise au même dénominateur des fractions, attention aux erreurs de signe)

Ici, il faut alors différencier plusieurs cas:
Le signe de ne dépend que du signe du numérateur (car le dénominateur est positif), on note donc .

1er cas

Si , alors , donc m est un carré d'un nombre réel et l'on peut noter .

Ainsi,
(utilisation de l'identité (1), différence de deux carrés)
car , et on remplace par

On veut donc résoudre:
(en simplifiant par a, car a non nul)

On a donc le produit de deux termes nuls, cela implique que l'un ou/et l'autre est nul:
(équation du premier degré) =>
(équation du premier degré) =>

2nd cas

Si , cela revient à résoudre:

(en simplifiant par a car a non nul)
On obtient une équation du type A²=0, impliquant que A soit nul.
Ainsi:
donc

3ème cas

Si

Alors m<0, et l'on obtient une équation de la forme: X²+m²=0, ie X²=-m²<0
N'a pas de solution dans IR.


En résumé

Pour résoudre avec a non nul,
On pose

.Si , on obtient 2 solutions

.Si on obtient une seule solution

.Si <0, pas de solutions réelles.


NB: on peut regrouper les cas où delta est nul et positif, auquel cas on se rend bien compte de la notion de racine "double", mais c'est ici un détail.

On pourra également faire un complément sur la factorisation de polynômes de degré 2.

[invitea250c65c]

Je vais essayer de faire le petit complement, je poste bientot ca.

[invite1228b4d5]

Si j'ai bien compri, vous voulez les démonstrations des "truc" vue au cours de la 1ere ?
Si c'est le cas, je veux bien apporter mon grain de sel ? J'ai deux trois trucs sur les suites... Je peux poster des démonstration si vous voulez. (mais je sais pas sur quel chapitre on peut caser ça...
Au faite, je pense que l'idée est trés bonne. c'est trés intéréssant

[invitec053041c]

Oui, on mettra ici les démonstrations importantes à connaître et les trucs en rapport à un chapitre. C'est pour ça qu'Electrofred a eu la très bonne idée de mettre une couleur par thème (chapitre), car on pourra rajouter à souhait des éléments. Le tout pourra être condensé dans un document.
Merci de ta contribution , à suivre...

ps: tu peux ouvrir un chapitre "suites".

[invitea250c65c]

Voici un complément pour le second degré :

-Représentation graphique du trinome :

Soit ().
La représentation graphique (en coordonnées cartésiennes) de ce polynome est une parabole de sommet .
On a vu que l'on pouvait écrire avec .
On en déduit donc que la courbe représentative de P(x) dans un repère est la translatée de (représentation graphique de dans ce repère) par la translation de vecteur .
La courbe représentative de est donc une parabole (car est, par définition, une parabole).
De plus, nou savons que admet comme sommet l'origine du repère (on peut cela avec les dérivées, mais on ne l'a pas encore vu, sinon on peut simplement le faire en montant que pour tout x réel, est supérieur ou égal à 0 () et s'annule en ), et donc le sommet de la parabole représentative de est le point (translaté de l'origine par la translation de vecteur , la translation conserve les variations). Nous retrouvons le même résultat en étudiant la dérivée de et en montrant que le point est soit le minimum ou soit le maximum (dépend du signe de ) de .


-Somme et produit des racines :

Dans le cas ou , P(x) admet deux racines réelles : et .
On remarque que et que
Ainsi, sachant que le trinome admet deux racines réelles et en connaissant une (racine évidente), on peut en déduire facilement la deuxième.


Il ne reste plus que l'étude du signe du trinome, si quelqu'un sait faire les tableau de signe sous Latex ...

Je me propose de faire tout sur la dérivation et les dérivées (y compris démos complètes des dérivées des fonctions trigo et des opérations sur les dérivées (dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient et d'une fonction composée)), mais je ne sais pas si j'aurai le temps de tout faire, je pars après demain pour une semaine de vacances.

A+

[inviteec581d0f]

Je propose un petit Complément

Suite CHAPITRE :LIMITES DES SUITES

I/ 2 Définitions de suites

Il y a deux façons de définir une suite:

1. Suites définies explicitement
   Les suites suivantes sont définies de manière explicite :
   ou encore avec
   On peut calculer n'importe quel nombre de la suite sans calculer les précédents
   par exemple:
   
2. Suites définies par récurrence
   Ces suites sont différentes...
   Un exemple de suite définie par récurrence :
   
   
   pour tout

II/ Sens de variation

• Croissante
  
  Si est croissante, cela signifie que pour tout , on a :
  
• Décroissante
  
  Si est décroissante, cela signifie que pour tout , on a :

III/ Suite géométrique

Si une suite est dite géométrique, cela implique qu'il existe un réel tel que pour tout , . Ce réel est appelé raison de la suite.

Pour des réels et quelconques, on a:

(démonstration nécessaire )

---Somme de termes consécutifs---

On pose la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison (avec ).



Alors,

IV/ Suite arithmétique

Si une suite est dite arithmétique, cela implique qu'il existe un réel tel que pour tout , . Ce réel est appelé raison de la suite.

Pour des réels et quelconques, on a:

(démonstration aussi nécessaire )

---Sommes de termes consécutifs---

On pose la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique,



Alors,

Voilà, celà fait office d'un petit rappel.. et celà vient en complément au post de sailx

[inviteec581d0f]

Un petit petit complément

Comment faire pour étudier le sens de variation d'une suite ??

Première possibilité:

-On peut étudier le signe de ,
Si,

Alors donc la suite est dite décroissante.

Si,

Alors donc la suite est dite croissante.

Deuxième possibilité:

Ecrire , et étudier les variations de cette fonction sur l'intervalle . Les variations de sont les mêmes que celles de la suite. Donc si est croissante, donc est croissante. De même si est décroissante, donc est décroissante.

Troisième possibilité:

Pour une suite à termes strictements positifs, On compare et 1.

Si alors donc est une suite décroissante.


Si alors donc est une suite croissante.


Voilaa

[invite1228b4d5]

mais c'est carrement tout le cour que tu a sortir
En tout cas, pour les trucs ou tu dit qu'il faut une démonstration, il suffit de bidouiller un peu mes démonstration et sa passera.
Ensuite, pour les propriété que j'ai démontré avec le raisonnement par récurence, j'ai regarder dans un bouquin de 1er et c'est pas vraiment expliquer. On bidouille mais c'est pas trés rigoureux.
Peut être aussi serait il intéréssant de mettre les démonstration des sommes de n termes d'une suite nan ?
Ensuite, pour les limites de suites, y'a le théoréme des gendarmes/encadrements, justifier les limites usuel (pourquoi tel suite converge vers 0, etc...) notament lezs suites Arith et Geom. aprés... je sais plus trop...
0 si, on parle de la moyenne géomtrique ? (pas encore compris à quoi elle servait...) pour les arithm et pour les Geom.