Polynome, base

[invite7be01fc0]

Bonjours à tous,
J'ai un petit problème concernant un sujet de math :

a1 a2 a3 trois réels tels que a1<a2<a3, on définit les polynomes L1, L2, L3 par :

L1(X)=[(X-a2)(X-a3)]/[(a1-a2)(a1-a3)]

L2(X)=[(X-a1)(X-a3)]/[(a2-a1)(a3-a1)]

L3(X)=[(X-a1)(X-a2)]/[(a3-a1)(a3-a2)]

Montrer que la famille (L1,L2,L3) est une base de l'ev R2[X] des polynomes à coeff. réels et de degré inférieur à 2.

on précise que 1<=i<=3,1<=k<=3, i non = à k
calculer Li(ai) et Li(ak)

C'est la question 1.

Donc pour a1 L1=1 L2=L3=0
a2 L2=1 L1=L3=0
a3 L3=0 L1=L2=0

z1L1 +z2L2 +z3L3 = 0 donne évalué en a1

z1 = 0

évalué en a2 z2 = 0 évalué ena3 z3 = 0 d'où la liberté et base grâce à la dimension

pour P , on a P = z1 L1 +z2L2 +z3L3 en évaluant on a zi = P(ai) ce sont les coordonnées de P dans la base (Li)

voila, mais après on me demande une relation très simple de L1(X)+L2(X)+L3(X) deduite de la question précédente. Pourriez-vous m'aider ? Merci

[invite8f53295a]

Eh bien tu sais que L1(X)+L2(X)+L3(X) est un polynôme de degré 2 qui vaut 1 aux trois points a1, a2 et a3. Que peux-tu en déduire ?

[invite7be01fc0]

je sais c'est idiot mais je n'y arrive pas ...
Je ne pense pas que la réponse est 3

[invite7be01fc0]

Puis-je en deduire que quelque soit a, la somme est egale à 1 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Appelons Q(X) le polynome P1(X)+P2(X)+P3(X) - 1
Quel est le degré de Q ? Le nombre de ses racines ?

[invite7be01fc0]

Qu'appelles-tu par P(X) ? Si P(X)=L(X), alors deg(Q)<=2 car c'est une somme de polynomes de degrés inférieur ou égal à 2. Je dirai qu'il y a 3 racines.

[invitebe0cd90e]

bah non, si deg(Q) <=2, il y a au plus 2 racines... or on en connait 3 donc je corrige : il y a au plus 2 racines sauf si Q est .... ?

[invite7be01fc0]

je rame .........

[invite5e2ec99a]

salu c ou kje pe posé mé kestion sur la filo,?? repondé moi svp

[invitebe0cd90e]

quel est le seul et unique polynome, de degré inferieur a 2 et qui a plus de 2 racines ?? qui a meme une infinité de racines, en fait ??? la seule exception a la regle ??

[invite7be01fc0]

le polynome nul :S

[invite5e2ec99a]

pk vs voulé pa mrepondr !! ca vA 2 seconde svp ca vou coute rien

[invite5e2ec99a]

héhoooooo repondé